全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型（解析版）

全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型1.矩形的十字架模型(相似模型)矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。DEBC如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则=.ACABEFBC如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则=.ACABEFBC如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则=.MNAB1(23·24上·成都市·九年级期中)如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．15【答案】2【详解】解：如图，过点M作ME⊥BC，垂足为E，连接BD，1 22在Rt△ABD中，AB=6，AD=BC=8，∴BD=AB+AD=10，由折叠得，MN⊥BD，∴∠ADB+∠NMD=90°，∵∠NME+∠NMD=90°，∴∠ADB=∠NME，MNMEMN615∵∠MEN=∠A=90°，∴△MNE∼△DBA，∴=，∴=，∴MN=DBAD1082【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△MNE∽△DBA．2(22·23下·河北·九年级期中)如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，证明：EF:GH=AB:BC．【答案】见解析【分析】过点F作FM⊥AD于点M，过点G作GN⊥CD于点N，先根据余角的性质证明∠MEF=∠GHN，再证明△FME∽△GNH即可证明结论成立．【详解】证明：如解图，过点F作FM⊥AD于点M，过点G作GN⊥CD于点N，∵FM⊥AD，且四边形ABCD为矩形，∴FM⎳CD，∴∠1=∠GHN，∴∠EFM+∠MEF=90°．又∵EF⊥GH，∴∠EFM+∠1=90°，∴∠MEF=∠GHN．又∵∠FME=∠GNH=90°，∴△FME∽△GNH，∴EF:GH=MF:GN=AB:BC．【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．3(22·23下·湖北·九年级期中)在矩形纸片ABCD中AB=5，AD=3，点E、F在矩形的边上，连接EF，将2 纸片沿EF折叠，点D的对应点为点P．(1)如图①，若点P在边AB上，当点P与点A重合时，则∠DEF=°，当点E与点A重合时，则∠DEF=°．(2)如图②，若点P在边AB上，且点E、F分别在AD、DC边上，则线段AP的取值范围是；(3)如图③，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA、PF交于点M，且AM=DE，求线段AE的长度．6【答案】(1)90，45；(2)1≤AP≤3；(3)7【分析】(1)当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，得出∠DEF=90°；当点E与点A重合时，此时1∠DEF=∠DAB=45°；(2)由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方2形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度；(3)连接EM，设AE=x．由折叠知：PE=DE=3-x，∠CDE=∠EPM=90°，CD=CP，证明Rt△AEM≅Rt△PME，得出AE=PM=x，则CM=5-x，BM=AB-AM=AB-DE=2+x，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．°【详解】(1)当点P与点A重合时，如图4，∴EF是AD的中垂线，∴∠DEF=90．°当点E与点A重合时，如图5，此时∠DEF=∠DAB=45，故答案为：90；45．(2)如图6所示，连接PE，则EF是PD的中垂线，∴PE=DE，在△APE中，AP<AE+PE=AE+DE=AD=3，即AP<3，当点E与点A重合时，AP=AD=3；当F与C重合时，AP的值最小，连接CP，由折叠的性质得：CP=CD，2222在Rt△CBP中，由勾股定理得PB=CP-BC=5-3=4，∴AP=AB-PB=1，∴线段AP的取值范围是1≤AP≤3．故答案为：1≤AP≤3．(3)如图7所示，连接EM，设AE=x．由折叠知：PE=DE=3-x，∠CDE=∠EPM=90°，CD=CP=5，∵AM=DE，∴AM=PE，在Rt△AEM和Rt△PME中，3 AM=PE，∴Rt△AEM≅Rt△PMEHL，∴AE=PM=x，EM=ME∴CM=5-x，BM=AB-AM=AB-DE=5-3-x=2+x，22222266在Rt△BCM中，BC+BM=CM，∴3+2+x=5-x，解得x=．∴AE=．77【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．4(江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题)某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：(1)如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；(2)如图2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AB，DCEF上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，GHDNAB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．AM15b4【答案】(1)；(2)；(3)2a5【分析】(1)由矩形对折知，EF⊥BD，证明∠FEG=∠BDA，则△EFG∽△DBA，即可求解；(2)证明∠EFN=∠GHC，则△EFN∽△GHM，即可求解；222(3)证明△ACD≌△ACB(SSS)和△ADE∽△DCF，再利用DC=CF+DF，即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AB∥CD,AD=BC=6,22∴∠ADB+∠ABD=90°,BD=AB+AD=10,∵FG⊥AB于G，∴∠FGE=90°，FG=BC=6，∴∠FGA=∠A∵翻折，∴EF⊥BD，∴∠ADB+∠AEF=180°，又∵∠FEG+∠AEF=180°，∴∠FEG=∠BDA，又∵∠FGE=∠A,EFAB∴△EFG∽△DBA，∴=，代入数据：BDFGEF61515=,解得EF=,故答案为：EF=；10822(2)如图，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N4 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，∵GM⊥BC，EN⊥CD，∴GM=CD=AB=a，EN=AD=BC=b，∵EF⊥GH，∠BCD=90°，∴∠EFC+∠GHC=180°，∵∠DFE+∠EFC=180°，∴∠EFN=∠GHC，又∵∠ENF=∠GMH=90°，∴△EFN∽△GHM，EFNEbEFb∴==，故答案为：=；GHMGaGHa(3)如图，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC=90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E=∠F=90°，AE=BF，EF=AB=8，∵AD=AB，BC=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB(SSS)，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADE+∠CDF=90°，且∠ADE+∠EAD=90°，∴∠EAD=∠CDF，且∠E=∠F=90°，∴△ADE∽△DCF，CDCFDF1∴===，∴AE=2DF，DE=2CF，ADDEAE222222∵DC=CF+DF，∴16=CF+(8-2CF)1232∴CF=4(不合题意舍去)，CF=，∴BF=BC+CF==AE，55DNAE4DN4由(1)可知：==，故答案为：=．AMAB5AM5【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．模型2.三角形的十字架模型(全等+相似模型)1)等边三角形中的斜十字模型(全等+相似)：如图1，已知等边△ABC，BD=EC(或CD=AE)，则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③△ADB∽△BDF∽△BEC。2)等腰直角三角形中的十字模型(全等+相似)：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=5 ∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦AE=2EC，以上七个结论中，可“知二得五”。3)直角三角形中的十字模型：2如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k，(相似)5(22-23.成都市.八年级期中)如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE=CD；②AP=BE；③∠PAE=∠ABE；④∠APB=120°，其中正确的结论是(填序号)6 【解答】解：①因为AC=BC，BD=CE，所以AE=CD．故①正确，②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．AB=BC在△ABD与△BCE中，∠ABD=∠C，∴△ABD≌△BCE(SAS)；∴AD=BE．故②错误；BD=CE③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB=∠CBE，则∠PAE=∠ABE，故③正确；④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD=∠EBC，∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°，∴∠APB=120°，故④正确．6(22·23上·莆田·阶段练习)如图，等边△ABC的边长是6，点E，F分别在AC,BC边上，AE=CF，连接AF，BE相交于点P．