证明三角形全等的五种基本思路（解析版）

证明三角形全等的五种基本思路考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对证明三角形全等的五种基本思路的理解！【类型1已知两边对应相等，寻找第三边相等，用“SSS”】1(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，AC=FD在△ABC和△FED中，BC=ED，AB=FE∴△ABC≌△FED(SSS)，∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．2(2023春·陕西西安·七年级统考期末)如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE、AE=CF，AC与BD交于点O．则下列说法不正确的是()A.BE=DFB.△AEB≌△CFDC.∠EAB=∠OAED.AE∥CF【答案】C【分析】利用线段的和差即可判断A选项；利用“SSS”即可证明△AEB≌△CFD，判断B选项；利用全等三1 角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项．【详解】解：∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，∴BE=DF，A选项正确；AB=CD在△AEB和△CFD中，BE=DF，AE=CF∴△AEB≌△CFDSSS，B选项正确；∵△AEB≌△CFD，∴∠EAB=∠FCD，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，C选项不正确，D选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3(2023春·广东江门·八年级校考期中)如图，已知：PA=PB，AC=BD，PC=PD，△PAD和△PBC全等吗？请说明理由．【答案】详见解析【分析】由AC=BD，利用线段的和差关系可得AD=BC，利用SSS即可证明△PAD≌△PBC.【详解】∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC，又∵PA=PB，PC=PD，∴△PAD≌△PBC(SSS)【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.4(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA=EB.试说明：∠F=∠C.【答案】见解析【分析】根据SSS的方法证明△DEF≌△ABC,即可得到结论.【详解】因为DA=EB，所以DE=AB.在△DEF和△ABC中，因为DE=AB，DF=AC，EF=BC，所以△DEF≌△ABC(SSS)，所以∠F=∠C.2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.5(2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试)如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)连接AE，利用SSS定理证出△ADE≅△ACE，根据全等三角形的性质即可得证；(2)先根据垂直的定义可得∠ADE=90°，再根据(1)的结论可得∠C=90°，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】(1)证明：如图，连接AE，AD=AC在△ADE和△ACE中，ED=EC，AE=AE∴△ADE≅△ACESSS，∴∠ADE=∠C．(2)解：∵AB⊥DE，∴∠ADE=90°，由(1)已证：∠ADE=∠C，∴∠C=90°，∵∠B=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．6(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE=BF，AE=EF+BF，试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．3 【答案】AC⊥BC．理由见解析【分析】证明∴△ACE≌△CBF，可得∠BCF=∠CAE，再根据AE⊥CD，利用等量代换可得∠ACB=90°即可．【详解】解：AC⊥BC．理由如下：∵AE=EF+BF，CE=BF，∴AE=EF+CE，∴AE=CF，AC=CB在△ACE和△CBF中，AE=CF，CE=BF∴△ACE≌△CBFSSS，∴∠BCF=∠CAE，∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△ACE≌△CBF是解题的关键．【类型2已知两边对应相等，寻找夹角相等，用“SAS”】1(2023春·贵州遵义·八年级统考阶段练习)如图，F，C是AD上两点，且AF=CD；点E，F，G在同一直线上，∠B=∠AGF，BC=EF求证：ΔABC≌ΔDEF.【答案】证明见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行得到BC∥EG，再根据平行线的性质得到∠BCA=∠EFD．根据等式的性质得到AC=DF，即可根据SAS证明△ABD≌△DEF．【详解】∵∠B=∠AGF，∴BC∥EG，∴∠BCA=∠EFD．∵AF=CD，∴AC=DF．在△ABD和△DEF中，∵AC=DF，∠BCA=∠EFD，BC=EF，∴△ABD≌△DEF(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2(2023春·山西朔州·八年级校考期末)已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD=CE；(2)求证：AD⊥CE4 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】试题分析：(1)要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．(2)延长AD，根据(1)的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．