全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型（学生版）

全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型1.矩形的十字架模型(相似模型)矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。DEBC如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则=.ACABEFBC如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则=.ACABEFBC如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则=.MNAB1(23·24上·成都市·九年级期中)如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．2(22·23下·河北·九年级期中)如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，证明：EF:GH=AB:BC．1 3(22·23下·湖北·九年级期中)在矩形纸片ABCD中AB=5，AD=3，点E、F在矩形的边上，连接EF，将纸片沿EF折叠，点D的对应点为点P．(1)如图①，若点P在边AB上，当点P与点A重合时，则∠DEF=°，当点E与点A重合时，则∠DEF=°．(2)如图②，若点P在边AB上，且点E、F分别在AD、DC边上，则线段AP的取值范围是；(3)如图③，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA、PF交于点M，且AM=DE，求线段AE的长度．4(江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题)某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：(1)如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；(2)如图2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AB，DCEF上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，GHDNAB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．AM模型2.三角形的十字架模型(全等+相似模型)1)等边三角形中的斜十字模型(全等+相似)：如图1，已知等边△ABC，BD=EC(或CD=AE)，则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③△ADB∽△BDF∽△BEC。2 2)等腰直角三角形中的十字模型(全等+相似)：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦AE=2EC，以上七个结论中，可“知二得五”。3)直角三角形中的十字模型：2如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k，(相似)5(22-23.成都市.八年级期中)如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD3 与BE相交于点P．下列结论：①AE=CD；②AP=BE；③∠PAE=∠ABE；④∠APB=120°，其中正确的结论是(填序号)6(22·23上·莆田·阶段练习)如图，等边△ABC的边长是6，点E，F分别在AC,BC边上，AE=CF，连接AF，BE相交于点P．(1)求∠APB的度数；(2)若AE=2，求BP⋅BE的值．7(22·23上·滨州·期末)如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△APE的周长为．8(22·23下·吉安·模拟预测)课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边AB，AC上的点，且AD=CE．求证：CD=BE．下面是小涵同学的证明过程：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°．∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB(SAS)，∴CD=BE．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：∠BFD的度数是；4 迁移应用：(2)如图2，将图1中的CD延长至点G，使FG=FB，连接AG，BG．利用(1)中的结论完成下面的问题．①求证：AG∥BE；②若CF=2BF，求证：AD=2BD；拓展提升：(3)在等边△ABC中，若点D，E分别在射线AB，AC上，连接CD，BE交于点F，且∠BFD=60°，将CD绕点C逆时针旋转到CM，PC且使得∠MCB=∠ADC．直线DM与直线BC交于点P，若CF=2BF，则的值为BP9(22·23下·重庆·九年级期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，连AF接AD，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，求的值．FC10(22·23下·鞍山·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相AGAF2交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若AF=AB，则点D是AB的中点；③ABFC3BD若=1，则S△ABC=9S△BDF；④当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；其中正确的结论序号AD是()A.①②B.①②④C.①②③D.①②③④5 11(22·23下·三明·期末)如图①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在边BC上，过点C作CE⊥AD，垂足为M，交AB于点E．(1)小亮通过探究发现∠BCE=∠CAD，请你帮他说明理由；(2)如图②，CN平分∠ACB交AD于点N，小明通过度量猜想有CN=BE，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接DE，若D是BC的中点，小刚通过探究得到结论AD=CE+DE，请你帮他说明理由．12(辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题)(1)如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？(2)如图2，在Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；(3)如图3，Rt△ACB中，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB=3，BC=4，求CF．6 课后专项训练1(2023.广东九年级期中)如图，在正方形ABCD中，AB=210﹐E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF，AE交BF于点G，将△BCF沿BF翻折得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，连接QG，则△QGF的面积是()25A.B.25C.20D.1522(翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是()9A.25B.5C.23D.23(2023.湖北九年级期中)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG的延长线交CD于点F，F为CD的中点，连接CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG=1，则cos∠DEC的值为．4(22·23下·山西·模拟预测)如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，BC=BA=4，D为BC上一点且BD=3，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为．7 5(22·23上·临沂·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接BFBEDE．给出以下四个结论：①=；②若AD平分∠BAC，则BE=BF；③若点D是BC的中点，则BCAE2DC1BE=BC；④若=，则SΔABC=9SΔCDE．其中正确的结论序号是．3DB26(23·24上·沈阳·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC中点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，交AC于点B，若AB=1.5，BC=2，则BE的长为．