初中数学知识总结专题10 一元一次不等式（组）及其应用（教师版）

专题知识回顾专题10一元一次不等式（组）及其应用1．用不等号&ldquo;＜&rdquo;&ldquo;＞&rdquo;&ldquo;&le;&rdquo;&ldquo;&ge;&rdquo;表示不相等关系的式子叫做不等式。2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。3．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。4．一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。5．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。6．不等式的性质：性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。7.一元一次不等式的解法的一般步骤：（1）去分母;（2）去括号;（3）移项;（4）合并同类项;（5）系数化为1.8．不等式解集在数轴上的表示方法：含&ge;或&le;，用空心圆圈，含＞或＜用实心圆点。9．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。10．求不等式组解集的规律：不等式组的解集有四种情况:若a&gt;b，（1）当时,则不等式的公共解集为x&gt;a;（2）时,不等式的公共解集为b<x<a;15,（3）时,不等式的公共解集为x<b;（4）当时,不等式组无解.专题典型题考法及解析【例题1】（2019江苏镇江）解不等式：【答案】不等式的解集为．【解析】解一元一次不等式。按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．化简得原不等式的解集为．【例题2】（2019四川省雅安市）不等式组的解集为（）a．6≤x＜8b．6＜x≤8c．2≤x＜4d．2＜x≤8【答案】b【解析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再找它们的公共部分，由第1个不等式得x>6，由第2个不等式得x&le;8，它们的公共部分是6＜x&le;8，故选B．【例题3】（2019&bull;山东省德州市）不等式组的所有非负整数解的和是（　　）A．10B．7C．6D．0【答案】A15,【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．，解不等式①得：x＞﹣2.5，解不等式②得：x&le;4，&there4;不等式组的解集为：﹣2.5＜x&le;4，&there4;不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，&there4;不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10【例题4】（2019广西北部湾）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集.【答案】见解析。【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别解两个不等式得到x＜3和x&ge;-2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．【解题过程】解：解①得x＜3，解②得x&ge;-2，所以不等式组的解集为-2&le;x＜3．用数轴表示为：【例题5】（2019&bull;江苏无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（　　）A．10B．9C．8D．715,【答案】B【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，则15an＝2160，得到an＝144．所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．∵an＝144．&there4;将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．∵n＞x，&there4;n﹣x＞0，&there4;a＞8．&there4;a至少为9．专题典型训练题一、选择题1.(2019甘肃省陇南市)不等式2x+9&ge;3（x+2）的解集是（　　）A．x&le;3B．x&le;﹣3C．x&ge;3D．x&ge;﹣3【答案】A【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．去括号，得2x+9&ge;3x+6，移项，合并得﹣x&ge;﹣3系数化为1，得x&le;3。2.（2019&bull;河北）语句&ldquo;x的与x的和不超过5&rdquo;可以表示为（　　）A．+x&le;5B．+x&ge;5C．&le;5D．+x＝5【答案】A【解析】&ldquo;x的与x的和不超过5&rdquo;用不等式表示为x+x&le;5．15,3．（2019&bull;浙江宁波）不等式＞x的解为（　　）A．x＜1B．x＜﹣1C．x＞1D．x＞﹣1【答案】A【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．＞x，3﹣x＞2x，3＞3x，x＜14.（2019广西河池）不等式组的解集是　　A．B．C．D．【答案】．【解析】，解①得：，解②得：．则不等式组的解集是：．故选：．5.(2019黑龙江绥化)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()【答案】B【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集解①得,x&ge;1,解②得,x&lt;2,&there4;原不等式组的解集为1&le;x&lt;2,故选B.6.（2019湖北仙桃）不等式组x-1＞0，5-2x&ge;1的解集在数轴上表示正确的是（　　）15,【答案】C【解析】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x&ge;1得x&le;2，则不等式组的解集为1＜x&le;27.（2019吉林长春）不等式-x+2&ge;0的解集为（）A.x&ge;-2B.x&le;-2C.x&ge;2D.x&le;2【答案】D【解析】解一元一次不等式．-x+2&ge;0，移项得：-x&ge;-2，系数化为1，得x&le;2&there4;不等式的解集为：x&le;28.（2019辽宁本溪）不等式组的解集是A.x＞3B.x&le;4C.x＜3D.3＜x&le;4【答案】D.【解析】，由①得：x＞3，由②得：x&le;4，则不等式组的解集为3＜x&le;49.（2019江苏镇江）下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是　　15,A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，A．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；B．由数轴知，则，，解得，与数轴相符合；C．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；D．由数轴知，则，，解得，与数轴不符。10．（2019&bull;绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（　　）A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】C【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据&ldquo;购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元&rdquo;列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案．设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据题意，得：，解得：20&le;x＜25，∵x为整数，&there4;x＝20、21、22、23、24，&there4;该店进货方案有5种。11．（2019&bull;常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：&ldquo;至少15元．&rdquo;乙说：&ldquo;至多12元．&rdquo;丙说：&ldquo;至多10元．&rdquo;小明说：&ldquo;你们三个人都说错了&rdquo;．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　）A．10＜x＜12B．12＜x＜15C．10＜x＜15D．11＜x＜1415,【答案】B【解析】根据题意得出不等式组解答即可．根据题意可得：，可得：12＜x＜15，&there4;12＜x＜1512.（2019&bull;湖南怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（　　）只．A．55B．72C．83D．