试题解析：(1)∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD=CE．(2)延长AD分别交BC和CE于G和F，∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD=∠BCE，∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，又∵∠BGA=∠CGF，∴∠AFC=∠ABC=90°，∴AD⊥CE．考点：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．3(2023·陕西西安·九年级西北工业大学附属中学校考期末)已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD．连接DE、DC，求证：CE=CD．【答案】见解析.【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠CAE=∠B，从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD,得证．【详解】证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAD=45°．∵AE⊥AB，∴∠CAE+∠CAD=90°．∴∠CAE=45°．5 ∴∠CAE=∠B．AE=BD在△ACE和△BCD中，∠CAE=∠B，AC=BC∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴CE=CD．【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质的综合运用，证明△ACE≌△BCD是解题的关键．4(2023春·七年级课时练习)如图，点E在AB上，DE∥BC，且DE=AB，EB=BC，连接EC并延长，交DB的延长线于点F．(1)求证：AC=DB；(2)若∠A=30°，∠BED=40°，求∠F的度数．【答案】(1)见解析(2)∠F=40°【分析】(1)由DE∥BC得到∠ABC=∠DEB，证明△ABC≌△DEB即可；(2)推导BE=BC，即∠BCE=∠BEC解题即可．【详解】(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠DEB，AB=DE在△ABC和△DEB中，∠ABC=∠DEB，BC=DB∴△ABC≌△DEB(SAS)，∴CD=CE；(2)解：∵△ABC≌△DEB，∴∠D=∠A=30°，∵DE∥BC，∴∠FBC=∠D=30°，∵∠CDE=40°∴∠EBC=40°，∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=70°，∴∠F=40°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．5(2023春·上海·七年级专题练习)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、E在一直线6 上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG∥BE的理由．【答案】见解析【分析】运用SAS证得△ACD≌△ACE，得到∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE;由公共部分∠ACD,利用角和差可确定∠BCF=∠DCF，结合BC=AC，判定△BCF≌△ACG，可得∠ACD=∠BAC=60°,CF=CG;可以发现△CFG也是等边三角形，则∠CFG=60°,即∠CFG=∠BCA=60°，利用平行线判定定理，即可判定平行．【详解】解：理由如下：∵已知△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=AB,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠DCE=∠CED=∠EDC=60°∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACEBC=AC在△ACD和△ACE中，∠BCD=∠ACECD=CE∴△ACD≌△ACE(SAS)∴∠CAE=∠CBD，∠BCD=∠ACE∴∠BCD-∠ACD=∠ACE-∠ACD即∠ACD=∠BCA=60°；∠CAE=∠CBD在△BCF和△ACG中，AC=BC∠ACD=∠BCA∴△BCF≌△ACG(ASA)∴CF=CG∴△CFG是等边三角形∴∠CFG=60°∴∠CFG=∠BCA=60°∴FG∥BE(内错角相等，两直线平行)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中全等三角形的判定是解题的关键．6(2023春·四川成都·八年级校考开学考试)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上载取CE=BD，连接AD、AE.(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；(2)在(1)的条件下，求出∠ADE的度数；(3)如图2，当点D落在线段BC(不含端点)上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC,垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明现由.7 【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)∆HGC为等边三角形，理由见解析.【分析】(1)利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；(2)根据全等三角形的性质得到AD=AE，∠CAE=∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可求得∠ADE的度数；【详解】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠ACM=∠ACB，∴∠ACM=∠ABC，AB=AC在△ABD和△ACE中，∠ABC=∠ACEBD=CE，∴△ABD≌△ACE.