7(河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题)综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：8 (1)操作判断：如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=5，则GH的长为；如图2，在矩形ABCD中，BC=2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=8，则GH的长为；(2)迁移探究：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥ABBEBD，试证明=；ADEC(3)拓展应用：如图4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G．当F为AE的三等分点时，请直接写出GH的长．9 8(22·23下·合肥·开学考试)如图，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，连接DE、CF，过点E作EG∥CF交AD于点G．BF(1)求证：∠AFE的度数；(2)求证：△ADE∽△ACF；(3)求证：的值．DG9(22·23下·武汉·模拟预测)探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC中点，D、E分别是BC、AC上的两点，BD=CE．AF(1)求证：∠BAD=∠CBE；(2)H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，求的值；FH迁移拓展：(3)如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1．E是AC上的点，CE=2BD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，直接写出HG的长．10 10(21·22上·红河·期末)在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AEAD1AF相交于点F．(1)如图1，当=时，=；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD；AC2BFAD1(3)如图3，当=时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．AC411(山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题)综合与实践A4纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：1如图1所示，矩形纸片ABCD(AD=2AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F，若AB=1,求CF的长，2如图2，在1的基础上，连接BD,折痕EF交BD于点O，连接BE,判断四边形BFDE的形状，并说明理由．探究发现：3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点N,交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．11 12(湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题)(1)问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．GF①判断DQ与AE的数量关系：DQAE；②推断：的值为；(无需证明)AEBC(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD中，=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BCAB边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、DNN分别在边BC、AB上，求的值．AM13(成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷)(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交EFADAB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：=．GHABEF13BN(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值GH17AM为．(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=12，BC=CD=4，AM⊥DN，点DNM，N分别在边BC，AB上，求的值．AM12 14((22·23下·山东·九年级期中))探究证明：(1)如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；EF(2)如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：=AMBC；AB(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边DNBC、AB上，求的值．AM15(江苏2022-2023学年九年级期末数学试题)数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．问题解决：(1)如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC，AN，AC，线段AC交MN于点O，则：①△CDM与△AD1M的关系为，线段AC与线段MN的关系为，小强量得∠MNC=50°，则∠DAN=．②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明．拓展延伸：(2)如图2，矩形纸片ABCD中，BC=2AB=6cm，BM=4cm，小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N，请你直接写出线段ND的长：．综合探究：(3)如图3，ABCD是一张矩形纸片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M(不与A和B点重合)，在边CD上取一点N(不与C和D点重合)，将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP，请你确定△MNP面积的取值范围．13 16(山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别DE是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为；CFCE(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则BD的值为；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD【拓展延伸】(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，AB=3，将△ABD沿BD翻折，点A落在DE点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为．CF14 17(22·23下·苏州·三模)【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=DF6，BC=8，求的值．AE(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．AB3【初步运用】(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，=，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AEAC4AF⊥BD于点E，交BC于点F，求的值．BDAB3【灵活运用】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，=，AB=BC，AD=CD，点E，F分别AD4CF在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则=．DE15 18(2023年湖北省中考模拟数学试题)已知E是矩形ABCD的边BC上的一点．(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，BF⊥AE交CD于点F，求证；AE=BF；(2)已知AB=4，BC=6，GH⊥AE分别交AB，CD于G，H两点，且GH平分矩形ABCD的面积．①如图2，若BG=1，求AE的长；②如图3，AE与GH交于点P，连接BP，求出线段BP长的最小值．19(22·23下·上饶·模拟预测)综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，则线段AE与BF的之间的数量关系为；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，请写出线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，D为BC上一点，且BD=2，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，交AC于点E，求BE的长．16