(1)求∠APB的度数；(2)若AE=2，求BP⋅BE的值．【答案】(1)120°(2)12【分析】(1)证明△ABE≌△CAF，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得解；(2)证明△APE∽△BAE，利用对应边对应成比例列式计算即可．【详解】(1)解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF，∴∠ABE=∠CAF，∴∠PAB+∠ABE=∠PAB+∠CAF=∠BAC=60°，∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABE=180°-60°=120°；(2)解：∵∠ABE=∠PAE，∠AEB=∠PEA，∴△APE∽△BAEAEBP∴=，∴BP⋅BE=AE⋅AB=2×6=12．BEAB【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键．7(22·23上·滨州·期末)如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△APE的周长为．7 207【答案】4+7【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF、EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≅△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∼△ADB，得到2BPPD==，即可求出BP、PD，从而求出AP、PE,最后根据三角形的周长公式即可解答．2762【详解】解：如图：过点E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，∴AE=4，∴AF=AE⋅cos∠EAF=2，EF=AE⋅sin∠EAF=23，22∴BF=4，∴BE=BF+EF=27，又∵BD=CE，∴△ABD≅△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，AD=BE=27，BDBPDP2BPPD又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∼△ADB，∴==，∴==，ADABBD2762672712787∴BP=，PD=，∴AP=AD-AP=，PE=BE-BP=7777207207∴△ABP的周长=AE+PE+AP=4+．故答案为：4+．77【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．8(22·23下·吉安·模拟预测)课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边AB，AC上的点，且AD=CE．求证：CD=BE．下面是小涵同学的证明过程：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°．∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB(SAS)，∴CD=BE．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：∠BFD的度数是；8 迁移应用：(2)如图2，将图1中的CD延长至点G，使FG=FB，连接AG，BG．利用(1)中的结论完成下面的问题．①求证：AG∥BE；②若CF=2BF，求证：AD=2BD；拓展提升：(3)在等边△ABC中，若点D，E分别在射线AB，AC上，连接CD，BE交于点F，且∠BFD=60°，将CD绕点C逆时针旋转到CM，PC且使得∠MCB=∠ADC．直线DM与直线BC交于点P，若CF=2BF，则的值为BP【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3【分析】(1)由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论；(2)①求证△CBF≌△ABG(SAS)，得∠AGB=∠BFC=120°，AG=CF，相应可证∠AGF=∠BFG=ADAGADCF60°，于是AG∥BE；②可证△ADG∽△BDF，得=，相应的=，可证得AD=2BD；BDBFBDBF(3)如图3，当点D，点E分别在AB，AC上时，由CM=CD，得∠CDM=∠M，可求证△BDP是等边三角PCADPC形，进一步求证DP∥AC，得=，从而=2；如图4，当点D，点E分别在AB的延长线，ACBPBDBP的延长线上时，求证△BPD是等边三角形，得DB=BP=PD，∠PBD=60°=∠BFD，进一步求证CFBFPC△CBF∽△CDB，得=，求证CB=2BD，所以CP=3BP，=3．CBBDBP【详解】(1)解：∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∵∠BFD=∠DCB+∠CBE，∴∠BFD=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°，故答案为：60°；(2)证明：①由(1)知∠BFD=60°，∴∠BFC=120°，又∵FG=FB，∴△BFG是等边三角形，∴∠BGF=∠FBG=60°，BF=BG．∴∠ABC=∠FBG=60°，∴∠CBF=∠ABG，又∵BC=AB，BF=BG，∴△CBF≌△ABG(SAS)，∴∠AGB=∠BFC=120°，AG=CF，∵∠BGF=60°，∴∠AGF=60°，∴∠AGF=∠BFG=60°，∴AG∥BE；ADAG②∵AG∥BE，∴△ADG∽△BDF，∴=，BDBFADCF∵AG=CF，∴=，∵CF=2BF，∴AD=2BD；BDBF(3)解：如图3，当点D，点E分别在AB，AC上时，9 ∵CM=CD，∴∠CDM=∠M，∵∠MCB=∠ADC，∠ADC+∠CDM+∠BDP=180°，∠MCB+∠M+∠CPM=180°，∴∠BDP=∠CPM，∵∠DPB=∠CPM，∴∠BDP=∠BPD，∵∠ABC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴∠BDP=60°=∠A，PCADPC∴DP∥AC，∴=，由②知AD=2BD，∴=2；BPBDBP如图4，当点D，点E分别在AB的延长线，AC的延长线上时，∵CD=CM,∴∠CDM=∠M.∵∠BCM+∠M+∠P=180°,∠ADC+∠CDM+∠PDB=180°,∴∠P=∠PDB,∵∠PBD=∠ABC=60°,∴∠P=∠PDB=∠PBD=60°∴△BPD是等边三角形，∴DB=BP=PD，∠PBD=60°=∠BFD，∴∠DBC=∠BFC=120°，CFBFCFCB又∵∠BCF=∠BCD，∴△CBF∽△CDB，∴=，∴=，CBBDBFBDPC∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴=3，故答案为：2或3．BP【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键．9(22·23下·重庆·九年级期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，连AF接AD，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，求的值．FC【答案】2【分析】过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线相交于点M，延长BF交MC于点G．先证明△GBC≌△DAB，得到CG=BD，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：如解图，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线相交于点M，延长BF交MC于点G．∵∠ABC=90°，BA=BC，∴四边形ABCM为正方形，∴∠ABC=∠BCG=90°，∴∠ABE+∠GBC=90°，又∵BE⊥AD，∴∠ABE+∠BAD=90°，∴∠GBC=∠DAB，又∵AB=BC，∴△GBC≌△DABASA，∴CG=BD．AFABAB又∵AB⎳MC，∴===2．FCCGBD【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．10 10(22·23下·鞍山·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相AGAF2交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若AF=AB，则点D是AB的中点；③ABFC3BD若=1，则S△ABC=9S△BDF；④当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；其中正确的结论序号AD是()A.①②B.①②④C.①②③D.①②③④【答案】B【分析】由GA⊥AB,CB⊥AB可得：AG∥BC,所以△AFG∼△CFB,利用相似三角形的性质可以得到11①正确；由△ABG≅△BCD以及已知条件可以得到AG=AB=BC，进而由①所得结论确定F为22BDBD1AF11AC的三等分点，可确定结论②正确；根据=1可以得到=，=，则AF=AC，由线段ADAB2CF23的比例关系即可求得面积的比例关系；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到∠AFD=∠CFD=90°，则CD是B、C、F、D所在圆的直径，由垂径定理可得BD=DF；【详解】由题意可得：GA⊥AB,CB⊥AB∴AG∥BC∴∠GAF=∠FCBAGAFAGAF∵∠GFA=∠CFB∴△AFG∼△CFB∴=∵AB=BC∴=故结论①正确；BCFCABFC∵BG⊥CD∴∠ECB+∠EBC=90°∵∠ABC=90°,AB=BC∴∠EBC+∠ABG=90°,△ABC是等腰直角三角形∴∠ABG=∠ECBAB=BC∴在△ABG和△BCD中：∠GAB=∠DBC∴△ABG≅△BCDASA∴AG=BD∠ABG=∠ECB∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=2AB211AF1AGAF∵AF=AB∴AF=AC∴AF=CF∴=由结论①可得：=332CF2ABFC111∴AG=AB=BC∴BD=AB∴点D是AB的中点故结论②正确；222AGAFBDBD1AF11∵=，AG=BD，=1∴=,=∴AF=ACABFCADAB2CF23111∴S△ABF=S△ABC,S△BDF=S△ABF∴S△BDF=S△ABC,即S△ABC=6S△BDF故结论③错误；326当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∠FDB+∠FCB=180°∵∠ADF+∠FDB=180°∴∠FCB=∠ADF∵∠ABC=90°,AB=BC∴∠ACB=∠CAB=45°∴∠ADF=45°∴∠AFD=∠CFD=90°∴CD是B、C、F、D所在圆的直径∵BG⊥CD∴BD=DF∴BD=DF故结论④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三11 角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键.11(22·23下·三明·期末)如图①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在边BC上，过点C作CE⊥AD，垂足为M，交AB于点E．