2024中考数学第一轮复习：全等三角形10大模型之真题溯源（学生版）

全等三角形10大模型之真题溯源目录模型梳理..............................................................................................................................................................2题型一倍长中线模型....................................................................................................................................13题型二一线三等角模型................................................................................................................................15题型三半角模型............................................................................................................................................192022·山东日照真题...................................................................................................................................20题型四手拉手模型........................................................................................................................................242022·张家界真题.......................................................................................................................................272022·贵阳中考...........................................................................................................................................27题型五对角互补+邻边相等模型.................................................................................................................30题型六平行线夹中点模型............................................................................................................................32题型七截长补短模型....................................................................................................................................33题型八绝配角模型........................................................................................................................................372023·深圳宝安区二模...............................................................................................................................382023·深圳中学联考二模...........................................................................................................................38题型九婆罗摩笈模型....................................................................................................................................412022武汉·中考真题..................................................................................................................................422020·宿迁中考真题...................................................................................................................................43题型十脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）............................................................................................................45~1~,专注中考数学10余年yang451989模型梳理模型1倍长中线模型（一）基本模型A已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．BDC结论1：△ACD≌△EBD．E已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连A接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．EBDC结论2：△BDE≌△CDF．F已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥ADA于F，EBDC结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）F（二）结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．~2~,专注中考数学10余年yang451989（三）解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．模型2一线三等角模型（一）基本模型C已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，DAP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．213APB结论1：△CAP≌△PBD．D已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．A23P1B结论2：△APC≌△BDP．C（二）结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．（三）解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．~3~,专注中考数学10余年yang451989模型3半角模型（一）基本模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，ABD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF＝60°．EFBC结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．D正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，ADF分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．F结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．BEC等腰直角三角形含半已知：△ABC是等腰直角三角形，角∠BAC＝90°，点D，E在BC上，A∠DAE＝45°．结论3：DE222＝BD＋CE．BDEC（二）结论推导结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，A∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，EF∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．BC∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，DG∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．∴∠DEB＝∠DEF．~4~,专注中考数学10余年yang451989∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，ADF∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，GBEC∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．结论3：DE2＝BD2＋CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，F∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2＋CE2＝BD2＋CE2，BDEC∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．（三）解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．~5~,专注中考数学10余年yang451989模型4手拉手模型（一）基本模型已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，AE连接BD，CE相交于O，连接OA．OD结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，BC结论2：∠BOC＝∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．（二）结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．AE结论2：∠BOC＝∠BAC．ODF证明：设OB与AC相交于点F．BC∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．结论3：OA平分∠BOE．证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．HAEO∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD＝S△ACE，DGBC11∴BDAG⋅＝CEAH⋅．22∵BD＝CE，∴AG＝AH，∴OA平分∠BOE．（三）解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．~6~,专注中考数学10余年yang451989模型5对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。如图，∠EOF+∠ECF=180°，CE=CFCAEOFB作垂线旋转CCAAEEOFBOFB模型6平行线夹中点模型如图，AB//CD，点E是BC的中点．ABECD~7~,专注中考数学10余年yang451989AFBABEEFCDCD图①图②【模型分析】如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行模型7截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长:指在长线段中截取一段等于已知线段:补短:指将短线段延长,延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法(往往需证2次全等)。①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，~8~,专注中考数学10余年yang451989又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型8绝配角模型（一）基本模型A已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．