初中数学知识总结专题11 一次函数（教师版）

专题11一次函数专题知识回顾1．一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。3．一次函数的性质：（1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y随x的增大而减小；（3）当b>0时，直线交y轴于正半轴；（4）当b<0时，直线交y轴于负半轴。4.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.5．一正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．6.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。7．正比例函数的性质（1）当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小．8．正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）专题典型题考法及解析17,【例题1】（2019贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（　　）A．kb＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k+b＜0【答案】B．【解析】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0；故选：B．【例题2】（2019•江苏无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　　．【答案】x＜2．【解析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，∵k＜0，∴x﹣2＜0，解得：x＜2．【例题3】（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．17,【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+2；（2）点C的坐标是（0，﹣）．【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y＝x，∴k＝，∵一次函数的图象经过点A（2，3），∴3＝+b，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，∴x＝﹣4，∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为（0，y），∵AC＝BC，∴＝，∴y＝﹣，17,经检验：y＝﹣是原方程的根，∴点C的坐标是（0，﹣）．专题典型训练题一、选择题1.（2019•江苏扬州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】坐标系中，一次函数经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限。2.（2019广西河池）函数的图象不经过　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】．【解析】一次函数，，函数图象经过第一三象限，，函数图象与轴负半轴相交，函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选：．3.（2019年陕西省）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正比例函数，所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2，故，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加．4.（2019年陕西省）已知一次函数的图象经过点、，且时，则k等于（）．17,A．B．C．D．【答案】D【解析】因为一次函数的图象经过点、，所以，，因为当时，，所以当时，，即，解得．5.（2019广西桂林）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为　　A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，，，，，四边形分成面积，可求的直线解析式为，设过的直线为，将点代入解析式得，直线与该直线的交点为，，直线与轴的交点为，，，或，，直线解析式为6.（2019广西梧州）直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是　　17,A．B．C．D．【答案】D【解析】直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：．7.（2019湖南邵阳）一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为．下列说法中错误的是　　A．B．C．D．当时，【答案】B【解析】将直线向下平移若干个单位后得直线，直线直线，，直线向下平移若干个单位后得直线，，当时，8.（2019•浙江杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）ABCD17,【答案】A【解析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．A.由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；B.由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；C.由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D.由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．二、填空题9.（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　　．【答案】．【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组的解是．10.（2019贵州黔西南州）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为　　．17,【答案】x＜4【解析】函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．11.（2019湖南郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为　　瓶．【答案】150【解析】这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有k+b=1202k+b=125，解得k=5b=115，∴y＝5x+115，当x＝7时，y＝150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶。12.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=－x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为____________．17,【答案】－31009【解析】从简单的入手，分别求出A2到A9的横坐标，找出循环，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A2019的坐标．当x=1时，y=－x=－，∴A2（1，－）；当y=x=－，x=－3，∴A3（－3，－）；当x=－3时，y=－x=3，∴A4（－3，3）；当y=x=3时，x=9，∴A5（9，3）；同理可得A6（9，－9），A7（－27，－9），A8（－27，27），A9（81，27），…，∴A4n+1（32n，32n×），A4n+2（32n，－32n×），A4n+3（－32n+1，－32n+1×），A4n+4（－32n+1，32n+1×），（n为自然数）．∵2019=504×4+3，∴点A2019的横坐标为－32×504+1=－31009．13.（2019辽宁本溪）函数y=5x的图象经过的象限是.【答案】一、三.【解析】函数y=5x的图象经过一三象限，故答案为一、三.14.（2019江苏徐州）函数y＝x＋1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个.【答案】417,【解析】本题解答时要分类讨论.作AB的垂直平分线，交于坐标原点，△OAB为等腰三角形；以B为圆心BA长为半径交x轴于C2，△C2AB为等腰三角形，以A为圆心，AB长为半径，交x轴于C3，C4，则△C3AB，△C4AB为等腰三角形，所以满足条件的C点的有4个.三、解答题15.（2019•河北）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．（1）当v＝2时，解答：①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【答案】见解析。【解析】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头＝2t+300②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150s，此时S头＝2t+300＝600m17,甲返回时间为：（t﹣150）s∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．16.（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】见解析。【解析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意，得，∴，∴A的单价30元，B的单价15元；（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，由题意可知，z≥（30﹣z），∴z≥，W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，当z＝8时，W有最小值为570元，17,即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少。17.（2019•浙江湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【答案】见解析。【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2800，得k＝80，∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），17,当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．18.（2019北京市）在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．（1）求直线与轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．【答案】见解析。【解析】（1）当时，由；∴直线与轴的交点坐标为.（2）①如下图，当k=2时，直线：，把代入直线，则.∴；把代入直线，∴，∴..画出函数的图象及直线，直线组成的区域，17,显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域内的整点个数有6个.②由类似①分析图象知区域内没有整点时有或.19.（2019黑龙江省龙东地区）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求函数图象中a的值；（2）求小强的速度；（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【答案】见解析。【解析】对于（1），结合图象，全面、仔细分析运动对象和运动过程，（0,300）这个点的含义是：小明出发5分钟时，离学校300米，此时小强出发.由此可知小明离开学校后的速度.点A（10，a）的含义是：小强出发10分钟后，小明离学校a米，此时小明运动的时间为10+5=15分钟，结合以上两个条件，可以求出a的值；对于（2），小强出发12分钟后与小明相遇，此时小明运动了15+2=17分钟，其中最后两分钟是折返后的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的距离，再根据小强运动到相遇地点所用的时间，即可计算出小强的速度；对于（3），先确定点B的坐标，再根据待定系数法即可求出线段AB的函数解析式.17,【解题过程】（1）a==900（2）小明的速度为300÷5=60（米/分）小强的速度为（900-60×2）÷12=65（米/分）（3）由题意得B（12,780）设AB所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),把A（10,900），B（12,780）代入得：，解得，∴线段AB的解析式为y=-60x+1500，(10≤x≤12)20.（2019•贵州省安顺市）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【答案】见解析。【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；（2）由题意得：（60﹣40﹣x）（10x+100）＝2090，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x1＝1．x2＝9，17,∵让顾客得到更大的实惠，∴x＝9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．21．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【答案】见解析。【解析】x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，17,设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），由点T是点D，E的融合点得：m＝，解得：m＝，即点E（，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，该情况不存在；故点E（，6）或（6，15）．17