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初中数学知识总结专题06 一元一次方程及其应用(教师版)

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专题06一元一次方程及其应用专题知识回顾知识点1:一元一次方程的概念1.一元一次方程:一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0)。要点诠释:一元一次方程须满足下列三个条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的次数是1次;(3)整式方程.注意:方程要化为最简形式,且一次项系数不能为零。2.方程的解:  判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边,看两边是否相等.知识点2:一元一次方程的解法1.方程的同解原理(也叫等式的基本性质)性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。要点诠释:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,依据等式基本性质2,注意防止漏乘(尤其整数项),注意添括号。(2)去括号一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,依据去括号法则、分配律,注意变号,防止漏乘。(3)移项11,把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号),依据等式基本性质1,移项要变号,不移不变号。(4)合并同类项把方程化成ax=b(a≠0)的形式,依据合并同类项法则,计算要仔细,不要出差错。(5)系数化为1在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a,依据等式基本性质2,计算要仔细,分子分母勿颠倒。要点诠释:理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:①a≠0时,方程有唯一解x=b/a;②a=0,b=0时,方程有无数个解;③a=0,b≠0时,方程无解。知识点3:列一元一次方程解应用题1.列一元一次方程解应用题的一般步骤:(1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系。(2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数.(3)列—列出方程:设出未知数后,利用等量关系写出等式,即列方程。(4)解—解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案,注意带上单位。2.常见的一些等量关系(1)行程问题:距离=速度·时间(2)工程问题:工作量=工效·工时(3)比率问题:部分=全体·比率(4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;(5)商品价格问题:售价=定价·折·,利润=售价-成本,;(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=πR2h.知识点4:方程与整式、等式的区别11,(1)从概念来看:整式:单项式和多项式统称整式。等式:用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5,m=n=n+m等都叫做等式,而像-3a+2b,3m2n不含等号,所以它们不是等式,而是代数式。方程:含有未知数的等式叫做方程。如5x+3=11。理解方程的概念必须明确两点:①是等式;②含有未知数。两者缺一不可。(2)从是否含有等号来看:方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来,不含有等号。(3)从是否含有未知量来看:等式必含有“=”,但不一定含有未知量;方程既含有“=”,又必须含有未知数。但整式必不含有等号,不一定含有未知量,分为单项式和多项式。专题典型题考法及解析【例题1】(经典题)解方程:【答案】x=【解析】这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为1,从而得到方程的解左右同乘12可得:3[2x﹣(x﹣1)]=8(x﹣1),化简可得:3x+3=8x﹣8,移项可得:5x=11,解可得x=.故原方程的解为x=【例题2】(2019•杭州)已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树,设男生有x人,则(  )A.2x+3(72﹣x)=30B.3x+2(72﹣x)=30C.2x+3(30﹣x)=72D.3x+2(30﹣x)=72【答案】D.【解析】设男生有x人,则女生(30﹣x)人,根据题意可得:11,3x+2(30﹣x)=72.【例题3】(2019•张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多  步.【答案】12【解析】设长为x步,宽为(60﹣x)步,x(60﹣x)=864,解得,x1=36,x2=24(舍去),∴当x=36时,60﹣x=24,∴长比宽多:36﹣24=12(步)【例题4】(2019▪湖北黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?【答案】(1)当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步.(2)走路快的人走500步才能追上走路慢的人.【解析】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人的走x步,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.列方程求解即可。由题意得x:600=100:60∴x=1000∴1000﹣600﹣100=300所以当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步.(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,及追及问题可列方程求解.由题意得y=200+y11,∴y=500所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人.专题典型训练题一、选择题1.(2019▪贵州毕节)如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项,那么m等于(  )A.2B.1C.﹣1D.0【答案】A【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可.根据题意可得:2m﹣1=m+1,解得:m=22.(2019•湖南怀化)一元一次方程x﹣2=0的解是(  )A.x=2B.x=﹣2C.x=0D.x=1【答案】A【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案.x﹣2=0,解得:x=2.3.(2018江苏无锡)林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地占林地面积的20%,设把x公顷旱地改为林地,则可列方程()A.B.C.D.【答案】B.【解析】根据题意,旱地改为林地后,旱地面积为公顷,林地面积为公顷,等量关系为“旱地占林地面积的20%”,即.故选B.4.(2018湖南长沙)某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母,1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是(  )A.2×1000(26﹣x)=800xB.1000(13﹣x)=800xC.1000(26﹣x)=2×800xD.1000(26﹣x)=800x11,【答案】C【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉,则(26﹣x)人生产螺母,由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系,就可以列出方程.由题意得1000(26﹣x)=2×800x,故C答案正确。5.(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱;每人出7钱,会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,所列方程正确的是(  )A.5x﹣45=7x﹣3B.5x+45=7x+3C.=D.=【答案】B【解析】设合伙人数为x人,依题意,得:5x+45=7x+3.二、填空题6.(经典题)方程﹣(1﹣2x)=(3x+1)的解为___________.【答案】x=﹣.