(1)小亮通过探究发现∠BCE=∠CAD，请你帮他说明理由；(2)如图②，CN平分∠ACB交AD于点N，小明通过度量猜想有CN=BE，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接DE，若D是BC的中点，小刚通过探究得到结论AD=CE+DE，请你帮他说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)正确，理由见解析；(3)理由见解析【分析】(1)利用互余和三角形内角和定理进行求解，即可证明猜想；(2)根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，证明△ACN≌△CBEASA，即可证明猜想；(3)根据△ACN≌△CBE，得到AN=CE，CN=BE，再证明△CDN≌△BDESAS，得到DN=DE，即可证明猜想．【详解】(1)解：∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∵CE⊥AD，∴∠AMC=90°，∴∠CAD+∠ACE=90°，∴∠BCE=∠CAD；(2)解：猜想正确，理由如下：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵CN平分∠ACB，∴∠ACN=45°，∴∠ACN=∠B，∠CAN=∠BCE在△ACN和△CBE中，AC=BC，∴△ACN≌△CBEASA，∴CN=BE；∠ACN=∠B(3)解：如图，过点C作CN平分∠ACB交AD于点N，由(2)可知，△ACN≌△CBE，∴AN=CE，CN=BE，∵CN平分∠ACB，∴∠BCN=45°，∵D是BC的中点，∴CD=BD，CN=BE在△CDN和△BDE中，∠DCN=∠B=45°，∴△CDN≌△BDESAS，CD=BD∴DN=DE，∴CE+DE=AN+DN=AD，即AD=CE+DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．12(辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题)(1)如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？12 (2)如图2，在Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；(3)如图3，Rt△ACB中，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB=3，BC=4，求CF．40【答案】(1)BF=AE，理由见详解(2)AF：FC=2：1(3)CF=．17【分析】(1)先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF≅1△DAE，即可得出结论；(2)构造出正方形，同(1)的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG=AB，再2判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；(3)先构造出矩形，同(1)的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同(2)的方法判断出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出结论．【详解】解：(1)BF=AE，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°；∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE；∠BAD=∠ADC=90°在△ABF和△DAE中,AB=AD，∴△ABF≅△DAE，∴BF=AE．∠ABF=∠DAE(2)如图2：过点A作AM‖BC,过点C作CM‖AB,两线相较于M，延长BF交CM于G，∴四边形ABCM是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCM是矩形，∵AB=BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB=BC=CM；同(1)的方法得，△ABD≅△CBG，∴CG=BD；1111又∵D为BC边的中点，∴BD=BC=CM，∴CG=CMAB；2222AFAB∵AB‖CM，∴△AFB~△CFG，∴==2．CFCG1(3)如图3：在Rt△ACB中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵点D是BC的中点，∴BD=BC=2；2过点A作AN‖BC,过点C作CN∥AB,两线相较于N，延长BF交CN于P，∴四边形ABCN是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCN是矩形，同(1)的方法得，∠BAD=∠CBP，ABBD328∵∠ABD=∠BCP=90°，∴△ABD~△BCP，∴=，∴=，∴CP=；BCCP4CP313 8CFCPCF340同(2)的方法得：△CFP~△AFB,∴=，∴=，∴CF=．AFAB5-CF317【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。此题第一问图1是解题的关键．课后专项训练1(2023.广东九年级期中)如图，在正方形ABCD中，AB=210﹐E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF，AE交BF于点G，将△BCF沿BF翻折得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，连接QG，则△QGF的面积是()25A.B.25C.20D.152【答案】D【详解】解：∵将△BCF沿BF翻折得到△BPF，∴PF=FC，∠PFB=∠CFB，∵四边形ABCD是正方形∴∠FPB=90°，CD∥AB，AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，11∵PF=FC=CD=AB=10，PB=AB=210，22222222在Rt△BPQ中，QB=BP+PQ，∴QB=(QB-10)+(210)，5101510∴QB=，∴S△BQF=××210=25，222∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠AEB=∠BFC，GEBGBE又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∴==，CFBCBF∵CF=10，BC=210，∴BF=52，∴GE=2，BG=22，过点G作GN⊥AB交AB于N，GNGA∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴=BEEA41011510410∵GA=AE-GE=42∴GN=∴S△BQG=×QB×GN=××=10，52225∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．14 2(翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是()9A.25B.5C.23D.2【答案】A【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，根据题意利用ASA定理证明△ACD≌△CBG,从而得到CD=BG，CG=AD,然后利用中点的性质和SAS定理证明△BFG≌△BFD,从而求得CF+FD=CF+FG=CG=AD,利用勾股定理求AD的长,从而使问题得解.【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：∵∠CBG=90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BCG，∠CAD=∠BCG在△ACD和△CBG中，AC=BC，∴△ACD≌△CBG(ASA)，∴CD=BG，CG=AD∠ACD=∠CBG=90°1∵D为BC的中点∴CD=BD，∴BG=BD，∵∠ABC=45°，∴∠FBD=∠GBF=∠CBG，2BG=BD在△BFG和△BFD中，∠FBD=∠GBF，∴△BFG≌△BFD(SAS)，BF=BF∴FG=FD，∴CF+FD=CF+FG=CG=AD22又∵∠ACB=90°，AC=BC，AC=4，∴AD=4+2=25∴CF+FD=AD=25故选：A【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．3(2023.湖北九年级期中)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG的延长线交CD于点F，F为CD的中点，连接CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG=1，则cos∠DEC的值为．15 【答案】2-1【详解】解：四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD∥BC，AD=BC，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，1∴∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠BCG，∵点F是CD的中点，∴CF=DF=CD，2∵△ABE沿直线BE翻折得到△GBE，∴AB=BG=CD，∠A=∠BGE=90°，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠BGC=180°-∠BGE=180°-90°=90°，即BG⊥CE，设CF=DF=x，则BG=AB=CD=2x，且FG=1，∴BF=BG+FG=2x+1，∵∠CFG=∠BFC，∠CGF=∠FCB=90°，CFFG22∴△CFG∽△BFC，∴=，∴CF=FG∙BF，即x=1×2x+1，BFCF∴x=1+2或x=1-2<0(不符合题意，舍去)，∴CF=1+2，∵∠FCG+∠BCG=90°，∠FCG+∠CFG=90°，∴∠BCG=∠CFG=∠DEC，FG1∴cos∠DEC=cos∠CFG===2-1故答案为：2-1．