(2)由(1)可知，△ABD≌△ACE，∵ΔABD≌ΔACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=30°；(3)∆HGC为等边三角形.理由:∵AH⊥BC,AG⊥EC,∴∠AHC=∠AGC=90°.∵∠ACB=∠ACM,AC=AC,∴ΔAHC≅ΔAGC(ASA).∴HC=GC.∵∠HCA=30°,∴∠HCG=60°.∴∆HGC为等边三角形.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【类型3已知两角对应相等，寻找夹边相等，用“ASA”】1(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若AB:BC=5:7，S△ADC=8，则S△ABD=.8 【答案】20【分析】延长AD交BC于点E，证△ABD≌△EBD可得AB=BE，S△ABD=S△EBD，AD=DE，由AB:BC=5:7可得S△EBD：S△ECD=5:2，进而即可求解；【详解】解：如图，延长AD交BC于点E，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°∵BD=BD，∴△ABD≌△EBDASA∴AB=BE，S△ABD=S△EBD，AD=DE，∵AB:BC=5:7，即BE:BC=5:7∴BE:EC=5:2∴S△EBD：S△ECD=5:2，∵AD=DE，S△ADC=8，∴S△ECD=S△ADC=8，5∴S△ABD=S△ADC=202故答案为：20．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形中线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2(2023春·湖南永州·八年级校考期中)如图四边形ABCD中，∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，AF=CE．求证：BE=DF．【答案】证明见解析【分析】根据等量代换可得AE=CF，根据全等三角形的判定和性质即可证明．【详解】证明：∵AF=CE，AF+FE=CE+FE，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD在△ABE和△CDF中，AE=CF，∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDFASA，∴BE=DF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3(2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且∠CAD=45°．若BC=7，AD=5，求AF的长．9 【答案】3【分析】证明△ABD≌△CFDASA，得到BD=DF，利用BD=BC-CD，求出BD的长，再利用AF=AD-DF，计算即可．【详解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠ADC=∠CDF=∠CEB=90°，∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，∴∠BAD=∠FCD，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，∴∠ACD=45°，∴AD=CD，∠ADB=∠CDF在△ABD和CFD中，AD=DC，∠BAD=∠DCF∴△ABD≌△CFDASA．∴BD=DF．∵BC=7，AD=DC=5，∴DF=BD=BC-CD=2，∴AF=AD-DF=5-2=3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△ABD≌△CFD．4(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠E,∠D=∠A,BE=CF，求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【分析】根据已知条件证明EF=CB，进而根据AAS证明△ABC≌△DEF．【详解】证明：∵BE=CF，∴BE+BF=BF+FC，即EF=CB，∠D=∠A在△ABC,△DEF中，∠ABC=∠EEF=CB∴△ABC≌△DEFAAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5(2023春·云南文山·七年级统考期末)如图．已知线段AB，分别过线段AB的两个端点作射线AM、10 BN，使AM∥BN，点E为∠MAB平分线上的一点，且BE⊥AE，垂足为E，若∠BAE=60°，请解答下列问题：(1)求∠EBN的度数；(2)过点E作直线CD，交AM于点D，交BN于点C．求证：DE=CE；(3)无论线段DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要线段DC经过点E，那么AD+BC的值是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)30°(2)见解析(3)AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由见解析【分析】(1)根据平行线的性质得出∠BAM+∠ABN=180°,得出∠ABN=60°,再根据直角三角形两锐角互余可得∠ABE=30°,从而可得出结论；(2)延长AE交BN于点F，证明△AEB≌△FEB得到AB=FB，再根据ASA证明△AED≌△FEC即可得出DE=CE；(3)由(2)知△AED≌△FEC得AD=FC，从而可证明AD=FC,再证明FB=AB，从而可得出结论．