三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（学生版）

三角形中的范围与最值问题1.目录题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法，张角定理1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；·1· (3)求面积的最值和范围．题型一:周长问题1(2023·贵州贵阳·校联考模拟预测)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222a+b-cacosB+bcosA=abc．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．2(2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，a=23，(2b-c)cosA=acosC，(1)求角A；(2)求△ABC的周长l的范围.·2· 2B+C3(2023·全国·高三专题练习)在①2S=3AB⋅AC；②2cos=1+cos2A；③c=3asinC-2ccosA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角△ABC中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的范围．1.(2023·全国·模拟预测)在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c-b=acosB-bcosA.(1)求角A的大小；(2)若a=1，求△ABC周长的范围.2.(2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a=2，acosB=2c-bcosA．(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的范围．·3· 题型二:面积问题1(2023·全国·模拟预测)已知在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m=2sinx,3，n=cosx,cos2x，fx=m⋅n，fB+C=0．(1)求角A的值；(2)若b=1，求△ABC面积的范围．2(2023·江苏南通·统考模拟预测)如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD内种植了两种花卉，其中△ABD区域内种植兰花，△BCD区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界AB=60m，BC=20m，AD=CD=40m．(1)求观赏小道BD的长及种植区域ABCD的面积；(2)因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域(四边形PBCD)的面积最大，并求出这个面积的最大值．·4· 3(2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中)在①a=2，②a=b=2，③b=c=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值(或最大值)．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分222别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：4S=b+c-a，且，求△ABC的面积的值(或最大值)．1.(2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO，其中OA=3km，OB=33km，∠AOB=90°．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上(M，N均不与AB重合，M在A，N之间)，且∠MON=30°．(1)若M在距离A点1km处，求点M，N之间的距离；(2)设∠BON=θ，①求出△OMN的面积S关于θ的表达式；②为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定θ的值，使△OMN得面积最小，并求出这个最小面积．32.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，S△ABC=BA⋅BC,BC=3．2(1)D为线段BC上一点，且CD=2BD,AD=1，求AC长度；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围．·5· 3.(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3.bcosA(1)若a=25，b=2，求c的大小；(2)若b=2，且C是钝角，求△ABC面积的大小范围.题型三:长度问题1(2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)已知锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinB-csinC=b-asinA.(1)求C；(2)若c=3，求a-b的范围.2(2023·福建莆田·高三校考期中)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=23，222sinB2c-asinC=b+c-ab(1)求角B﹔(2)求2a-c的范围．·6· 3(2023·重庆江北·高三校考阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，且2C2A3acos+ccos(a+c-b)=ac.222(1)求角B的大小；(2)若b=23，c=x(x>0)，当△ABC仅有一解时，写出x的范围，并求a-c的取值范围.1.(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；222a=4，sinA+sinBsinC=sinB+sinC．(I)求角A的值；(Ⅱ)求2b-c的范围．2.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边(a+b+c)(a+b-c)=3ab.(1)求角C的值；(2)若c=2，且ΔABC为锐角三角形，求2a-b的范围.·7· 3.(2023·山西运城·统考模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin(A-B)a-b(1)求证：=；sinA+sinBcπ(2)若△ABC是锐角三角形，A-B=,a-b=2，求c的范围.34.(2023·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知πasinC=ccosA-.6(1)求角A的大小；(2)设H为ΔABC的垂心，且AH=1，求BH+CH的范围.题型四:转化为角范围问题1(2023·全国·高三专题练习)在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.(1)求A；(2)求cosB-cosC的取值范围.·8· 2(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b=ccosB-cosA．(1)判断△ABC的形状并给出证明；(2)若a≠b，求sinA+sinB+sinC的取值范围．3(2023·河北保定·高一定州一中校考阶段练习)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知1-sinA1-cos2B=．cosAsin2B(1)判断△ABC的形状(锐角、直角、钝角三角形)，并给出证明；224a+5b(2)求的最小值．2c1.(2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AB⋅AC+BA⋅BC=2CA⋅CB；cosAcosB(1)若=，判断△ABC的形状并说明理由；ba(2)若△ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围.·9· 2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a=1,b=2.π(1)若∠B=，求角A的大小；4π(2)求cosAcosA+的取值范围.63.