CF1+24(22·23下·山西·模拟预测)如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，BC=BA=4，D为BC上一点且BD=3，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为．16【答案】3512【分析】过点D作DM⊥AC交AC于M，由勾股定理解出AC=42，AD=5，利用等积法解得BE=，527216继而得到S△ADC=S△ABC-S△ABD=2，从而解出DM=再利用勾股定理解出AM=,AE=，，最255后证明△AEF∼△AMD，根据相似三角形对应边成比例解题即可．【详解】解：过点D作DM⊥AC交AC于M，16 2222在Rt△ABC中AC=AB+BC=4+4=422222在Rt△ABD中，AD=AB+BD=4+3=5111112∵BE⊥AD∴S△ABD=BD⋅AB=AD⋅BE；×3×4=×5×BE∴BE=2222511S△ADC=S△ABC-S△ABD=×4×4-×4×3=222112∵DM⊥AC∴S△ADC=AC⋅DM=×42⋅DM=22DM=2∴DM=2222222272在Rt△AMD中，AM=AD-DM=5-=2222212216在Rt△ABE中，AE=AB-BE=4-5=5AEEF∵∠AEF=∠AMD=90°,∠DAM=∠DAM∴△AEF∼△AMD∴=AMDM162721616∴EF=AE⋅DM÷AM=×÷=故答案为：．5223535【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5(22·23上·临沂·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接BFBEDE．给出以下四个结论：①=；②若AD平分∠BAC，则BE=BF；③若点D是BC的中点，则BCAE2DC1BE=BC；④若=，则SΔABC=9SΔCDE．其中正确的结论序号是．3DB2【答案】①②③11【分析】由△BEF∽△AEC，可确定结论①正确；由△BEF≌△BED可得BF=BC=AC，进而△BEF22∽△AEC确定点E为AB的三等分点，可确定结论②正确；当A、C、D、E四点在同一个圆上时，由于∠ACB=90°，得到AD是直径，根据垂径定理得到DE=CD，故③正确；因为E为AB的三等分点，所以S△17 11BCE=S△ABC，又S△CDE=S△BCE，所以S△ABC=12S△CDE，由此确定结论④错误．34BFBE【详解】解：依题意可得BF∥AC，∴△BEF∽△AEC，∴=ACAEBFBE又AC=BC，∴=．故结论①正确；．BCAE∵AD平分∠BAC，∴∠CAG=∠EAG．∵CG⊥AD，∴∠AGC=∠AGE=90°．∠CAG=∠EAG在△AGE和△AGC中AG=AG∴△AGE≌△AGC(ASA)∴∠AEG=∠ACG．∠AGC=∠AGE∵∠BFC+∠BCF=90°，∠ACG+∠BCF=90°，∴∠BFC=∠ACG．∴∠BFC=∠AEG．∵∠BEF=∠AEG，∴∠BFC=∠BEF．∴BE=BF．故结论②正确；∵CG⊥AD，∴∠ADC+∠BCF=90°，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD．∠BCF=∠CAD在△BCF与△CAD中，BC=AC，∴△BCF≌△CAD(ASA)，∴BF=CD．∠CBF=∠ACD∵点D是BC的中点，∴BD=CD．又∵BD=AD，∴AG=AD；1∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=2BC；∴BF=BD=BC；2BFBE12∵△BEF∽△AEC，∴=，∴AE=2BE，∴BE=AB=BC．故结论③正确；ACAE33当A、C、D、E四点在同一个圆上时，∵∠ACB=90°，∴AD是A、C、D、E四点所在圆的直径，∵CG⊥AD，∴DE=CD，∴DE=CD，BFBEDC1DC1BE11∵=，BF=CD，∴=，∴=，∴=，∴BE=AB，BCAEDB2BC3AE34111∴S△BCE=S△ABC；∴S△CDE=S△BCE，∴S△CDE=S△ABC，即S△ABC=12S△CDE．4312故结论④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．6(23·24上·沈阳·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC中点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，交AC于点B，若AB=1.5，BC=2，则BE的长为．9913【答案】13/17171313313【分析】在Rt△ACB中,运用勾股定理求出AD=13，再根据面积得到BF=，BF=，过点21313D作DG∥BF交AC于点G,设DG=x,根据DG∥BF，则有△CGD∽△CBE，△AEF∽△AGD，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．【详解】∵D为BC边的中点,BC=2,∴BD=1.22221∵在Rt△ACB中,∠ABC=90°,AB=1.5，∴AD=AB+BD=1+1.5=13.218 11AB⋅BD313∵BE⊥AD于点E,∴S△ABD=AB⋅BD=AD⋅BF，∴BF==，22AD133132223132913∵AB=1.5,BF=,∠AEB=90°，∴AF=AB-BF=1.5-=，131326过点D作DG∥BF交AC于点G,如图所示,设DG=x,BEBC913∵DG∥BF，∴△CGD∽△CBE，∴==2，∴BE=2x,EF=2x-,DGDC269132x-913AFEF2626∵EF∥DG，∴△AEF∽△AGD，∴=，即=，ADDG113x29999解得x=13，∴BE=2x=2×13=13．故答案为：13．34341717【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7(河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题)综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：(1)操作判断：如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=5，则GH的长为；如图2，在矩形ABCD中，BC=2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=8，则GH的长为；(2)迁移探究：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥ABBEBD，试证明=；ADEC(3)拓展应用：如图4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G．当F为AE的三等分点时，请直接写出GH的长．51110913【答案】(1)5，(2)见详解(3)或265【分析】(1)①过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先证明四边19 形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，推出AP=GH，EF=BQ．再证明△ABP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可解决问题．②类似①方法，证明△ABP∽△BCQ即可；(2)把△ABC沿BC翻折得到△FBC，延长AE交CF于点G，由(1)中结论，得△BAD≌△ACG，得AD=CG,再证明△CEG∽△BEA，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；51(3)延长BF交CD的延长线于点I，由(1)中结论得，△BAF∽△ADG，得DG=AF，再分当AF=AE332=2时，当AF=AE=4时两种情况讨论即可．3【详解】(1)解：①如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC,AD∥BC，AB=BC，∠ABP=∠C=90°∴四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，∴AP=GH，EF=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，∴∠CBQ=∠BAT，∠BAP=∠CBQ在△ABP和△BCQ中，∠ABP=∠C，∴△ABP≌△BCQ，∴AP=BQ，∴EF=GH=5，AB=BC②如图2中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC,AD∥BC，∠ABP=∠C=90°∴四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，∴AP=GH，EF=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，∴∠CBQ=∠BAT，∠BAP=∠CBQ在△ABP和△BCQ中，，∴△ABP∽△BCQ，∠ABP=∠CABAP1BQEF55∴==，∴AP=，∴GH==，故答案为5，．