【详解】(1)∵AE是∠BAM的平分线，1∴∠BAE=∠MAE=∠MAB,2∵∠BAE=60°,∴∠BAM=2∠BAE=120°,∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°,∴∠ABN=180°-∠BAM=180°-120°=60°,∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°,∴∠EBN=∠ABN-∠ABE=60°-30°=30°；(2)证明：如图所示，延长AE交BN于点F，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠FEB=90°，∵AE是∠BAM的平分线，∴∠BAE=DAF，∵AM∥BN，∴∠BFA=∠DAF，∠ADE=∠FEC，∴∠EAB=∠EFB，又∵BE=BE，∴△AEB≌△FEBAAS，11 ∴AE=FE,∴△AED≌△FECASA，∴DE=CE；(3)解：AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长，理由如下：由(2)得△AED≌△FEC，△AEB≌△FEB∴AD=FC,AB=BF，∴AD+BC=FC+BC=BF=AB，∴线段DC经过点E，那么AD+BC的值不会发生变化，都等于AB的长【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键6(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G．【问题探究】(1)∠AGB的度数为°；(2)过G作GF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，判断AB与FB的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若AD=10，FG=6，求GH的长．【答案】(1)135(2)AB=BF，理由见解析(3)4【分析】(1)利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分线的定义得到∠GAB+∠GBA11=∠ABC+∠BAC=45°，由此即可利用三角形内角和定理求出答案；22(2)利用三角形内角和定理证明∠F=∠HAG，进而证明∠F=∠BAG，由此可证明△ABG≌△FBG得到AB=BF；(3)由全等三角形的性质得到AG=FG=6，则DG=AD-AG=4，再证明△AGH≌△FGD，即可得到GH=DG=4．【详解】(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，11∴∠GAB=∠BAC，∠GBA=∠ABC，2211∴∠GAB+∠GBA=∠ABC+∠BAC=45°，22∴∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=135°，故答案为：135；(2)解：AB=BF，理由如下：12 ∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵FG⊥AD，∴∠AGH=∠FCH=90°，又∵∠FHC=∠AHG，∴∠F=∠HAG，∵∠ABC和∠BAC的平分线BE和AD相交于点G，∴∠CAD=∠BAD，∠ABG=∠CBG，∴∠F=∠BAG，又∵BG=BG，∴△ABG≌△FBGAAS，∴AB=BF；(3)解：∵△ABG≌△FBG，∴AG=FG=6，∴DG=AD-AG=4，又∵∠AGH=∠FGD=90°，∠HAG=∠F，∴△AGH≌△FGDASA，∴GH=DG=4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型4已知一边一角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”】7(2023春·四川德阳·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=7135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论是4()A.①②③B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤【答案】D【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；②证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可判定；③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；④可以证明S四边形ABDE=2S△ABP，据此即可判定；⑤由DH∥PE，利用等高模型即可判定．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAP=∠DAC，∠ABP=∠FBP，13 11∴∠BAD+∠ABE=∠CAB+∠CBA=×90°=45°，22∴∠APB=180°-∠BAD+∠ABE=135°，故①正确；∴∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPD=∠APF=90°，∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，∠ABP=∠FBP在△ABP和△FBP中，BP=BP，∠APB=∠FPB∴△ABP≌△FBPASA，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，∠APH=∠FPD在△APH和△FPD中，AP=FP，∠PAH=∠PFD∴△APH≌△FPDASA，∴PH=PD，∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正确；∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△EPH+S△APE=S△EPD+S△APE，即S△APH=S△AED，故⑤正确；∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+S△AEP+S△EPH+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确；若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与已知条件不符，故③不正确，综上所述，正确的结论有①②⑤，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．