2024中考数学第一轮复习：相似三角形14大模型之真题溯源（学生版）

相似三角形14大模型之真题溯源目录模型梳理........................................................................3题型一A字模型................................................................112023·四川成都·真题.......................................................112022宜宾...................................................................122023·山东潍坊·真题.......................................................122022·浙江杭州·真题.......................................................122023·浙江温州·真题.......................................................132022安徽...................................................................142023·广东·真题...........................................................142023·山东泰安·真题.......................................................142023·四川眉山·真题.......................................................152022·江苏淮安·真题.......................................................15题型二“8”字型............................................................................................................................162022·辽宁·真题...........................................................162023·四川乐山·真题.......................................................172023·湖北武汉·真题.......................................................172023·四川泸州·真题.......................................................182023·浙江杭州·真题.......................................................182023·四川眉山·统考中考真题...............................................182022深圳...................................................................19题型三三角形内接矩形...................................................................................................................192022·山东东营·真题.......................................................19题型四倒数型（三平行结构）.......................................................................................................21湖南株洲·统考中考真题.....................................................212023·四川内江·真题.......................................................212024届·深圳中学九年级期中.................................................21题型五A字型及8字型相结合.......................................................................................................222023·黑龙江哈尔滨·真题...................................................222023·安徽·真题...........................................................222023·陕西·真题...........................................................22题型六射影定理...............................................................................................................................232023·湖南郴州·真题.......................................................232022湘潭...................................................................23题型七子母模型（公共边公共角）...............................................................................................24~1~,专注中考数学10余年yang4519892022·湖北鄂州·真题.......................................................242023·四川凉山·真题.......................................................25题型八一线三等角模型...................................................................................................................272023·黑龙江大庆·真题.....................................................272023·山东东营·真题.......................................................28浙江中考真题...............................................................292023·浙江丽水·统考中考真题...........................................30徐州中考...................................................................312023·湖北武汉·统考中考真题...............................................34题型九旋转相似模型（手拉手）...................................................................................................342023·湖南常德·真题.......................................................342022烟台...................................................................352021天门...................................................................352022河池...................................................................352023·辽宁营口·真题.......................................................362022鞍山...................................................................37题型十作辅助线构造A字和8字型相似......................................................................................382023·湖北十堰·真题.......................................................392023·浙江·真题...........................................................