新高考数学题型全归纳之排列组合专题09 间接法模型（解析版）

专题9间接法模型例1．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（）A．18B．24C．30D．36【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，所以不同的分配方法种数有：故选：C例2．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（）A．900种B．600种C．300种D．150种【解析】第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有（种）不同选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有（种）不同选法，所以不同的选派方案共有(10+15)（种）.故选B.例3．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．B．C．D．【解析】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，9 又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.故选：C.例4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A．96种B．84种C．78种D．16种【解析】先确定选的两门:,再确定学生选:,所以不同的选课方案有选B.例5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A．100B．110C．120D．180【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，所以符合要求的组队方案数为110种例6．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A．474种B．77种C．462种D．79种【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.例7．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有()A．36种B．12种C．18种D．24种【解析】利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况：9 乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即；乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个人来排列，即；乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即；∴.故选：A例8．某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（）A．B．C．D．【解析】分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为.故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是.故选：D例9．某校教师迎春晚会由个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．种B．种C．种D．种【解析】利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有种.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法种数为.综上所述，符合条件的排法种数为（种）.故选：C.例10．某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁9 金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A．B．C．D．【解析】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，根据分步计数原理有，所以共有种.故选:B.例11．2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就，我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为（）A．1296B．648C．324D．72【解析】由题意可得：2艘攻击型核潜艇一前一后，有种方法排列，6艘舰艇的任意排列，有种方法排列，6艘舰艇每侧3艘且同侧是同种舰艇，有种方法排列，6艘舰艇每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，有种方法排列，舰艇分配方案的方法种数有：故选：A例12．现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（）9 种.A．24B．36C．72D．144【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种；故选：C例13．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（）A．B．C．D．【解析】试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；种选法．例14．某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（）．A．30B．120C．180D．210【解析】由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有种安排方案，将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有种，所以满足题意的不同安排方案有（种）．故选：C．例15．我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名男医生，则选派方案有（）A．60种B．12种C．10种D．9种【解析】9 根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有种选法，其中没有男医生，即全部为女医生的选法有种，则有种不同的选法；故选：D．例16．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为，则下列等式能成为的算式是（）.A．；B．；C．；D．；【解析】解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即；所以能成为的算式是BC．故选：BC．例17．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则()A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品,则包括一件不合格品和两件合格品,共有种结果，则选项A正确，B不正确；9 根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,"有1件不合格品"的抽取方法有种,"有2不合格次品"的抽取方法有种,则共有种不同的抽取方法,选项C正确；"至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，"三件都是合格品"的抽取方法有种,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，选项D正确；故选：ACD.例18．新型冠状病毒疫情期间，位党员需要被安排到个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答）【解析】先考虑没有限制条件下的排法种数，将人分为三组，三组的人数分别为、、或、、，此时，所有的排法种数为.其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有种排法.综上所述，共有种.故答案为：.例19．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.【解析】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即，故答案为：42．例20．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【解析】9 从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有，乘积为奇数只有一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有种.故答案为：例21．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有________种．【解析】解：三位小朋友选择的总情况共有（种）．①三人都选与自己属相相同的吉祥物，有1种选法；②三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有（种）；③三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有（种），所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有（种）．故答案为：例22．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体.【解析】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作个四面体.故答案为：12；58.例23．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.【解析】（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55＝120个五位数（2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，9 其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，根据分步计数原理得到共有C31A44＝72；（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55＝120种情况，即一共有120个五位数，再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44＝24个，2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33＝6个，3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22＝2个，4、43215，43251，43152，共3个故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个，即43125是第85项．9