新高考数学题型全归纳之排列组合专题17 构造法模型和递推模型(解析版)
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专题17构造法模型和递推模型类型1:构造法模型例1.某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种.【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题.=20种例2.个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1瓶,一共有多少钟不同的带法.【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题.=126种例3.从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续的自然数,有多少种不同的去法.【解析】把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题。例4.某城市街道呈棋盘形,南北向大街5条,东西向大街4条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.【解析】无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.=35(种)例5.一个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法.【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.=924(种).例6.求(a+b+c)10的展开式的项数.【解析】展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10,因此,把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题.=66(种)例7.亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由17
号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?【解析】设亚洲队队员为a1,a2,…,a5,欧洲队队员为b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题,比赛过程的总数为=252(种)例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?【解析】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种例9.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?【解析】将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。类型2:递推模型例1.5个人站成一列,重新站队时各人都不站在原来的位置上,共有 种不同的站法.A.42B.44C.46D.48【解析】首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:7
第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置,则余下的个人有种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,,第个人不站在第个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列的递推关系式:,显然,,,,,,有44种排法故选:.例2.欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或二级,问共有 89 种不同的走法.【解析】最后走到第十阶,可能是从第八阶直接上去,也可以从第九阶上去,设上级楼梯的走法是,则的值与等于与的值的和,一阶为1种走法:(1)二阶为2种走法:(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)7
故答案为:89.制发例3.甲、乙、丙三人互相传球,先由甲开始作第一次传球,则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有 A.6种B.8种C.10种D.16种【解析】根据题意,设在第次传球后,有种情况球在甲手中,即经过次传递后,球又被传回给甲,而前次传球中,每次传球都有2种方法,则前次传球的不同的传球方法共有种,那么在第次传球后,球不在甲手中的情况有种情况,即球在乙或丙手中,只有在这些情况时,在第次传球后,球才会被传回甲,即;易得,则,,,故选:.例4.甲,乙,丙三人练习传球,首先由甲发球,连续10次传球后,球又回到甲手中的不同传球路线有 342 种.【解析】解:设经过次传球后球回到甲手中的传法有种.则经过次传球后球回到甲手中的传法有种.而次传球一共有次传法,所以经过次传球后球没有回到甲手中的传法有,,,故答案为342例5.某校有教职员工150人,为了丰富教工的课余生活,每天下午同时开放健身房和娱乐室,要求所有教工每天必须参加一个活动.据调查统计,每次去健身房的人有下次去娱乐室,而在娱乐室的人有下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否7
趋于稳定?【解析】记第天去健身房的人数为,去娱乐室的人数为,则;当时,则,当时,,则,即;数列是为首项,以0.7为公比的等比数列;,即;当时,,,;即随着时间的推移,去健身房的人数应稳定于100人左右.例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()A.60种B.44种C.36种D.24种【解析】首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第个位置,则余下的个人有种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,第个人不站在第7
个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列的递推关系式:显然再由递推关系有故应选B.例7.有排成一行的个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色,要求任何相邻的格不同色,且首尾两格也不同色,阳有多少种涂法?【解析】设共有种不同涂法.易得,且当时,将个格子依此编号后,则格1与格()不相邻.(1)若格涂色与格1不同,此时格只有一色可涂,且前格满足首尾两格不同色,故有种不同涂法.(2)若格(-1)涂色与格1相同,此时格(-2)与格1涂色必然不同,否则格与格相同,于是前格有种不同涂法.因为格与格1不同色,有两种涂法,故有种不同涂法.综上可得递推关系式并可得.例8.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有多少种不同的爬跃方式?【解析】易得.把问题一般化,设一共有级梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.设共有种不同的爬跃方式.若第一次爬了一级,则有种方式;若第一次上跃二级,则有种方式;若第一次上跃三级,则有种方式.因此:易得.即共有81种不同的爬跃方式.例9.用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,求不同的染色方法?【解析】我们先把这个题目推广:用种不同颜色给边形的个顶点染色(其中且为常数),每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,不同的染色方法有多少种?设不同的染色方法有种,现在我们来通过合理分布,恰当分类找出递推关系:第一步:染有种染法第二步:染,有种染法同理,染均有种染法,最后染如果仅考虑与不同色,则仍有种染法,相乘得种染法,但要去掉与同色的染法数,7
此时可将与合并看成一个点,得出需要排除的染法数为,所以有显然.又本题中,颜色数所以递推关系为又所以种),故不同的染色方法种数有84种.例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?【解析】首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推美系:第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置,则余下的-2个人有种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,……,第个人不站在第个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,,我们便得到了数列的递推关系式:再由递推关系有故共有44种.7
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