392023·江苏·中考真题.......................................................392022·湖南常德·真题.......................................................402022·四川绵阳·真题.......................................................402022襄阳...................................................................402023·山东烟台·真题.......................................................422022·湖北武汉·统考中考真题...............................................43题型十一反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）.................................................................442022·新疆·统考中考真题...................................................442023·浙江丽水·统考中考真题...............................................45重庆中考...................................................................45题型十二十字架模型.......................................................................................................................462023·辽宁丹东·真题.......................................................462023·山东菏泽·中考真题...................................................472021·四川达州·统考中考真题...............................................48题型十三对角互补模型...................................................................................................................49深圳中考...................................................................49题型十四双高型...............................................................................................................................50~2~,专注中考数学10余年yang451989模型梳理一、A字模型已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．ADEBCADAEDE结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）ABACBC反A字型AD1E2BCADAEDE结论：＝＝．（共线的边之积相等）ACABBC构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型ADEBC二、8字模型已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．ABODC~3~,专注中考数学10余年yang451989OAOBAB结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．OCODCD构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型ADOBC三、反8字模型（两组相似，四点共圆）ABOAOB性质一：如左图，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔==．CDODOC∠∠AOD＝BOC性质二：如右图，OAOBOAOD½△AOD∽△BOC(由第一组相似推出第二组相似)=⇒=ODOCOBOC性质三：四点共圆(圆周角定理)DDDAAAOOOBCBCBC四、三角形内接矩形型三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．~4~,专注中考数学10余年yang451989AIEF若四边形DEFG为矩形，则：AEF~ABC⇒=AHBC特别地，(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：AIEFAH−⋅aaAHBC=⇒=⇒=aAHBCAHBCAH+BC1(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为SS=DEFGABC22SAEFAE(3)=SBDE+SCGFBE2SAEFAE证明：把△FGC向左平移至△EDC'，则∆∆AEF~'EBC，∴=SBDE+SCGFBE五、倒数模型（三平行结构）示意图结论A111=+倒数型相似EFABCDDEAB∥EF∥CD111+=SSSBFC△ABC△BCD△BCF六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边)²＝共线的边之积）补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组~5~,专注中考数学10余年yang451989成射影定理模型．（2）在圆中也会出现射影定理模型．ADFGBEC七、母子相似模型（一）基本模型A已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．DBC结论：△ACD∽△ABC，ADACCD＝＝，AC2＝AD·AB．(公共边)²＝共线的边之积ACABBC（二）结论推导ADACCD结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC2＝AD·AB．ACABBC证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，ADACCD∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD·AB．ACABBC母子相似模型也叫共边共角相似模型．（三）解题技巧如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．八、一线三等角模型（一）基本模型~6~,专注中考数学10余年yang451989已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．CD213APB结论1：△CAP∽△PBD．D已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．A231BP结论2：△APC∽△BDP．C（二）结论推导结论1：△CAP∽△PBD．证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．结论2：△APC∽△BDP．证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．（三）解题技巧在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1＝∠2＝∠3＝90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查九、旋转相似模型(手拉手)（一）基本模型A已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将DE△ADE绕点A旋转．BCAEDBC~7~,专注中考数学10余年yang451989结论：△ABD∽△ACE．（二）结论推导结论：△ABD∽△ACE．证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴AD＝AB．AEAC∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（三）解题技巧如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解．十、十字架模型【正方形内的十字架结构】垂直½相等，相等ø垂直AAGDAGDDFFFHHBECBECBEC【十字结构在矩形中】CECDm如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则==，BDBCn即CE和BD之比等于矩形邻边之比~8~,专注中考数学10余年yang451989一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上）【十字结构在直角三角形中】我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可如图，把边长为AB＝22，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值~9~,专注中考数学10余年yang451989十一、对角互补模型【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。