【解析】这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为1,从而得到方程的解﹣7(1﹣2x)=3×2(3x+1)﹣7+14x=18x+6﹣4x=13x=﹣.7.(2019贵州黔西南州)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商品,按标价8折销售,售价为2240元,则这种商品的进价是  元.【答案】2000【解析】一元一次方程的应用。设这种商品的进价是x元,由题意,得(1+40%)x×0.8=2240.解得x=20008.(2019湖南湘西)若关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,则k的值为  .【答案】411,【解析】考查一元一次方程的解∵关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,∴3×2﹣2k+2=0,解得:k=4.9.(2018福建)一件服装的标价为300元,打八折销售后可获利60元,则该件服装的成本价是  元.【答案】180【解析】设该件服装的成本价是x元.根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程,解方程即可得出结论.设该件服装的成本价是x元,依题意得:300×﹣x=60,解得:x=180.∴该件服装的成本价是180元.10.(2018武汉)某商品的进价为每件100元,按标价打八折售出后每件可获利20元,则该商品的标价为每件  元.【答案】150.【解析】考点是一元一次方程的应用.设该商品的标价为每件为x元,根据八折出售可获利20元,可得出方程:80%x﹣100=20,再解答即可.解得:x=150.答:该商品的标价为每件150元.11.(2019贵州省毕节市)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商品,按标价8折销售,售价为2240元,则这种商品的进价是  元.【答案】2000.【解析】一元一次方程的应用。设这种商品的进价是x元,根据提价之后打八折,售价为2240元,列方程解答即可.由题意得,(1+40%)x×0.8=2240.解得:x=200012.(2019•湖南株洲)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?“其意思为:速度快的人走100步,速度慢的人只走60步,现速度慢的人先走100步,速度快的人去追赶,则速度快的11,人要走  步才能追到速度慢的人.[【答案】250.【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t,根据二者的速度差×时间=路程,即可求出t值,再将其代入路程=速度×时间,即可求出结论.根据题意得:(100﹣60)t=100,解得:t=2.5,∴100t=100×2.5=250.所以走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.13.(2019▪贵州毕节)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商品,按标价8折销售,售价为2240元,则这种商品的进价是  元.【答案】2000【解析】设这种商品的进价是x元,根据提价之后打八折,售价为2240元,列方程解答即可.由题意得,(1+40%)x×0.8=2240.解得:x=200014.(2019•湖南湘西州)若关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,则k的值为  .【答案】4【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,∴3×2﹣2k+2=0,解得:k=4.15.(2019•湖南岳阳)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺.问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布  尺.【答案】.[【解析】设第一天织布x尺,则第二天织布2x尺,第三天织布4x尺,第四天织布8x尺,第五天织布16x尺,根据题意可得:x+2x+4x+8x+16x=5,解得:x=,即该女子第一天织布尺.11,三、解答题16.(经典题)解方程(1)4﹣x=3(2﹣x);(2).【答案】见解析。【解析】(1)去括号得:4﹣x=6﹣3x,移项得:﹣x+3x=6﹣4,合并得:2x=2,系数化为1得:x=1.(2)去分母得:5(x﹣1)﹣2(x+1)=2,去括号得:5x﹣5﹣2x﹣2=2,移项得:5x﹣2x=2+5+2,合并得:3x=9,系数化1得:x=3.17.(经典题)解方程(1)4(x﹣1)﹣3(20﹣x)=5(x﹣2);(2)x﹣=2﹣.【答案】见解析。【解析】(1)去括号得:4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10移项得:4x+3x﹣5x=4+60﹣10合并得:2x=54系数化为1得:x=27;(2)去分母得:6x﹣3(x﹣1)=12﹣2(x+2)去括号得:6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4移项得:6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3合并得:5x=5系数化为1得:x=1.18.(2019•湖南岳阳)11,岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的,求休闲小广场总面积最多为多少亩?【答案】见解析。【解析】(1)设改造土地面积是x亩,则复耕土地面积是(600+x)亩.根据“复耕土地面积+改造土地面积=1200亩”列出方程并解答;由题意,得x+(600+x)=1200,解得x=300.则600+x=900.所以改造土地面积是300亩,则复耕土地面积是900亩。(2)设休闲小广场总面积是y亩,则花卉园总面积是(300﹣y)亩,根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答.由题意,得y≤(300﹣y).解得y≤75.故休闲小广场总面积最多为75亩.所以休闲小广场总面积最多为75亩.19.(2019•甘肃)中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题,原文:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问共有多少人,多少辆车?【答案】共有39人,15辆车.【解析】设共有x人,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果.根据题意得:+2=,去分母得:2x+12=3x﹣27,解得:x=39,∴=15,则共有39人,15辆车.11,20.(2019•张家界)某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化,已知甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵20元,且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵,购买两种树苗的总金额为9000元.(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵?(2)为保证绿化效果,社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵,总费用不超过230元,求可能的购买方案?【答案】见解析。【解析】(1)设购买甲种树苗x棵,购买乙种树苗(2x﹣40)棵,由题意可得,30x+20(2x﹣40)=9000,70x=9800,x=140,∴购买甲种树苗140棵,乙种树苗240棵。(2)设购买甲树苗y棵。乙树苗(10-y)棵,根据题意得:30y+20(10-y)23010y30y3购买方案2:购买甲树苗2棵,乙树苗8棵;购买方案3:购买甲树苗1棵,乙树苗9棵;购买方案4:购买甲树苗0棵,乙树苗10棵。21.(2019安徽)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天?【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天.【解析】设甲工程队每天掘进x米,则乙工程队每天掘进(x﹣2)米.根据“甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米”列出方程,然后求工作时间.由题意,得2x+(x+x﹣2)=26,解得x=7,所以乙工程队每天掘进5米,(天)所以甲乙两个工程队还需联合工作10天.11

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文章作者:180****8757

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