BCBQ22222(2)解：把△ABC沿BC翻折得到△FBC，延长AE交CF于点G，∴AB=BF,AC=CF，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC∴AB=BF=FC=AC，∴四边形ABFC是菱形，∵∠ACB=90°，∴四边形ABFC是正方形，由(1)中结论，得△BAD≌△ACG，∴AD=CG,CECGABBE∵CG∥AB，∴△CEG∽△BEA，∴=,∴=；BEABADEC20 (3)解：延长BF交CD的延长线于点I，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC，1∴∠BAD=∠ADC=90°,∠ABE=∠ABC=45°,AB∥CD，2△ABF是等腰直角三角形，∠ABE=∠I=45°，∴AB=AE=6,DE=AD-AE=4，∴△DEI是等腰直角三角形，∴DI=DE=4,由(1)中结论得，△BAF∽△ADG，ABAF65∴==，∴DG=AF，ADDG10315101022当AF=AE=2时DG=AF=,IG=DI+DG=4+=，333332221021010在Rt△ADG中，AG=AD+DG=10+3=，3AHAB69∵AB∥GI，∴△ABH∽△GIH，∴===，HGGI22113111110101110∴HG=AG=×=；11+9203625520当AF=AE=4时,AF=×4=>6,即点G在BC上，如图3333202∴DI=,CI=DI-CD=，33CICG19∵DI∥AB，∴△CGI∽△BGA，∴==,BG=BC=9，ABBG91+922在Rt△ABG中，AG=AB+BG=313，AEAH62∵AE∥BG，∴△AEH∽△GBH，∴===，BGHG93339131110913∴HG=AG=×313=；故GH的长为或．2+35565【点睛】此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．21 8(22·23下·合肥·开学考试)如图，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，连接DE、CF，过点E作EG∥CF交AD于点G．BF(1)求证：∠AFE的度数；(2)求证：△ADE∽△ACF；(3)求证：的值．DGBF【答案】(1)∠AFE=60°(2)见解析(3)=1DG【分析】(1)通过证明△ABE≌△CADSAS，出∠ABE=∠CAD，则∠AFE=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=BAC=60°；AEAF(2)根据∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，得出△AEF∽△BEA，则=，易得BE=AD，BEABAEAFAEADAB=AC，推出=，则=，即可求证△ADE∽△ACF；ADACAFACEFAFAGAF(3)根据△AEF∽△BEA，得出=，通过证明△AEG∽△ACF，得出=，根据AB=AC，AEABAEACEFAGBF推出=，则EF=AG，进而得出DG=BF，则=1．AEAEDG【详解】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠ACD∴△ABE≌△CADSAS，∴∠ABE=∠CAD，AB=AC∴∠AFE=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=BAC=60°；(2)证明：∵∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，AEAF∴△AEF∽△BEA，∴=，∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD，BEABAEAFAEAD∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴=，则=，ADACAFAC又∵∠DAE=∠CAF，∴△ADE∽△ACF；EFAF(3)解：∵△AEF∽△BEA，∴=，AEABAGAEAGAF∵EG∥CF，∴△AEG∽△ACF，∴=，则=，AFACAEACAFAFEFAG∵AB=AC，∴=，∴=，∴EF=AG，ABACAEAEBF∵BE=AD，∴BE-EF=AD-AG，即DG=BF，∴=1．DG【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．9(22·23下·武汉·模拟预测)探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC中点，D、E分别是BC、AC上的两点，BD=CE．22 AF(1)求证：∠BAD=∠CBE；(2)H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，求的值；FH迁移拓展：(3)如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1．E是AC上的点，CE=2BD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，直接写出HG的长．25【答案】(1)见解析(2)2(3)5【分析】(1)利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△ABD≌△BCESAS可证的结论；(2)连接AG，AH，如图，设AG、BE交点为M，根据全等三角形的性质和三角形的外角和求得∠AFH=160°，进而求得∠BHG=30°，再根据等边三角形性质求得∠BAG=∠BAC=30°，AG⊥BC，则∠BHG2=∠BAG，证明△AMB∽△HMG，和△AMH∽△BMG得到∠AHM=∠BGM=90°，利用余弦定义求解即可；1(3)连接AG，AH，根据等腰直角三角形性质得到∠ABC=∠ACB=45°，AG=BG=BC，AG⊥BC，2BCBCCEBC=2AB，即=2，进而得到=，证明△BCE∽△ABD，得到∠CBE=∠BAD，进而求得ABABBDBD∠BHG=45°=∠AFH，则DF∥GH，证明△BDF∽△BGH和△ADB∽△BDF得到HG=2DF，=DFAD，利用勾股定理求得AD=5即可求解．BD【详解】(1)解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC=60°，又BD=CE，∴△ABD≌△BCESAS，∴∠BAD=∠CBE；(2)解：连接AG，AH，如图，设AG、BE交点为M，∵∠BAD=∠CBE，∴∠AFH=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，∵∠BHG+∠AFH=90°∴∠BHG=30°，1∵等边△ABC中，G为BC中点，∴∠BAG=∠BAC=30°，AG⊥BC，2∴∠BHG=∠BAG，又∠AMB=∠HMG，∴△AMB∽△HMG，23 AMBMAMHM∴=，即=，又∠AMH=∠BMG，∴△AMH∽△BMG，HMMGBMMG1AF∴∠AHM=∠BGM=90°，则∠FAH=90°-∠AFH=30°，∴FH=AF，则=2；2FH(3)解：连接AG，AH，∵Rt△ABC是等腰直角三角形，G为斜边BC的中点，1BC∴∠ABC=∠ACB=45°，AG=BG=BC，AG⊥BC，BC=2AB，即=2，2ABCEBCCE∵CE=2BD，BD=1，∴=2，则=，BDABBD∴△BCE∽△ABD，则∠CBE=∠BAD，∴∠AFH=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=45°，∵∠BHG+∠AFH=90°，∴∠BHG=45°=∠AFH，则DF∥GH，DFBD1∴△BDF∽△BGH，又D为BG中点，∴==，则HG=2DF，HGBG2BDAD∵∠BAD=∠DBF，∠ADB=∠BDF，∴△ADB∽△BDF，∴=，DFBD∵D为BG中点，BD=1,∴DG=BD=1，AG=BG=2，又AG⊥BC，2215525∴AD=AG+DG=5，∴=，∴DF=，∴HG=．DF155【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的判定与性质探究边角关系是解答的关键．10(21·22上·红河·期末)在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AEAD1AF相交于点F．(1)如图1，当=时，=；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD；AC2BFAD1(3)如图3，当=时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．AC424 AF1【答案】(1)1(2)详见解析(3)=，理由见解析BF3【分析】(1)由题意可得AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，可证△ABD≌△CAE，可得AF∠EAC=∠DBA，由等边三角形的性质可得∠BAE=∠DBA=30°，可求的值；BF(2)根据△ABD≌△CAE得出∠EAC=∠DBA，进而利用相似三角形的判定解答即可；(3)设AF=x，BF=y，AB=AC=BC=n，AD=CE=1，BD=AE=m，通过证△ADF∽△BDA，x1yn-1AF1△BFE∽△BCD可得=，=，可得=，求出n=4即可得出答案．nmnmBFn-1【详解】(1)解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=CE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴∠EAC=∠DBA，AD1∵=，∴点D是AC中点，∴∠DBA=30°，∴∠EAC=30°，AC2AF∴∠BAE=∠DBA=30°，∴AF=BF，∴=1，故答案为：1；BF(2)由(1)可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC=∠DBA，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD；AF1(3)=；理由：由(1)可得△ABD≌△CAE，∴BD=AE，∠EAC=∠DBA，BF3∴∠BFE=∠DBA+∠BAF=∠EAC+∠BAF=∠BAD=60°，设AF=x，BF=y，AB=AC=BC=n，AD=CE=1，BD=AE=m，AFADx1∵∠EAC=∠DBA，∠ADB=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴=①，ABBDnmBFBEyn-1∵∠BFE=∠C=60°，∠DBC=∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴=，∴=②，BCBDnmx1AF1AD1AF11①÷②得：=，∴=，∵=，∴n=4，∴==．yn-1BFn-1AC4BF4-13【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键．11(山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题)综合与实践A4纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：1如图1所示，矩形纸片ABCD(AD=2AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F，若AB=1,求CF的长，2如图2，在1的基础上，连接BD,折痕EF交BD于点O，连接BE,判断四边形BFDE的形状，并说明理由．