△FDC∽△GEC△DOC∽△EFC十二、双高模型双高模型：可谓“相似成灾”~10~,专注中考数学10余年yang451989共有8组相似！①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON;②△BCM∽△OFM(蝴蝶相似必成队）③△NOF∽△NCB（反A型）重点题型·归类精题型一A字模型2023·四川成都·真题1．如图，在ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′：④过点N′BE作射线DN′交BC于点E．若BDE与四边形ACED的面积比为4:21，则的值CE为．~11~,专注中考数学10余年yang4519892022宜宾2．如图，△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝_________．AE2F1BC2023·山东潍坊·真题3．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．2022·浙江杭州·真题4．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFEDDE1是平行四边形，=．BC4~12~,专注中考数学10余年yang451989(1)若AB=8，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．2023·浙江温州·真题5．如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE=GH．AB5(1)求证：BE=CF，(2)当=，AD=4时，求EF的长．FH66．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小言测得窗户距离地面高度BF=0.7m，窗高BC=1.4m，某一时刻，FD=0.7m，DE=2.1m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度OA．~13~,专注中考数学10余年yang4519892022安徽7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G，连接DF，若DE＝1，DF＝，则MN＝_________．22AEDGMNFBC8．（2023·深圳·九年级统考期中）如图，在RtABC中，∠=ABC90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF//BC交AC于点F，则EF的长为（）515810A．B．C．D．24332023·广东·真题9．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．2023·山东泰安·真题10．如图，在ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8，DF=7,BF′=4，则CG的长度为．~14~,专注中考数学10余年yang45198911．如图，在Rt△ABC中，∠=°C90，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上则图中阴影部分的面积为．2023·四川眉山·真题112．如图，ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两孤交于2点M，N．直线MN交AB于点E．连接CE交AD于点F．过点D作DG∥CE，交AB于点G．若DG=2，则CF的长为．2022·江苏淮安·真题13．如图，在Rt△ABC中，∠=°C90，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DFAB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若ABE的面积是2，DE则的值是．EF~15~,专注中考数学10余年yang45198914．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．(2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为______m．题型二“8”字型2022·辽宁·真题15．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB=6，则△AEF的面积为．~16~,专注中考数学10余年yang4519892023·四川乐山·真题AE216．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若=，则EB3S△ADF=．S△AEF2023·湖北武汉·真题17．如图，DE平分等边ABC的面积，折叠△BDE得到△FDEAC,分别与DFEF,相交于GH,两点．若DG=mEH,=n，用含mn,的式子表示GH的长是．2023上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中18．如图，在ABCD中，E为AD边上的点，AE=2DE，连接BE交AC于点F，AEF的面积为224cm，则ABC的面积为cm．~17~,专注中考数学10余年yang4519892023·四川泸州·真题19．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取AP得最小值时，的值是．PC2023·浙江杭州·真题20．在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．1(1)若ED=，求DF的长．3(2)求证：AECF⋅=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．2023·四川眉山·统考中考真题21．如图，ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠=FCG∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．~18~,专注中考数学10余年yang45198922．如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．(1)证明：△OBF∽△ECF；(2)若OF=3，EF=2，求BF的长度．2022深圳23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2√5，连接CE，以CE为底作等腰Rt△CDE，CD＝DE，点F是线段AE上一点，连接BD，BF，∠FBD＝45°，则AF的长为_________．AFEDBC题型三三角形内接矩形2022·山东东营·真题24．如图，在ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2,EFAD是ABC的高．BC=8,AD=6，那么EH的长为．25．如图，AD是ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC=21cm，高AD=15cm，四边形EFGH是ABC内接正方形，~19~,专注中考数学10余年yang451989(1)AHG与ABC相似吗？为什么？(2)求内接正方形EFGH边长EF．26．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？27．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．~20~,专注中考数学10余年yang451989题型四倒数型（三平行结构）湖南株洲·统考中考真题28．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()1234A．B．C．D．33452023·四川内江·真题29．如图，在ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，ACDGEF∥∥，点H为AF与DG的交点．若AC=12，则DH的长为（）3A．1B．C．2D．322024届·深圳中学九年级期中30．如图，在ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若HD=3，则AC的长为．~21~,专注中考数学10余年yang451989题型五A字型及8字型相结合2023·黑龙江哈尔滨·真题31．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N．若DOOB:=1:2，AC=12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．832．如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线分别与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G，若BE＝6，EF＝4，则FG的长为_________．GAFDEBC2023·安徽·真题33．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF=2，FB=1，则MG=（）35A．23B．C．51+D．1022023·陕西·真题34．