89【答案】C【解析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据&ldquo;每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只&rdquo;列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，解得：＜x＜12，∵x为整数，&there4;x＝11，则这批种羊共有11+5&times;11+17＝83（只）二、填空题13.（2019黑龙江哈尔滨）不等式组的解集是．【答案】：x&ge;3．【解析】解不等式&le;0，得x&ge;3，解不等式3x+2&ge;1，得x&ge;﹣，&there4;不等式组的解集为x&ge;3，15,故答案为：x&ge;3．14.（2019山东东营）不等式组的解集为____________．【答案】－7&le;x＜1【解析】一元一次不等式组的解法。解不等式①，得x＜1；解不等式②，得x&ge;－7，&there4;不等式组的解集是－7&le;x＜1．15.（2019&bull;河南）不等式组的解集是　　．【答案】x&le;﹣2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式&le;﹣1，得：x&le;﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x&le;﹣216.(2019内蒙古包头市)已知不等式组2x+9＞-6x+1x-k＞1的解集为x＞-1，则k的取值范围是.【答案】k&le;-2.【解析】不等式组2x+9＞-6x+1①x-k＞1②解不等式①得，x＞-1;解不等式②得，x＞k+1;∵原不等式组的解集为x＞-1，&there4;k+1&le;-1解得，k&le;-2.17.(2019黑龙江大庆)已知x＝4是不等式ax－3a－1&lt;0的解,x＝2不是不等式ax－3a－1&lt;0的解,则实数a的取值范围是______.15,【答案】a&le;－1【解析】∵x＝4是不等式ax－3a－1&lt;0的解,所以4a－3a－1&lt;0,a&lt;1,因为x＝2不是不等式ax－3a－1&lt;0的解,所以2a－3a－1&ge;0,所以a&le;－1,所以a&le;－1.18.（2019&bull;铜仁）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是　　．【答案】a&ge;﹣3．【解析】解这个不等式组为x＜a﹣4，则3a+2&ge;a﹣4，解这个不等式得a&ge;﹣3故答案a&ge;﹣3．19.（2019湖南邵阳）不等式组的解集是　　．【答案】【解析】解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，故答案为：．20．（2019&bull;大渡口区）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打　　折销售．【答案】8【解析】由题意可知：利润率为20%时，获得的利润为4&times;20%＝0.8元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价&times;﹣进价，列出不等式，解得x的值即可．设可以打x折出售此商品，由题意得：，解得：x&ge;8，答：该文具盒实际价格最多可打8折。三、解答题15,21.（2019广西省贵港市）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集．【答案】见解析。【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下：22.（2019北京市）解不等式组：【答案】.【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照&ldquo;大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找&rdquo;原则即可.由①得由②得①和②的公共部分由&ldquo;小小取小&rdquo;得原不等式组解集为.15,23.（2019&bull;江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．【答案】﹣3&le;x＜2，所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式4（x+1）&le;7x+13，得：x&ge;﹣3，解不等式x﹣4＜，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣3&le;x＜2，所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1．24.（2019贵州省安顺市）先化简（1+）&divide;，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．【答案】见解析。【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值，把已知数据代入即可．原式＝&times;＝解不等式组得﹣2＜x＜4，&there4;其整数解为﹣1，0，1，2，3，∵要使原分式有意义，&there4;x可取0，2．&there4;当x＝0时，原式＝﹣3，（或当x＝2时，原式＝﹣）．25．（2019&bull;新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【答案】见解析。【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．15,解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＞1，&there4;不等式组的解集为1＜x＜2，在数轴上表示不等式组的解集为：．26.（2019▪黑龙江哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【答案】见解析。【解析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，&there4;，&there4;每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）&le;550，&there4;z&le;25，&there4;最多可以购买25副围棋。27.（2019四川巴中）在&ldquo;扶贫攻坚&rdquo;活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【答案】见解析。【解析】①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：15,＝解得x＝90经检验，x＝90符合题意&there4;甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件由题意得：5000&le;100y+90（55﹣y）&le;5050解得5&le;y&le;10,&there4;共有6种选购方案．28.（2019▪湖北黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．【答案】点P在的第四象限．【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．，解①得：x&ge;4，解②得：x&le;4，则不等式组的解是：x＝4，∵＝1，2x﹣9＝﹣1，&there4;点P的坐标为（1，﹣1），&there4;点P在的第四象限．29.（2019&bull;山东省滨州市）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【答案】见解析。【解析】（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，，15,解得：，答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；（2）设租用甲种客车x辆，依题意有：，解得：6＞x&ge;4，因为x取整数，所以x＝4或5，当x＝4时，租车费用最低，为4&times;400+2&times;280＝2160．30．（2019&bull;遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？【答案】见解析。【解析】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，，解得，，答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，，解得，，，，&there4;共有三种租车方案，方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．15</x<a;15,（3）时,不等式的公共解集为x<b;（4）当时,不等式组无解.专题典型题考法及解析【例题1】（2019江苏镇江）解不等式：【答案】不等式的解集为．【解析】解一元一次不等式。按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．化简得原不等式的解集为．【例题2】（2019四川省雅安市）不等式组的解集为（）a．6≤x＜8b．6＜x≤8c．2≤x＜4d．2＜x≤8【答案】b【解析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再找它们的公共部分，由第1个不等式得x>