14 8(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，∠ABC=∠CAD=90°，AB=4，AC=AD，求△BAD的面积．【答案】8【分析】过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，通过证明△DAE≌△ACB求得三角形高，从而求面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，∵∠ABC=∠CAD=90°，∴∠DEA=∠ABC，∠DAE+∠ADE=∠DAE+∠BAC=90°，∴∠ADE=∠BAC，又∵AC=AD，∴△DAE≌△ACB，∴DE=AB=4，11∴S△BAD=AB⋅DE=×4×4=8，即△BAD的面积为8．22【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．9(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．(1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】(1)利用AAS证明三角形全等即可；(2)全等三角形的性质，得到∠BED=∠BCA，证明△DBC≌△ABCSSS，得到∠BCD=∠BCA=1∠ACD=36°，即可得解．2【详解】(1)解：因为∠DBA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，15 即∠DBE=∠ABC．∠ABC=∠DBE在△ABC和△DBE中，∠BAC=∠BDE，AC=DE所以△ABC≌△DBEAAS．(2)因为△ABC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．DC=AC在△DBC和△ABC中，CB=CB，BD=BA所以△DBC≌△ABCSSS，1所以∠BCD=∠BCA=∠ACD=36°，2所以∠BED=∠BCA=36°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．10(2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，且AD=CD．(1)求证：△ABD≅△CFD；(2)若BC=9，AD=7，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=5【分析】(1)先证明∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，则∠BAD=∠FCD=90°-∠B，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≅△CFD；(2)先由BC=9，AD=CD=7求得BD=2，再根据全等三角形的对应边相等证明BD=FD=2，则AF=AD-FD=5．【详解】(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°．∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°．∴∠BAD=∠FCD．∠ADB=∠CDF,在△ABD和△CFD中，AD=DC,∠BAD=∠FCD,∴△ABD≌△CFDASA．(2)∵△ABD≌△CFD，∴BD=DF．∵BC=9，AD=DC=7，∴BD=BC-CD=2．16 ∴DF=2．∴AF=AD-DF=7-2=5．【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．11(2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)若AD=12，DE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；(2)根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，CD=BE，再根据AD=12，DE=7，即可解答．【详解】(1)证明：∵∠ACB=90°,BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°,∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AD⊥CE,BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE；(2)解：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE,CD=BE，∵AD=12,DE=7，∴BE=CD=CE-DE=12-7=5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．12(2023春·七年级课时练习)(1)如图1，AB=AC，∠B=∠EDF，DE=DF，FC=2，BE=4，求BC的长度.(2)如图2，AB=AC，∠ABC=∠EDF，DE=DF，探索BC、BE、CF的数量关系，并证明.(3)如图3，在中，∠B=∠ADE=45°，∠C=22.5°，DA=DE，AB=3，BD=2，则DC=.17 【答案】(1)6；(2)BC=BE-CF，证明见解析；(3)5【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=∠EDF，再根据三角形的内角和定理得到∠BED=∠FDC，根据全等三角形的性质得到BD=FC=2，BE=CD=4，最后由BC=BD+CD即可解答；(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠EDF，求得∠ABD=∠DCF，最后根据全等三角形的性质即可解答；(3)在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，于是得到∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，求得∠DFE=∠B=∠ADE=45°，最后根据全等三角形的性质得到BD=EF=CF=2，最后根据DC=DF+CF即可解答．