结论：AC＝EC．EBDC（二）结论推导结论：AC＝EC．证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．（三）解题技巧如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．~9~,专注中考数学10余年yang451989模型9婆罗摩笈模型如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点BNDABCME【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②S∆CBE＝S∆ABD，③CE＝2BN．【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）PPDDNNAABBCMECME~10~,专注中考数学10余年yang451989PPDDNNAABBCMECME证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，易证：△PAD≌BDA∴BC＝PD，BE=PA∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，易证：△CBE≌△PAB，∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90°~11~,专注中考数学10余年yang451989模型10脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）模型成立条件：等腰三角形顶角互补已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，则△BFD是等腰直角三角形.CCFEEDDBABA【证明】法一：倍长中线延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），~12~,专注中考数学10余年yang451989所以∠DBG=90°，BG=BD；1所以BF=DG=DF，BF⊥DF。2法二：构造手拉手模型将△ABC沿AB对称，将△ADE沿AD对称连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FDCCFFEααEDDBBAAQQααP重点题型·归类精练题型一倍长中线模型1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF．AFEBDC~13~,专注中考数学10余年yang4519892．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF．GAFBCDE3．如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．AECBDF~14~,专注中考数学10余年yang451989题型二一线三等角模型基础篇1．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．ADEBC2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________．ADEBC3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝5，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为_________．~15~,专注中考数学10余年yang451989ADBC4．如图，在Rt△ABC中，∠=ABC90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD=AC，连接AD，CD，若AB=4，AD=5，则CD的长为________．5．如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．ABDC提高篇6．如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．~16~,专注中考数学10余年yang451989AEBCFD7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．AEDBC8．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE＝2DF．EADFBC9．如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．~17~,专注中考数学10余年yang451989AEDBC10．如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．（1）求∠AFD的度数；（2）求证：AF⊥CF．ADFEBC11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．ADEBCF~18~,专注中考数学10余年yang451989题型三半角模型例题例1如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．AEFBCD例2如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________．ADFBEC例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则BF的长为_________．~19~,专注中考数学10余年yang451989CAEFB2022·山东日照真题例4如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．AAEPEPMMFFCNBCNB图1图2~20~,专注中考数学10余年yang451989基础1．如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．AEFBCD2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．ADFCBEG提高3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．~21~,专注中考数学10余年yang451989CFEPAB4．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．DCPEQFAB5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻122折得到△BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF＝S△BEF，则CD＋EF的值是_________．4FAEDBC6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．FADBCE~22~,专注中考数学10余年yang4519897．（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．AABEFCBECF图1图28．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，∠ABF的平分线与EF的延长线交于点G．（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；EF3（2）如图2，若＝，求CE的长；FG10（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长．GGAFDADFEBCBC图1图2~23~,专注中考数学10余年yang451989题型四手拉手模型例题例1在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明．EADBC例2如图，P为正方形ABCD外一点，∠APD＝45°，求证：∠BPC＝45°．ADPBC例3已知△ABC为等边三角形．（1）如图1，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PA＝PB＋PC；（2）如图2，P为△ABC内一点，PB＞PC，∠BPC＝150°，若PA＝4，△PBC的面积为3，求△ABC的面积．~24~,专注中考数学10余年yang451989AAPBCBCP图1图2基础篇1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BAC＝90°，D，E，C三点在一条直线上，BD＝1，BC＝10，求DE的长．ADEBC2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在△ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD＝3，BD＝22，求DF的长．~25~,专注中考数学10余年yang451989AEFDBC3．如图，在ABC中，AB=8，将ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到ABC11，则阴影部分面积为．提高篇4．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．ADBC~26~,专注中考数学10余年yang4519892022·张家界真题5．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为（）．3333A．B．C．D．3424AOBC2022·贵阳中考6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．CDEAB7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，AB⊥AC，若∠ABD＝30°，求∠ACD的度数．ADBC8．如图，在ABC中，∠=°CAB60，AB=10，AC=6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到AC′，CC′，则ABC′的面积为．~27~,专注中考数学10余年yang4519899．如图，在ABC中，∠=°CAB60，AB=10，AC=6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到AC′，CC′，则ABC′的面积为．10．已知△ABC是等边三角形，PA＝5，PB＝3．（1）如图1，点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数；（2）如图2，点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．AAPPBCBC图1图211．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠=ACB∠=°DCE90，AC=BC，CD=CE．~28~,专注中考数学10余年yang451989(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度αα(0°<<90°)，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD=2，AD=4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．12．如图，ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠=ACB∠=°DCE90．（1）猜想：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是______；（2）探究：把CDE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展：把CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=26，DE=20，当A，E，D三点在~29~,专注中考数学10余年yang451989同一直线上时，则AE的长是______．题型五对角互补+邻边相等模型1．如图，在四边形ABCD中，∠+∠=BD180°，AB=AD，AC=2，∠=°BAD60，则四边形ABCD的面积等于．2．如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．~30~,专注中考数学10余年yang4519893．如图，已知Rt△ABC中，∠=°ACB90，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC．已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．4．如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.