(2023·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边222π分别是a,b,c，b+c-a=2bcsinA+．6(1)求角A的大小；(2)求sinB⋅sinC的取值范围．24.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c+bc2211-a=0，则4sinC+cosC+-的取值范围为()tanCtanA83A.42,9B.8,9C.3+4,9D.23+4,9·10· 题型五:倍角问题1(2023·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．(1)证明：A=2B；(2)若b=1，求a的取值范围；(3)若△ABC的三边边长为连续的正整数，求△ABC的面积．2(2023·全国·高三专题练习)已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=2B，且A为锐c1角，则+的最小值为()bcosAA.22+1B.3C.22+2D.4a3(2023·全国·高三专题练习)锐角△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，A=2B，则的范围是b．1.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面2S积为5，若sinA+C=，则tanA的取值范围为．22b-a·11· 2.(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=2B，则2ac+2b的取值范围为．abb3.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中A=2B，B，C的对边长分别是b，c，则的b+c取值范围是()11111223A.4,3B.3,2C.2,3D.3,44.(2023·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习)在锐角△ABC中，∠A=2∠B，∠B，b+c∠C的对边分别是b，c，则的范围是()2b34431A.1,2B.1,3C.3,2D.2,25.(2023·江苏南京·高一金陵中学校考期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，c2b2若A=2B，则+的最小值为()ba710A.-1B.C.3D.33·12· 题型六:角平分线问题1(2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，asinB+3cosB=且A≠B.bsinA+3cosA(1)求角C的大小；(2)若角C的平分线交AB于点D，且CD=23，求a+2b的最小值.2(2023·江苏淮安·高一统考期中)如图，△ABC中，AB=2AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．(1)若AD=BC，求∠BAC的余弦值；(2)若AC=3，求AD的取值范围．·13· 3(2023·浙江杭州·高一校联考期中)在①a+acosC=3csinA，②a+b+ca+b-c=3ab，③a-bsinB+C+bsinB=csinC．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．(1)求角C的值；(2)若角C的平分线交AB于点D，且CD=23，求2a+b的最小值．1.(2023·河北沧州·校考模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且acosC+2b+ccosA=0，角A的平分线与边BC交于点D.(1)求角A；(2)若AD=2，求b+4c的最小值.2.(2023·山东泰安·校考模拟预测)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足22sinAsinA-sinC-1=，且A≠C．sinC2sinB(1)求证：B=2C；(2)已知BD是∠ABC的平分线，若a=6，求线段BD长度的取值范围．·14· 3.(2023·全国·高一专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asinAcosB+bsin2A=23acosC．(1)求角C的大小；(2)若c=23，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．4.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且B+C3bsin=asinB，边BC上有一动点D.2(1)当D为边BC中点时，若AD=3,b=2，求c的长度；(2)当AD为∠BAC的平分线时，若a=4，求AD的最大值.题型七:中线问题2c-b1(2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，若acosB=cosA(1)求角A的大小；(2)若a=2，求中线AD长的范围(点D是边BC中点).·15· 2(2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2c-bsin+B=．22a(1)求A；(2)若b+c=3，求BC边中线AM的取值范围．3(2023·全国·高一专题练习)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB=csinC+2bsinA．(1)求角C的大小；(2)若c=2，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．1.(2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c-bcosB=acosA(1)求角A的大小；(2)若a=2，求中线AD长的最大值(点D是边BC中点)．·16· 2.(2023·广东广州·高二广州六中校考期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC-asinC=3b．(1)求角A的大小；(2)若a=2，求BC边上的中线AD长度的最小值．题型八:四心问题1(2023·四川凉山·校联考一模)设△ABO(O是坐标原点)的重心、内心分别是G,I，且BO⎳GI，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小值是．2(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且acosC+ccosAtanA=3b.(1)求角A的大小；(2)若a=3，O为△ABC的内心，求OB+OC的最大值.·17· 3(2023·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c-bsinC=acosC-bsinB+acosBsinC.(1)求角A；(2)若H为△ABC的垂心，a=2，求△HBC面积的最大值.1.(2023·河北邢台·高一统考期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2322(cosC-cosA)=(a-b)sinB，且△ABC外接圆的半径为3．(1)求C的大小；(2)若G是△ABC的重心，求△ACG面积的最大值．·18· 2.(2023·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习)如图，记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2b=4，A的角平分线交BC于点D，O为△ABC的重心，过O作OP∥BC，交AD于点P，过P作PE⊥AB于点E.(1)求a的取值范围；(2)若四边形BDPE与△ABC的面积之比为λ，求λ的取值范围.AC2AB23.(2023·浙江·高一路桥中学校联考期中)若O是△ABC的外心，且⋅AB⋅AO+⋅22ABAC52AC⋅AO=AO，则sinB+2sinC的最大值是()2235A.3+B.+2C.D.22222ACAB4.(2023·全国·高三专题练习)已知O是三角形ABC的外心，若AB⋅AO+AC⋅AO=ABAC2mAO，且sinB+sinC=3，则实数m的最大值为()614A.6B.C.D.355·19· 题型九:坐标法π1(2023·全国·高三专题练习)在Rt△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，点M在△ABC内部，2322cos∠AMC=-，则MB-MA的最小值为．