探究发现：3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点N,交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．25 2【答案】(1)CF长为；(2)四边形BFDE是菱形，理由见解析；(3)纸片ENFM是“标准纸"，理由见解4析【分析】(1)AB=1，则AD=2，根据四边形ABCD是矩形，得到CD=AB=1,BC-AD=2，由折叠得222222FB=FD，设CF=x，则FB=FD=2-x，在Rt△DCF中，CD+CF=DF，可得1+x=2-x即可求解．(2)当顶点B与点D重合时，折痕EF垂直平分BD，可得OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°，在矩形ABCD中，AD⎳BC，得到∠OBF=∠ODE，在△BOF和△DOE中，∠OBF=∠ODE,OB=OD,∠BOF=∠DOE，可得△BOF≅△DOE，OE=OF，再根据OB=OD，可得四边形BFDE是平行四边形，最后根据EF⊥BD，即可求证平行四边形BFDE是菱形．(3)由2可知，OE=OF，同理可知，OM=ON，可得四边形ENFM是平行四边形，根据∠DOE=OEAB12∠DAB=90°，得到△DOE∼△DAB，再根据AD=2AB，可得===，进而得到OE=ODAD22222OD，EF=BD，同理可得，MN=AC，根据四边形ABCD是矩形，可得AC=BD，EF=MN，222MFOD四边形ENFM是矩形，∠EMF=90°，tan∠FEM===2，MF=2ME，即可求证纸片MEOEENFM是“标准纸"．【详解】解：1∵AB=1,则AD=2,AB=2∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=1,BC-AD=2由折叠得FB=FD设CF=x，则FB=FD=2-x22222222在Rt△DCF中，CD+CF=DF1+x=2-xx=答：CF长为442四边形BFDE是菱形.理由：当顶点B与点D重合时，折痕EF垂直平分BD,∴OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°在矩形ABCD中，AD⎳BC,∴∠OBF=∠ODE在△BOF和△DOE中，∠OBF=∠ODE,OB=OD,∠BOF=∠DOE∴△BOF≅△DOE∴OE=OF∵OB=OD∴四边形BFDE是平行四边形∵EF⊥BD平行四边形BFDE是菱形.3纸片ENFM是“标准纸”理由如下：由2可知，OE=OF,26 同理可知，OM=ON,∴四边形ENFM是平行四边形∵∠DOE=∠DAB=90°∴△DOE∼△DABOEAB122∵AD=2AB∴===∴OE=ODODAD22222∴EF=BD同理可得，MN=AC22∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=MN∴四边形ENFM是矩形.∴∠EMF=90°.MFOD∴tan∠FEM===2,∴MF=2ME.∴纸片ENFM是“标准纸".MEOE【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．12(湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题)(1)问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．GF①判断DQ与AE的数量关系：DQAE；②推断：的值为；(无需证明)AEBC(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD中，=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BCAB边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、DNN分别在边BC、AB上，求的值．AMGFFG4【答案】(1)①AE=DQ．②=1；(2)=k，见解析；(3)AEAE5【分析】(1)①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，得出∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH(ASA)，可得AE=DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．(2)如图2，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．(3)如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，证明△ACD≌27 DCCFDF1△ACB(SSS)，得出∠ADC=∠ABC=90°，证明△ADE∽△DCF，可得出===，由勾股AEDEAE2定理求出CF=3，则可得出答案．【详解】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD=90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°．∴∠QAO=∠ADO．∴△ABE≌△DAQ(ASA)，∴AE=DQ．②∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG=DQ，GFGF∵AE=DQ，∴GF=AE，=1．故答案为：AE=DQ，=1．AEAEFG(2)解：=k．理由如下：如图2中，作GM⊥AB于M．AE∵AE⊥GF，∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，GFGM∴∠BAE=∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴=，AEAB∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，∴四边形AMGD是矩形，GFADBC∴GM=AD，∴===k．AEABAB(3)如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC=90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E=∠F=90°，AE=BF，EF=AB=8，∵AD=AB，BC=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADE+∠CDF=90°，且∠ADE+∠EAD=90°，∴∠EAD=∠CDF，且∠E=∠F=90°，∴△ADE∽△DCF，28 CDCFDF1∴===，∴AE=2DF，DE=2CF，ADDEAE222222∵DC=CF+DF，∴25=CF+(10-2CF)，∴CF=5(不合题意舍去)，CF=3，∴BF=BC+CF=8DNAE4由(1)可知：==．AMAB5【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．13(成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷)(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交EFADAB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：=．GHABEF13BN(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值GH17AM为．(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=12，BC=CD=4，AM⊥DN，点DNM，N分别在边BC，AB上，求的值．AM13DN3【答案】(1)见解析；(2)；(3)=．17AM5【分析】(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；BNEF(2)只需运用(1)中的结论，就可得到=，就可解决问题；AMGH(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边DNAR形ABSR是矩形，由(1)中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=12AMAB2222-y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x+y=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得(4+x)+(12-y)=144②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．【详解】解：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，29 ∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，APADEFAD∴=，∴=．BQABGHAB(2)如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，EFADBNAD∴由(1)中的结论可得=，=；GHABAMABBNEF1313∴==，故答案为；AMGH1717(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=12，AR=BS．DNAR∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得=．AMAB设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=12-y，22∴在Rt△CSD中，x+y=16①，22在Rt△ARD中，(4+x)+(12-y)=144②，由②-①得x=3y-4③，16x2+y2=16x=-4x=5解方程组，得(舍去)，或，x=3y-4y=0y=1253636DNAR53∴AR=4+x=∴===.5AMAB125【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用(1)中的结论是解决第(2)、(3)小题的关键．