~31~,专注中考数学10余年yang451989题型六平行线夹中点模型1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC．ADEBC2．如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．ABECD深圳中考3．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，E为CD中点，连接AE，且AE＝23，∠=DAE30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）A．1B．3－3C．5－1D．4－22~32~,专注中考数学10余年yang451989题型七截长补短模型1．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为________2．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE交∠DCE外角的平分线于F．（1）求证：AE=EF；（2）如图，当E是BC上任意一点，而其它条件不变，AE=EF是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．~33~,专注中考数学10余年yang4519893．如图，△????????????????????????和△????????????????????????是等腰三角形，且????????????????=????????????????，????????????????=????????????????，∠????????????????????????=80°，∠????????????????????????=100°，以????????为顶点作一个50°角，角的两边分别交边????????????????，????????????????于点????????、????????，连接????????????????，点????????、????????分别在????????????????、CA延长线上，则????????????????、????????????????、????????????????之间存在什么样的关系？并说明理由．4．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．~34~,专注中考数学10余年yang4519895．在△????????????????????????中，BE，CD为△????????????????????????的角平分线，BE，CD交于点F．1（1）求证：∠????????????????????????=90°+∠????????；（2）已知∠????????=60°．①如图1，若????????????????=4，????????????????=6.5，求CE的2长；②如图2，若????????????????=????????????????，求∠????????????????????????的大小．6．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+=BDAC，求证：∠=ABC2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．~35~,专注中考数学10余年yang451989(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=______，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在ABC的内部，ADBDCD，，分别平分∠∠∠BAC，ABC，ACB，且ABBD+=AC．求证：∠∠ABC＝2ACB．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在ABC中，∠=ABC2∠ACB，点D在边BC上，AB+=BDAC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．~36~,专注中考数学10余年yang451989题型八绝配角模型例题【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD1＝∠C，求AD的长．2ADBC【例2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F．（1）求证：BE＝CF；（2）如图2，点M为AC上一点，且∠EMC＝2∠BDE，BE＝2，CE＝5，求EM的长．AAMMDDFCBECBE图1图2基础篇11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝6，BD＝1，2则CD的长为_________．ABDC~37~,专注中考数学10余年yang4519892．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．AEBDC2023·深圳宝安区二模AD3．如图，在Rt△ABC中，∠=°B90，点D为BC中点，∠=∠C2BAD，则的值为．（后AC续计算用到相似）2023·深圳中学联考二模4．如图，在ABC中，点E在边AC上，EC=EB，∠=∠C2ABE，AD⊥BE交BE的延长线于点D，若AC=22，BD=16，则AB=．~38~,专注中考数学10余年yang451989提高篇5．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．AFEBCD6．如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．BEACD7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E在AC边上，AE＝BC＝2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，CE的长为_________．ADC′EBC8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝2，求AB的长．ABDC9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，∠EBC＝2∠ADE，求AE的长．AEDCB~39~,专注中考数学10余年yang45198910．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，∠BDE＝2∠ABD，EF⊥BD于点G，交AB于点F，用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明．ADFGBEC11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，延长BA到点E，使AE＝AB，连接DE，过点D作DH⊥AE于点H．（1）求证：△ADE≌△ADC；（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；（3）若AD＝25，CD＝6，求AB的长．EHADBC~40~,专注中考数学10余年yang451989题型九婆罗摩笈模型1．如图，△ABE和△ACF都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明．EAFBDC2．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.~41~,专注中考数学10余年yang4519892022武汉·中考真题3．如图，在RtABC中，∠=°ACB90，AC>BC，分别以ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI=5，CJ=4，则四边形AJKL的面积是．4．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为．②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．~42~,专注中考数学10余年yang4519892020·宿迁中考真题5．【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AEDE=．EBCB【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延EFAE长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．EGEBAEDE【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交EBECAD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．6．如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：①图1中S△ABC＝S△ADE；②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．~43~,专注中考数学10余年yang4519897．综合与实践以ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N.(1)如图①，若AB=AC，证明：EN=GN；(2)如图②，∠=°BAC90，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；(3)如图③，∠BAC≠°90，AB=5，AC=10，且AM=3，则S△AEG=________________.8．我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<<α180°)得到AB′，把AC绕点′′A逆时针旋转β得到AC′，连接BC．当αβ+=°180时，我们称△ABC′′是ABC的“旋补三角′′形”，△ABC′′边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．(1)【探索一】如图1，△ABC′′是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”，探索AD与BC的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在ABC中，若AB=10，BC=8．求AC边上的中线BD的取值范围．是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．中线BD的取值范围是．请仿照上面材料中的方法，猜想图1中AD与BC的数量关系，并给予证明．(2)【探索二】如图3，当αβ==90°时，△ABC′′是ABC的“旋补三角形”，AE⊥BC，垂足为点E，′′AE的反向延长线交BC于点D，探索AD是否是ABC的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果~44~,专注中考数学10余年yang451989不是，请说明理由．题型十脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）1．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°．ADEBC2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：△CEF是等腰直角三角形．ADFEBC3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为．4．如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：（1）AF＝DF；（2）AF⊥DF．~45~,专注中考数学10余年yang4519895．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．6．已知两个等腰RtABC,RtCEF有公共顶点C，∠=ABC∠=°CEF90，连接AF，M是AF的中点，连接MBMECM、、．(1)如图1，当C，B，E三点共线时，若CE=10，B为CE中点，求CM的长；(2)如图1，探索线段BM与EM的关系，并说明理由；~46~,专注中考数学10余年yang451989(3)将图1中△CEF绕点C顺时针旋转45°至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．7．已知两个等腰RtABC,RtCEF有公共顶点C，∠=ABC∠=°CEF90，连接AFM,是AF的中点，连接MBME,．(1)如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；(2)如图2，当∠=°BCE45时，求证：BM=ME．8．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；9．已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；~47~,专注中考数学10余年yang451989（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．~48~