52(2023·全国·高一专题练习)在△ABC中，AB=2，AC=32，∠BAC=135°，M是△ABC所在平面上的动点，则w=MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最小值为．223(2023·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x+y=9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是.1.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC中，AB=AC=3，且ΔABC所在平面内存在一点P222使得PB+PC=3PA=3，则ΔABC面积的最大值为()22352335335A.B.C.D.3164162.(2023·全国·高三专题练习)在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则MA的最小值是()MC333A.1B.C.D.4233.(2023·江西·高三校联考开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所22对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则F(x,y)=(x-23)+y+2222(x+1-3)+(y-1+3)+x+(y-2)的最小值为()A.4B.2+23C.3+23D.4+23·20· 题型十:隐圆问题1(2023·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC4=90°，sinA=，则对角线AC的最大值为()5A.27B.16C.10D.252(2023·江苏泰州·高三阶段练习)已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为.3(2023·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试)已知等边△ABC的边长为2，点G是△ABC内的一点，且AG+BG+CG=0，点P在△ABC所在的平面内且满足PG=1，则PA的最大值为.°1.(2023·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD中，∠BAD=90，AB=2，AD=1．若41AB⋅AC+BA⋅BC=CA⋅CB，则CB+CD的最小值为．322.(2023·全国·高三专题练习)若△ABC满足条件AB=4，AC=2BC，则△ABC面积的最大值为__.3.(2023·江苏·高三专题练习)在△ABC中，BC为定长，AB+2AC=3BC，若△ABC的面积的最大值为2，则边BC的长为．·21· 24.(2023·全国·高三专题练习)△ABC中AB=AC=2，△ABC所在平面内存在点P使得PB22+PC=4，PA=1，则△ABC的面积最大值为．5.(2023·全国·高三专题练习)已知ΔABC中，AB=AC=3，ΔABC所在平面内存在点P使222得PB+PC=3PA=3，则ΔABC面积的最大值为．题型十一:两边夹问题cosAcosBπ1(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，若+=2,A,B∈0,，且△ABC的周长为12．sinBsinA2(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)求△ABC面积的最大值．2(2023·全国·高三专题练习)设ΔABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，cosA-C-1cosB=，延长BC至D，若BD=2，则ΔACD面积的最大值为.23(2023·全国·高三专题练习)设ΔABC的内角A，B，C的对边为a，b，c．已知a，b，c依次成等比数列，1且cosA-C-cosB=，延长边BC到D，若BD=4，则ΔACD面积的最大值为．2·22· 题型十二:与正切有关的最值问题221(2023·全国·高一专题练习)在锐角三角形ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，且满足b-a=11ac，则-的取值范围为.tanAtanBB+C2(2023·全国·高一阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin=2asinB.(1)求A角的值；a-c(2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的A角值求的取值范围.bB+C3(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin=2asinB．求：(1)A；a-c(2)的取值范围．b·23· 1.(2023·全国·高三专题练习)锐角△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为2222aca，b，c，且a+b-c=4acosA-2accosB，则的取值范围是()b33A.(23,33)B.(3,33)C.2,23D.2,32.(2023·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为22ba，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a-b-c，则的取值范围为()c1233435A.2,2B.3,2C.4,3D.5,3223.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a-c=11bc，则-+3sinA的取值范围为()tanCtanA133133A.(23,+∞)B.(23,4)C.6,4D.23,6题型十三:最大角问题1(2023·全国·高三专题练习)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(-1,2)，N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是()A.1B.-7C.1或-7D.2或-72(2023·全国·高三专题练习)设△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=3c，则tan(A-B)的最大值为()53133A.B.C.D.53843(2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1acosB-bcosA=c，当tan(A-B)取最大值时，角C的值为2ππππA.B.C.D.2634·24· 1.(2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面12米，树上另一点B离地面8米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为()5101520A.B.C.D.510152021112.(2023·江苏扬州·高一统考期中)如图：已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，223某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树()米时，看A、B的视角最大.2A.4B.5C.6D.7题型十四:费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题1(2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习)△ABC内一点O，满足∠OAC=∠OBA=∠OCB，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如∠BOC=π-∠ABC=∠BAC+∠ACB，请你和他一起解决如下问题：2(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，∠CAO=∠BAO=∠OBA=∠OCB，证明：a=bc；(2)在(1)的条件下，若△ABC的周长为4，试把AB⋅AC表示为a的函数f(a)，并求AB⋅AC的取值范围．