【详解】(1)解：∵AB=AC，∠B=∠EDF，∴∠B=∠C=∠EDF，∵∠B+∠BED+∠BDE=∠FDC+∠EDF+∠BDE，∴∠BED=∠FDC，∠B=∠C在△BED和△FDC中，∠BED=∠CDFDE=DF∴△BED≅△FDC(AAS)，∴BD=FC=2，BE=CD=4，∴BC=BD+CD=6；(2)BC=BE-CF，证明如下：∵AB=AC，∠ABC=∠EDF，∴∠ABC=∠ACB=∠EDF，∴∠ABD=∠DCF，∠BED+∠BDE=∠BDE+∠CDF，∴∠BED=∠CDF，∴△BED≅△CDF(AAS)，∴BD=CF，BE=CD，∴BC=CD-BD=BE-CF；(3)如图：在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于F，∴∠DFE=∠CEF+∠C=45°，EF=CF，∵∠B=∠ADE=45°，∴∠DFE=∠B=∠ADE=45°，∵∠BAD+∠B+∠ADB=∠FDE+∠ADE+ADB=180°，∴∠BAD=∠FDE，∴△BAD≌△FDE(AAS)，∴BD=EF=CF=2，AB=DF=3，∴DC=DF+CF=5．【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识点，18 熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【类型5已知一边一角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”】13(2023春·江苏·七年级统考期末)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE=4，BC=3，DE=2，1∠ABC=∠AED=90°，∠DAC=∠BAE，则五边形ABCDE的面积等于()2A.16B.20C.24D.26【答案】B【分析】延长DE至F，使EF=BC，连接AF，通过证明△AEF≌△ABC可得∠FAE=∠CAB，AF=AC，1由∠DAC=∠BAE可得∠DAF=∠DAC，从而可证明△ADF≌△ADCSAS，得到S△ADC=S△AFD=2S△ADE+S△ACB，最后由S五边形ABCDE=S△ADE+S△ACD+S△ABC，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，延长DE至F，使EF=BC，连接AF，则∠AEF=90°，EF=BC在△AEF和△ABC中，∠AEF=∠ABC，AE=AB∴△AEF≌△ABCSAS，∴∠FAE=∠CAB，AF=AC，1∵∠DAC=∠BAE，∠BAE=∠EAD+∠DAC+∠BAC，2∴∠DAC=∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠EAF=∠DAF，AD=AD在△ADF和△ADC中，∠DAF=∠DAC，AF=AC∴△ADF≌△ADCSAS，∴S△ADC=S△AFD=S△ADE+S△ACB，1111∵S△ADE=DE⋅AE=×2×4=4，S△ABC=BC⋅AB=×3×4=6，2222∴S△ADC=4+6=10，∴S五边形ABCDE=S△ADE+S△ACD+S△ABC=4+10+6=20，故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．14(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是()19 A.a+c-bB.b+2cC.a+b+2cD.a+b【答案】D【分析】取CD的中点H，连接PH、FH，可得PF+PG=PH+PF≥FH=a+b,所以当F、P、H三点共线时，PF+PG的值最小．【详解】解：取CD的中点H，连接PH、FH，∵四边形ABCD是长方形，F是AB的中点，∴四边形ADHF是长方形，∴FH=AD=AE+DE=a+b；由折叠可知：CD=CF，∵G是CF的中点，H是CE的中点，∴CG=CH，CG=CH在△GCP和△HCP中，∠GCP=∠HCP，CP=CP∴△GCP≌△HCP(SAS)，∴PG=PH，∴PF+PG=PH+PF≥FH=a+b,∴当F、P、H三点共线时，PF+PG的值最小，最小值为：a+b.故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题．15(2023春·山东泰安·七年级统考期末)如图，线段AB与CF交于点E，点D为CF上一点，连接AD、AF、BC，已知AD=BC，∠1=∠2．(1)请添加一个条件使△ADF≌△BCE，并说明理由．(2)在(1)的条件下请探究AE与BE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)DF=CE，理由见解析；(2)AE=BE，理由见解析．20 【分析】(1)利用SAS判定定理，添加DF=CE即可判断；(2)利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．【详解】(1)解：添加条件：DF=CE，理由如下：∵AD=BC，∠1=∠2，DF=CE，∴△ADF≌△BCESAS；(2)解：AE=BE，理由如下：∵△ADF≌△BCE，∴∠F=∠CEB，AF=BE∵∠CEB=∠AEF，∴∠F=∠AEF，∴AE=AF，∴AE=BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．16(2023·江苏·八年级假期作业)已知：在△ABC中，AB=CD-BD，AD⊥BC，求证：∠B=2∠C．【答案】见解析【分析】方法一：在DC上取一点E，使BD=DE，如图1，易证△ABD≌△AED，可得AB=AE，∠B=∠AED，进而可知AE=AB=CD-BD=CD-DE=EC，可得∠C=∠EAC，再利用三角形的外角即可证明结论；方法二：延长DB到点E，使BE=AB，如图2，可得∠E=∠EAB，由AB=CD-BD，可得CD=AB+BD=BE+BD=ED，即可知ED=CD，易证△AED≌△ACD，可得∠E=∠C．再利用三角形的外角即可证明结论．【详解】方法一：在DC上取一点E，使BD=DE，如图1，在△ABD和△AED中，AD⊥BC，则∠ADB=∠ADE=90°，∵BD=ED，AD=AD．∴△ABD≌△AED．∴AB=AE，∠B=∠AED．又∵AE=AB=CD-BD=CD-DE=EC，∴∠C=∠EAC，∴∠C+∠EAC=∠AED=2∠C∴∠B=2∠C．