如图，DE是ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC=6，则线段CM的长为（）~22~,专注中考数学10余年yang4519891315A．B．7C．D．82235．如图，在ABCD中，延长AD至点E，使AD=2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，CG则的值是（）AG2113A．B．C．D．3324题型六射影定理2023·湖南郴州·真题36．在Rt△ABC中，∠=°BAC90，AD是斜边BC上的高．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．2022湘潭37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积．lADFBCE~23~,专注中考数学10余年yang45198938．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，AB＝1，BO＝BC2OD4，则S＝_________．△ABD3S△CBDDAOBC39．如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.（1）求证：△AGE≌△AGD（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=25，求BE的长.题型七子母模型（公共边公共角）2022·湖北鄂州·真题40．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为．~24~,专注中考数学10余年yang4519892023·四川凉山·真题41．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠=CAB∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．(1)求证：AC⊥BD；(2)若AB=10，AC=16，求OE的长．42．如图，ABC和AGF是等腰直角三角形，∠BAC=∠=°G90，AGF的边AF，AG交边BEBC于点D，E．若AD=4，AE=3，则的值是．DC43．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．~25~,专注中考数学10余年yang451989（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；44．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9，BD＝7，AC＝12．（1）求证：AC2·AB＝AD；（2）若AE＝8，求EF的长．ADEBFC45．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A'处，连接CA'并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长．ADFEA′BC46．（2023上·四川成都·九年级统考期末）在ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，连接AE，CD交于点O，且∠=ADC∠AEC，(1)求证：BDAB⋅=⋅BEBC：(2)当D为边AB的中点时，且CE=4，①若23AO=OE，求AB；②若△AEC为等腰直角三角形，且∠=°EAC90，求四边形BDOE的面积．47．如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE~26~,专注中考数学10余年yang451989于点F．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长；（3）如图2，若BF＝，BC＝4，求EF的长．3AACDCBDBFFEE图1图248．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC，交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：AE2＝BE·DE；（2）求证：△AFE∽△CAE；（3）若tan∠BEF＝3，CE＝2，求AF的长．4ABDECF题型八一线三等角模型2023·黑龙江大庆·真题49．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与NDM一定相似的三角形是．~27~,专注中考数学10余年yang4519892023·山东东营·真题50．如图，ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠=°ADE60，若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.251．如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，顶点A在边DE上，AB与CD相交于点F，若AE＝2，AD＝4，则△AFC的面积为_________．EADFBC52．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________．AFDBEC53．如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的长为_________．AFDBEC54．如图，点P是等边ABC的一边BC上的任意一点，且CP=3BP，连接AP，作AP的垂直平分线交ABAC、于M、N两点，则AMAN:的值为．~28~,专注中考数学10余年yang45198955．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连接ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，若正方形ABCD边长为7，则正方形FPQG面积为．浙江中考真题56．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为．57．如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠=°E60．若CG=3，AH=7，则菱形ABCD的边长为．~29~,专注中考数学10余年yang4519892023·浙江丽水·统考中考真题58．如图，在四边形ABCD中，ADBC∥,∠=C45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是（）2A．2B．C．2D．1259．如图，将8个边长为1的小正方形叠放，过其四个角的顶点A、E、F、G作一个矩形ABCD，则矩形ABCD的面积为.60．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为BC上一点，点E为AD上一点，∠BED＝∠CED＝45°，若BD＝3，则CE的长为_________．AEBDC61．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E是AB的中点，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，EF的延长线交BC于点G，则BG的长为_________．ADEFBGC62．（2021南京）如图，将□ABCD绕点A逆时针旋转到□AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为_________．~30~,专注中考数学10余年yang451989D′ADEBB′C63．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝3，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，使点F落在边BC上，且BF＝4CF，则DE·AF的值为_________．AEDBFC64．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E在AB边上，点F在CA的延长线上，∠EDF＝45°，DF交AB于G．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）若sin∠BDE＝，EF＝5，求AF的长．55FAEBDC徐州中考65．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．~31~,专注中考数学10余年yang451989(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．66．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°至BF，连接EF，EF交AD于点G．(1)求证：ABE∽AEG；(2)若正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，求AE的长．67．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠=°ABC120，点E是AD边上一动点，连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转60°，分别交边CD于点F，交对角线BD于点G.(1)试判断△ABD的形状，并说明理由；(2)若AB=3，AE=1，求DG及EG的长；~32~,专注中考数学10余年yang451989DG4EG(3)若=，求的值.BG21GF68．Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角尺，且BE=DG，按如图所示的方式恰好放置在矩形ABCD内，DC点E、G分别在边AD、BC上，点B、D恰好与矩形的顶点重合，则=．CG69．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，∠EDF＝90°，分别过点E，F作AB的垂线，垂足为G，H．（1）如图1，当AC＝BC时，求证：AG＝DH；（2）如图2，当AC≠BC时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．CCEFFEAGDHBAGDHB图1图270．（1）模型探究；如图1，D，E，F分别为ABC三边BC，AB，AC上的点，且∠=∠=∠BCEDF．BDE与△CFD相似吗？请说明理由；（2）模型应用：ABC为等边三角形，边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD=2．AE①如图2，当点D在线段CB上时，求的值；AF②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求BDE与△CFD的面积之比．~33~,专注中考数学10余年yang4519892023·湖北武汉·统考中考真题71．问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=≥°α(a90,)AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展：DG1BE(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若=，求的值．CG2CE题型九旋转相似模型（手拉手）2023·湖南常德·真题72．如图1，在Rt△ABC中，∠=ABC90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点BDD作DE∥BC交AC于E，将ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值CE为．~34~,专注中考数学10余年yang4519892022烟台73．如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且AB＝AD＝3，连接BD，BCDE4CE，并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________．ADFEGBC2021天门74．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将32线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．DAEBC2022河池75．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF＝2＝2，AE与BF交BC5于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_________．ANDFMOBEC~35~,专注中考数学10余年yang45198976．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝，则AD的3长为_________．ADBC77．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，PA＝2，PC＝3，PB＝，求43△ABC的面积．APBC78．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，点D为△ABC外一点，∠BDC＝∠ACB，若AD＝，CD＝，求BD的长．2235DABC2023·辽宁营口·真题79．如图，在ABC中，∠=°BAC90，AB=AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连AE接BD交AC于在E，则=．ED80．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：ABD∽ACE；~36~,专注中考数学10余年yang451989°°尝试应用：如图（2），在ABC和ADE中，∠=BAC∠=DAE90，∠=ABC∠=ADE30，AC与ADDFDE相交于点F．点D在BC边上，=3，求的值；BDCF°°拓展创新：如图（3），D是ABC内一点，∠=BAD∠=CBD30，∠=BDC90，AB=4，AC=23，直接写出AD的长．81．（2023上·广东深圳·九年级深圳市高级中学校考期中）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．CE(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值；DGCE(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转αα(0°<≤90°)，如图2，直接写出的值；DG(3)若AB=2，AG=1，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转αα(0°<≤360°)，当C，G，E三点共线时，求DG的长度．2022鞍山82．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在边AC上，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接CE，点F在线段BD上．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）如图1，若AF∥CE，AF＝5，CE＝12，求AD的值；DC~37~,专注中考数学10余年yang451989（3）如图2，若AF∥DE，若AF＝3，CE＝，求AD的值．39DCAADDFFBCBCEE图1图283．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC．（1）求证：△ADM∽△BDC；（2）用等式表示∠CDE与∠ADE的数量关系，并证明；（3）若AD＝，BD＝6，求tan∠ADE的值．13AMDEBC84．如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE，将△ADE绕点A旋转，直线BD与CE相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）连接AF，判断AF与CF的位置关系，并说明理由；（3）若F为BD的中点，AB＝8，BC＝11，AD＝25，直接写出BD的长．AADBCBCFE备用图题型十作辅助线构造A字和8字型相似85．在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=ADDE，交AB于F．求证：EFBC×=×ACDF~38~,专注中考数学10余年yang4519892023·湖北十堰·真题86．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE=BF=CG=AH，若菱形的面积等于24，BD=8，则EF+=GH．2023·浙江·真题87．如图，点P是ABC的重心，点D是边AC的中点，PEAC∥交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则ABC的面积为（）A．15B．18C．24D．362023·江苏·中考真题88．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3xb+的图象分别与轴、xy轴交于AB、两点，且kCA1与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为(2,0,)=，则的值是kxAB2（）．~39~,专注中考数学10余年yang451989A．3B．23C．33D．432022·湖南常德·真题189．如图，已知F是ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若BDFE的面积为2，BD=BA，31BE=BC，则ABC的面积是．42022·四川绵阳·真题90．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝210，CD＝2，则△ABE的面积为．2022襄阳91．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF∶FD＝3∶~40~,专注中考数学10余年yang4519891，AB＋BE＝，则△ABC的周长为_________．33ADFBEC92．如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH=3cm，EH=6cm，AH=4cm，则HC的长为（）A．22cmB．20cmC．18cmD．16cm93．如图，等腰Rt△ABC中，∠=°ACB90，点D在AB上，且AD=2DB，连接CD，过点A作AEAE⊥CD于点E，连接BE，则的值是．BE94．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，将ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果点E为边BC的中点，则AFFG:的值为（）A．3B．4C．5D．6~41~,专注中考数学10余年yang4519892023·山东烟台·真题95．