三角形的七大全等模型（压轴专练）（学生版）

三角形的七大全等模型(压轴专练)目录【题型一手拉手模型】【题型二半角模型】【题型三对角互补模型】【题型四三垂直模型】【题型五一线三等角模型】【题型六雨伞模型】【题型七胖瘦模型】【题型一手拉手模型】模型一：手拉手模型(一)有公共顶点的等边三角形(二)有公共顶点的等腰直角三角形(三)顶角相等的等腰三角形1 1(1)如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是．(2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；②图2中∠AFB的度数是．(3)如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．【题型二半角模型】模型二：半角模型(一)等边三角形中120°含60°半角模型(二)等腰直角三角形中90°含45°半角模型2 1如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．【题型三对角互补模型】模型三：对角互补模型(一)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB+AC=2AD．(二)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB-AC=2AD．3 (三)“等边三角形对120°模型”．△ABC是等边三角形，∠BPC=120°，则有PB+PC=PA；(四)“120°等腰三角形对60°模型”△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，则有PB+PC=3PA；1如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．4 【题型四三垂直模型】模型四：三垂直模型1如图，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求证：EC=AB-CD．【题型五一线三等角模型】模型五：一线三等角模型题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠2=∠C5 解题方法：只要题目再出现一组等边(BE=AC或EF=AE或BF=EC)，必证△BEF≌△CAE(AAS或ASA)证明过程：∵∠1=180°-∠2-∠3，∠4=180°-∠C-∠3，∵∠2=∠C，∴∠1=∠4，∵∠B=∠C，若BE=AC或EF=AE或BF=EC，则△BEF≌△CAE(AAS或ASA)1如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【题型六雨伞模型】模型六：雨伞模型模型讲解【结论】如图，AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP，垂足为O，延长BO交AC于点D，则△ABO≌△ADO,AB=AD，OB=OD．【证明】根据题意得，在△ABO与△ADO中，∠BAO=∠DAO,AO=AO,∠AOB=∠AOD,∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD,OB=OD．1已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，求证：CE=2BD.6 【题型七胖瘦模型】模型七：边边角模型SSA(胖瘦模型)胖瘦模型--两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补．模型讲解【模型】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在线段BC上且P不是BC的中点．【结论1】(变胖)如图所示，在BC上截取CQ=BP，连接AQ，△ABQ≌△ACP(SAS),AP=AQ．6【结论2】(变瘦)如图所示，在BC上截取CQ=BP，连接AQ，△ABP≌ACQ(SAS),AP=AQ．【结论3】如图所示，过点A作AM⊥BC，垂足为M,△ABM≌△ACM(SAS)．【总结】两个三角形满足两条边对应相等，并且其中一条边的对角相等，满足的条件为SSA．处理方法：1变胖(加等腰)．2变瘦(减等腰)．1如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．7 一、单选题1如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A、D、E在同一条直线上．若∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()A.60°B.65°C.70°D.75°2如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB=20°．旋转角的度数是()A.110°B.90°C.70°D.20°3如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，BD是边AC上的中线，则BD的长度可能为()A.1B.2C.5D.84如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为()8 A.7B.8C.9D.105如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(-2,0)，点A的坐标为(-6,3)，求点B的坐标()A.3,4B.2,3C.2,4D.1,46如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是()A.8cmB.4cmC.3cmD.2cm二、填空题7如图，△ABC按顺时针方向转动40°得△AED，点D恰好在边BC上，则∠C=°．8如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD=5，BC=4，则DE=．9 9如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是(3，2)，则点A的坐标是．10在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是．11(2016育才周测)如图，正三角形ΔABC和ΔCDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有．并写出3对全等三角形．12如图所示，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，则∠A+∠C的度数是度．三、解答题13通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：10 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；(2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；(3)如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2=10．求出S1的值．14(1)【特例探究】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=100°，∠EAF=50°，猜想并写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，证明你的猜想；(2)【迁移推广】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=2∠EAF．请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明；(3)【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏东20°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C，D处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．15已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．11 (1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)16如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC=AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．(Ⅰ)求证：△AGE≌△AFC；(Ⅱ)若AB=AC，求证：AD=AF+BD；(Ⅲ)如图2，若AB=AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系．17已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？(直接写出，不必证12 明)18如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°，线段BC分别交AF，EF于点M，N．(1)请说明∠EAB=∠FAC的理由；(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；(3)求∠AMB的度数．19阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：①延长AD到Q使得DQ=AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．13