14((22·23下·山东·九年级期中))探究证明：(1)如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；EF(2)如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：=AMBC；AB(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边DNBC、AB上，求的值．AM4【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．5【分析】(1)由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；(2)过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四30 边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；(3)过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合(2)中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．【详解】(1)证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，BNBC∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴=AMABEFBC(2)结论：=理由：如图2中，过点B作BG⎳EF交CD于G，AMAB∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，BGBCEFBC∴=，∴=AMABAMAB(3)过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．DNBS∵AM⊥DN，∴由(2)中结论可得：=AMAB∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．CDSC∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴=，设SC=x，ADRD5x222∴=∴RD=2x，DS=10-2x，在Rt△CSD中，∵CD=DS+SC，10RDDNBS84∴52=(10-2x)2+x2，∴x=3或5(舍弃)，∴BS=5+x=8，∴===AMAB105【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行31 四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．15(江苏2022-2023学年九年级期末数学试题)数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．问题解决：(1)如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC，AN，AC，线段AC交MN于点O，则：①△CDM与△AD1M的关系为，线段AC与线段MN的关系为，小强量得∠MNC=50°，则∠DAN=．②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明．拓展延伸：(2)如图2，矩形纸片ABCD中，BC=2AB=6cm，BM=4cm，小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N，请你直接写出线段ND的长：．综合探究：(3)如图3，ABCD是一张矩形纸片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M(不与A和B点重合)，在边CD上取一点N(不与C和D点重合)，将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP，请你确定△MNP面积的取值范围．23【答案】(1)①△CDM≌△AD1M，线段AC与线段MN互相垂直平分，80°；②证明见解析；(2)；(3)0.5<8S△MNP≤1.3【分析】(1)利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；(2)由矩形和折叠的性质证明AN=MN，设AN=MN=x，在Rt△ANB1中，利用勾股定理构建方程求解即可；(3)分别求出△MNP的面积的最大值与最小值即可解决问题．【详解】解：(1)①∵矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，∴AM=MC，AD1=CD，MD1=MD，∴△CDM≌△AD1MSSS，∵MN垂直平分线段AC，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠AMO=∠CNO，∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNOAAS，∴OM=ON，AM=CN，∴线段AC与线段MN互相垂直平分，∵MA=MC，NA=NC，∴AM=CM=CN=AN，∴四边形ANCM是菱形，∴∠ANM=∠MNC=50°，∴∠ANC=100°，∵AD∥BC，∴∠DAN=180°-100°=80°，故答案为：△CDM≌△AD1M，线段AC与线段MN互相垂直平分，80°；②证明过程如下：∵矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，∴AM=MC，AD1=CD，MD1=MD，∴△CDM≌△AD1MSSS，∵MN垂直平分线段AC，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠AMO=∠CNO，∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNOAAS，∴OM=ON，AM=CN，∴线段AC与线段MN互相垂直平分，∵MA=MC，NA=NC，∴AM=CM=CN=AN，∴四边形ANCM是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，32 由折叠的性质可得：∠AMB=∠AMN，∠B=∠B1=90°，∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MAN，∴∠AMN=∠NAM，∴AN=MN，设AN=MN=x，在Rt△ANB1中，∵AB=AB1=3，NB1=4-x，AN=x，2222525∴x=3+4-x，解得：x=，∴AN=，88252323∴DN=AD-AN=6-=，故答案为：；888(3)如图，当点B与点D重合时，△MNP的面积最大，MH⊥BN于H，则MH=AB=1，，由题意得：MP=MQ，设MP=MQ=k，则AM=5-k，222由勾股定理得：5-k+1=k，解得：k=2.6，由(1)知，NP=MP=2.6，MH=1，1∴S△MNK=⋅NP⋅MH=1.3，∴△MNP的最大值为1.3，21假设点N与D重合时，此时PN最小，为PN=1，∴△MNP的面积的最小值为×1×1=0.5，2∵在边CD上取一点N不与C和D点重合，∴0.5<S△MNP≤1.3故答案为：0.5<S△MNP≤1.3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键．16(山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别DE是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为；CFCE(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则BD的值为；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD【拓展延伸】(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，AB=3，将△ABD沿BD翻折，点A落在DE点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为．CF45【答案】(1)1；(2)；(3)见解析；(4)73【分析】(1)通过证明△AED≌△DFC得到ED=FC，结论可得；33 ECDC(2)通过证明△EDC∽△DCB，得到=，利用矩形的性质结论可得；BDBC(3)过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比(2)的方法证明△AED∽△HCF，即可得出结论；(4)过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比(2)的方法证明△AED∽△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论【详解】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ADE+∠EDC=90°．∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠DFC=90°．∴∠AED=∠DFC．∠A=∠FDC=90°在△AED和△DFC中，∠AED=∠DFC，AD=DCDE∴△AED≌△DFCAAS．∴ED=FC∴=1故答案为：1．CF(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=∠DCB=90°．∴∠ADB+∠BDC=90°．∵CE⊥BD，∴∠ADB+∠DEC=90°∴∠BDC=∠DECECDC∵∠EDC=∠DCB=90°，∴△EDC∽△DCB，∴=．BDBCEC44∵AD=BC=7，CD=4，∴=．故答案为：．BD77(3)证明：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵∠A=∠B=90°，FH⊥BC，∴四边形ABHF为矩形．∴AB=FH，∠AFH=90°∴∠HFC+∠DFG=90°∵∠CFH+∠HCF=90°，∴∠HCF=∠DFG．∵CG⊥DG，∠A=90°，∴∠A=∠G=90°∵∠ADE=∠GDF，∴∠AED=∠DFG，∴∠AED=∠HCF∵∠A=∠FHC=90°，∴△AED∽△HCFDEADDEAD∴=∴=∴DE⋅AB=CF⋅ADCFFHCFAB(4)过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD于点H，如图，34 由题意：△ABD与△CBD关于BD轴对称，∴BD垂直平分AH，即AH=HC，AH⊥BD．ABBH2∵∠BAD=90°，BD⊥AH，∴△ABH∽△BDA，∴=∴AB=BH⋅BDBDAB222223102710∵BD=AB+AD，∴BD=3+9=310，∴BH=∴DH=BD-BH=．