如图，点C为线段AB上一点，分别以ACBC,为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE，且∠=∠ACBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BFDE,．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．596．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得BD=2DC，连接AC，如果tanB=，则3tan∠CAD的值是（）3311A．B．C．D．3535BD397．（2023·扬州九年级联考期中）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且=，点E是ADDC4AF的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为．FC98．（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校联考期中）如图，ABC中，点D在CA的延长线上，且DA=2AC，连接BD，CE为中线，延长CE交BD于点F．若~42~,专注中考数学10余年yang451989∠=∠DABCDF,3=，则BA=．99．（2023·四川成都·真题）如图，在Rt△ABC中，∠=ABC90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将DEC沿DE折叠得到DEF，DF交AC于点G．若AG7=，则tanA=．GE32022·湖北武汉·统考中考真题100．问题提出：如图（1），ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使AFDE=DB，延长ED交AB于点F，探究的值．ABAF(1)先将问题特殊化．如图（2），当∠=°BAC60时，直接写出的值；AB(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CG1AF=(n<2)，延长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含BCnABn的式子表示）．101．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景~43~,专注中考数学10余年yang451989（1）如图1，在ABC中，AB=AC，D是边AB的中点，延长CB至点E，使DE=DC，求证：BC=2BE；变式迁移（2）如图2，在ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在边BC上，DE=DC，点FBE是DE与AC的交点，且DF=FE，求的值；BC问题拓展（3）如图3，在ABC中，AB=AC，若点D在边AB上，点E在CB的延长线上，DE=DC，点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=nFE，当AB=1，∠=ABCa时，直接写出BE的值（用含n，a的式子表示）.题型十一反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）2022·新疆·统考中考真题102．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQDP·=32，则BQ=．~44~,专注中考数学10余年yang4519892023·浙江丽水·统考中考真题103．如图，在四边形ABCD中，ADBC∥,∠=C45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是（）2A．2B．C．2D．12重庆中考104．如图，正方形ABCD中，AD=9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接1AM，交EF于点N，若BF=BC，则线段AM的长是．3105．如图，以RtABC的斜边AB为一边，在ABC的同侧作正方形ABDE，设正方形的中心为O，连接OC．若AB=13，AC=5，则OC的长为．~45~,专注中考数学10余年yang451989题型十二十字架模型2023·辽宁丹东·真题106．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为．2024届·深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中107．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AEED:=1:2．线段BE的垂直平分线AF分别交ABBE、、CD于点F，G，H，则的值为．CH108．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点DFG，若AB=6，BC=8，求的值．AE(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】~46~,专注中考数学10余年yang451989AB3(2)如图2，在ABC中，∠=°BAC90，=，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BDAC4AF于点E，交BC于点F，求的值．BD【灵活运用】AB3(3)如图3，在四边形ABCD中，∠=°BAD90，=，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在AD4CF边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则=__________________．DE2023·山东菏泽·中考真题109．（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠=ADF∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠=°AED60，求CF的长．110．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．证明:DECD·=CFAD·；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECD·=CFAD·成立？并证明你的结论；DE（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．求的值．CF~47~,专注中考数学10余年yang4519892021·四川达州·统考中考真题111．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DEDE⊥CF，则的值为__________；CF（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CECE⊥BD，则的值为__________；BD【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠=∠=°AB90，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DEAB⋅=⋅CFAD；~48~,专注中考数学10余年yang451989【拓展延伸】1（4）如图4，在RtABD∆中，∠=°BAD90，AD=9，tan∠=ADB，将∆ABD沿BD翻折，点A3落在点C处得∆CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF．DE①求的值；CF②连接BF，若AE=1，直接写出BF的长度．题型十三对角互补模型深圳中考112．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=~49~,专注中考数学10余年yang451989113．（2023上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）已知在Rt△ABC中，∠=°BAC90，AB=2，AC=4，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB、AC于点E、F．问题发现DE（1）如图1，当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，=______；DFDE（2）若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，=______；DF类比探究CDaDE（3）如图3，若改变点D的位置，且=时，求的值，并写出解答过程；BDbDF问题解决（4）如图3，连接EF，当CD=______时，DEF与ABC相似．题型十四双高型114．如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，则AC边上的高为．115．如图．已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE＝62．（1）证明：△BED△BCA；（2）求点B到直线AC的距离．~50~,专注中考数学10余年yang451989116．如图，BD是ABC边AC上的高，点E在边AB上，联接CE交BD于点O，ADOC⋅=⋅ABOD．(1)求证：ABD∽ACE；(2)联接DE，作AF平分∠BAC，交BC于点F，交DE于点G．求证：AFDE⋅=⋅AGBC．~51~