·25· 2(2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末)十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所2求的点称为费马点，已知在△ABC中，已知C=π，AC=1，BC=2，且点M在AB线段上，且满足CM3=BM，若点P为△AMC的费马点，则PA⋅PM+PM⋅PC+PA⋅PC=()432A.-1B.-C.-D.-5553(2023·全国·高三专题练习)点P在△ABC所在平面内一点，当PA+PB+PC取到最小值时，则称该o点为△ABC的“费马点”.当△ABC的三个内角均小于120时，费马点满足如下特征：∠APB=∠BPCo=∠CPA=120.如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，则其费马点到A,B,C三点的距离之和为()A.4B.2C.2-23D.2+31.(2023·湖南邵阳·统考三模)拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”.在△ABC中，已知∠ACB=30°，且AC=3，BC=3，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C，则△ABC的边长为()A.3B.2C.3D.22.(2023·河南·高一校联考期末)几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点．在△ABCπ中，已知C=，AC=3，外接圆的半径为3，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次6记为A′，B′，C′，则△A′B′C′的面积为()A.3B.2C.3D.2·26· 题型十五:托勒密定理及旋转相似1(2023·江苏淮安·高一校联考期中)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=43，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.163B.16C.123D.122(2023·全国·高三专题练习)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=42，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.8B.16C.83D.1633(2023·全国·高三专题练习)克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为23的圆，∠A=120°，∠B=45°，AB=AD，则四边形ABCD的周长为()A.43+62B.103C.43+42D.43+52·27· 1.(2023·江苏·高一专题练习)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AD=2AC，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为()A.4B.13C.33D.7+232.(2023·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习)在△ABC中，BC=2，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧).当角C变化时，线段CD长度的最大值是()A.3B.4C.5D.93.(2023·全国·高一专题练习)在△ABC中，BC=2，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时，线段CD长的最大值为()A.1B.2C.3D.44.(2023·全国·高三专题练习)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为()3+13A.23+2B.C.+2D.3+122题型十六:三角形中的平方问题2221(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a+b+2c=8，则△ABC面积的最大值为()525355A.B.C.D.55532222(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足5a+3b=3c，则sinA的取值范围是.·28· 3(2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S=1a2+c2-b22222ac-，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若sinC=2sinAcosB，且b422+c=4，则△ABC面积S的最大值为()5253545A.B.C.D.5555221.(2023·河南洛阳·高三校考阶段练习)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b22π+c=12，A=，则△ABC面积的最大值为()3233343A.B.C.D.35552222.(2023·云南·统考一模)已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sinC=2sinA-3sinB，则tanB的最大值为()5511535A.B.C.D.322053.(2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满2sinA+cosAtanC足b=ac，则的取值范围()sinB+cosBtanC5-15+13-53+5A.2,2B.2,25-15+33-51+5C.2,2D.2,222214.(2023·全国·高三专题练习)在锐角三角形ABC中，已知2sinA+sinB=2sinC，则tanA11++的最小值为()tanBtanC1313A.213B.13C.D.24题型十七:等面积法、张角定理1(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，内角A的角平分线交边BC于D点，且AD=4．若(2b+c)cosA+acosC=0，则△ABC面积的最小值是()A.16B.163C.64D.6432(2023·湖北武汉·高一校联考期中)已知△ABC的面积为S,∠BAC=2α,AD是△ABC的角平分线,·29· 则AD长度的最大值为()SSA.S⋅sinαB.C.S⋅tanαD.sinαtanα3(2023·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中)给定平面上四点O,A,B,C满足OA=4,OB=3,OC=2,OB⋅OC=3，则ΔABC面积的最大值为.π1.(2023·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习)在△ABC中，∠BAC=，AM是∠BAC3的角平分线，且交BC于点M.若△ABC的面积为3，则AM的最大值为.2.(2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，内角A的角平分线交边BC于D点，且AD=4.若(2b+c)cosA+acosC=0，则△ABC面积的最小值是.3.(2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中)△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于2πD点，若BD=1且∠ABC=，则S△ABC面积的最小值为.34.(2023·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中)已知△ABC中，角A、B、C所对的π边分别为a、b、c，∠ABC=，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD=3，则a+c的最小值为3．5.(2023·全国·高一专题练习)已知△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，c=1,∠C的角平分线交AB于点D．若sinA+sinB=2sin∠ACB，则CD的取值范围是．6.(2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知△ABC，∠BAC=120°，D为BC上一点，AB+9AC且AD为∠BAC的角平分线，则的最小值为.AD·30·