1010229910910∵AH=AB-BH=9-=，∴AC=2AH=．1010511271091027∵S△ADC=DH⋅AC=AD⋅CM，∴×=9×CM∴CM=．221055∵∠BAD=90°，∴∠AED+∠ADE=90°∵CF⊥DE，∴∠CFD+∠EDA=90°∴∠AED=∠CFD．DEAD95∵∠EAD=∠FMC=90°，∴△AED∽△FMC．∴===CFCM2735【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用类比的方法解答是解题的关键．17(22·23下·苏州·三模)【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若AB=DF6，BC=8，求的值．AE(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．AB3【初步运用】(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，=，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AEAC4AF⊥BD于点E，交BC于点F，求的值．BDAB3【灵活运用】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，=，AB=BC，AD=CD，点E，F分别AD4CF在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则=．DE35 31224【答案】(1)(2)(3)41725【分析】(1)证明△ADE∽△DCF，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；(2)构造矩形ABHC，延长AF交CH于点G，BDABAD3由(1)中结论可得：△ABD∽△CAG，===，设AB=CH=3k，AC=BH=4k，则ADAGACCG418413AFAB=AC=2k，BD=13k，CG=k，AG=k，再证明△ABF∽△GCF，则=，即可求出233GFCG1213AF=k，即可求解；17(3)连接BD，构造如图所示矩形AMND，过点N作NP∥CF，交AD于点P，证明△ABD≌△CBD，AB3BMCM3△DCN∽△CBM，根据=，得出==，设BM=3x,CN=4x，则CM=MN-CN=4kAD4CNDN4796NP-4x，DN=AM=AB+BM=3k+3x，得出x=k，即可求出AM=k，由(1)中结论可得：=2525DEAMCFNP24，最后证明四边形FCNP为平行四边形，则==．ADDEDE25【详解】(1)解：∵AE⊥DF，∴∠EDG+∠DEG=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠C=∠ADE=90°，DFCD63∴∠EDG+∠DFC=90°，∴∠DEG=∠DFC，∴△ADE∽△DCF，∴===；AEAD84(2)解：构造如图所示矩形ABHC，延长AF交CH于点G，由(1)中结论可得：△ABD∽△CAG，AB31∵=，∴设AB=CH=3k，AC=BH=4k，∵点D为AC的中点，∴AD=AC=2k，AC4222在Rt△ABD中，根据勾股定理可得：BD=AD+AB=13k，BDABAD32k313k38∵△ABD∽△CAG，∴===，则=，=，解得：CG=k，AG=AGACCG4CG4AG43413k，3∵四边形ABHC为矩形，∴AB∥CG，∴∠BAF=∠CGF,∠ABF=∠GCF，∴△ABF∽△GCF，1213kAFABAF3k1213AF1712∴=，即=，解得：AF=k，∴==；GFCG413k-AF8k17BD13k1733(3)解：连接BD，构造如图所示矩形AMND，过点N作NP∥CF，交AD于点P，∵AB=BC，AD=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠BCD=∠A=90°，∴∠BCM+∠DCN=90°，∵四边形AMND为矩形，∴∠BCM+∠CBM=90°，∴∠DCN=∠CBM，AB3∵∠M=∠N=90°，∴△DCN∽△CBM，∵=，∴设AB=BC=3k，AD=CD=4k，AD436 BMCM3∴==，设BM=3x,CN=4x，则CM=MN-CN=4k-4x，DN=AM=AB+BM=3k+CNDN43x，4k-4x37796∴=，整理得：x=k，∴AM=AB+BM=3k+3×k=k，3k+3x425252596kNPAM2524由(1)中结论可得：===．DEAD4k25∵NP∥CF，CN∥PF，∴四边形FCNP为平行四边形，CFNP2424∴CF=NP，∴==．故答案为：．DEDE2525【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答．18(2023年湖北省中考模拟数学试题)已知E是矩形ABCD的边BC上的一点．(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，BF⊥AE交CD于点F，求证；AE=BF；(2)已知AB=4，BC=6，GH⊥AE分别交AB，CD于G，H两点，且GH平分矩形ABCD的面积．①如图2，若BG=1，求AE的长；②如图3，AE与GH交于点P，连接BP，求出线段BP长的最小值．4103513【答案】(1)详见解析(2)AE=；-322【分析】(1)先判断出∠BAE=∠CBF，进而判断出△ABE≌△BCF，即可得出结论；(2)①由“AAS”可证△AOG≌△COH，可得AG=CH=3，可求CF=2，由勾股定理可求BF的长，通过证ABAE明△ABE∽△BCF，可得=，即可求解；BCBF②由相似三角形的性质可求MN，AM的长，由勾股定理可求BN的长，由点P在以AO为直径的圆上运动，则当点P在线段BN上时，BP有最小值，即可求解．【详解】(1)解：证明：∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，∴∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∠BAE=∠CBF在△ABE和△BCF中，AB=BC，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE=BF；∠ABC=∠C=90°37 (2)如图2，连接AC，交GH于点O，过点B作BF∥GH，交CD于F，∵AB=4，BG=1，∴AG=3，∵GH平分矩形ABCD的面积，∴点O为AC的中点，∴AO=CO，∵AB∥CD，∴∠GAC=∠ACH，∠AGO=∠CHO，∴△AOG≌△COH(AAS)，∴AG=CH=3，∵BF∥GH，AB∥CD，∴四边形GHFB是平行四边形，22∴BG=HF=1，∴CF=2，∴BF=BC+CF=36+4=210，∵GH⊥AE，BF∥GH，∴AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°=∠ABF+∠CBF，∴∠BAE=∠CBF，ABAE4AE410又∵∠ABC=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴=，∴AE=；BCBF62103②解：如图3，连接AO，取AO的中点N，连接NB，NP，过点N作MN⊥AB于M，22∵AB=4，BC=6，∴AC=AB+BC=16+36=213，∴AO=13，13∵点N是AO的中点，∴AN=NO=，∵MN⊥AB，∴∠AMN=∠ABC=90°，2AMMNAN1又∵∠BAC=∠MAN，∴△BAC∽△MAN，∴===，ABBCAC411322935∴AM=AB=1，MN=BC=，∴BM=3，∴BN=MN+BM=+9=，44242∵∠APH=90°，∴点P在以AO为直径的圆上运动，3513则当点P在线段BN上时，BP有最小值，∴BP的最小值为-．22【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合．19(22·23下·上饶·模拟预测)综合与探究38 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，则线段AE与BF的之间的数量关系为；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，请写出线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，D为BC上一点，且BD=2，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，交AC于点E，求BE的长．AE3125【答案】(1)AE=BF(2)=．证明见解析(3)BE=．BF57【分析】(1)由“ASA”可证△ABE≌△BCF，可得AE=BF；(2)通过证明△ABE∽△BCF，利用相似三角形的性质，即可求解；(3)过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G，延长BE交CG于点H，勾股定理求得AD3AD，根据(2)知=，求得BH，证明△ABE∽△CHE，利用相似三角形的性质，即可求解．BH4【详解】(1)解：设AE与BF相交于点P，如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，∵AE⊥BF，∴∠APB=∠BAP+∠ABP=90°，∵∠ABP+∠CBF=90°，∴∠BAP=∠CBF，∠BAE=∠CBF在△ABE和△BCF中，AB=CB，∴△ABE≌△BCFASA，∠ABE=∠BCF∴AE=BF；故答案为：AE=BF；AE3(2)解：=．证明：∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°．BF5在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠CBF+∠ABF=90°，ABAEAE3∴∠BAE=∠CBF，∴Rt△ABE∽Rt△BCF，∴=，∴=．BCBFBF5(3)解：如图，过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G，延长BE交CG于点H．∴四边形ABCG是矩形．∵AB=CD=4，AG=BC=6，∴CD=6-BD=4．22ADAB2∴AD=AB+BD=25．由(2)知==，∴BH=35．BHBC322在Rt△BCH中，CH=BH-BC=3，∵AB∥CH∴△ABE∽△CHE，39 ABBE4BE125∴=，即=，解得BE=．CHEH335-BE7【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．40