21 方法二：延长DB到点E，使BE=AB，如图2，∴∠E=∠EAB．∵AB=CD-BD，∴CD=AB+BD=BE+BD=ED即：ED=CD．在△AED和△ACD中，AD⊥BC，∠ADC=∠ADE=90°，∵ED=CD，AD=AD．∴△AED≌△ACD．∴∠E=∠C．∵∠ABD=2∠E∴∠B=2∠C．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．17(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．(1)按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．(2)求证：△ACD≌△EBD．(3)求证：AB+AC>2AD．(4)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)1<AD<4【分析】(1)根据题目中语言描述画出图形即可；(2)直接利用SAS证明△BDE≌△CDA即可；(3)根据△BDE≌△CDA，得BE=AC，从而得出AE=2AD，再根据三角形三边关系即可得出AB+BE>AE，即可得出结论；(4)根据三角形三边关系得AB-BE<AE<AB+BE，又由AE=2AD，BE=AC，AC=3，AB=5，代22 入即可求解．【详解】(1)解：如图所示，(2)证明：如图，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，BD=CD在△BDE和△CDA中，∠1=∠2，ED=AD∴△BDE≌△CDASAS．(3)证明：如图，∵△BDE≌△CDA，∴BE=AC，∵DE=AD，∴AE=2AD，在△ABE中，AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(4)在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，由(3)得AE=2AD，BE=AC，∵AC=3，AB=5，∴5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键．23 18(2023春·江西吉安·七年级统考期末)在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的将分线，BD与CE相交于点P．(1)如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，那么∠BPC=．(2)如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，那么(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)小月同学在完成(2)之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，把DC、EB转换到BC边上来，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．【答案】(1)120°；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)BC=CD+BE，理由见解析．【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠ABC=30°，再利用角平分线的定义求出∠PCB=45°，∠PBC=15°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；(2)先根据角平分线的意义，求出∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，最后用三角形内角和定理即可得出结论；(3)在边CB上截取了CF=CD，连接PF，先判断出△DCP≌△FCP(SAS)，得出CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，进而判断出∠PBF=∠PBE，即可判断出△FPB≌△EPB，最后用等量代换即可得出结论．【详解】(1)解：∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，∴∠PCB=45°，∠PBC=15°，∴∠CPB=180°-45°-15°=120°．(2)结论仍然成立，理由：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，∴∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，∵∠A=60°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，∴2∠PCB+2∠PBC=120°，∴∠PCB+∠PBC=60°，在△PBC中，∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°，∴∠BPC=180°-(∠PCB+∠PBC)=180°-60°=120°．(3)BC=CD+BE，理由：如图2，由(2)知，∠BPC=120°，∴∠DPC=60°，∴∠EPB=60°，在边CB上截取了CF=CD，连接PF，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠DCP=∠FCP，24 CD=CF在△DCP和△FCP中，∠DCP=∠FCP，CP=CP∴△DCP≌△FCP(SAS)，∴CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，∴∠FPB=∠BPC-∠FPC=60°=∠EPB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠PBF=∠PBE，∠FPB=∠EPB在△FPB和△EPB中，BP=BP，∠PBF=∠PBE∴△FPB≌△EPB，∴BF=BE，∴BC=CF+BF=CD+BE．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，考点还涉及了三角形内角和定理以及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键．25