新高考数学题型全归纳之排列组合专题08 直接法模型(解析版)
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专题8直接法模型例1.已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲乙两人均在丙领导人的同侧,则不同的排法共有()A.240种B.360种C.480种D.600种【解析】用分类讨论的方法解决.如图中的6个位置,123456①当领导丙在位置1时,不同的排法有种;②当领导丙在位置2时,不同的排法有种;③当领导丙在位置3时,不同的排法有种;④当领导丙在位置4时,不同的排法有种;⑤当领导丙在位置5时,不同的排法有种;⑥当领导丙在位置1时,不同的排法有种.由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种.故选C.例2.有位男生,位女生和位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是()A.B.C.D.【解析】先排与老师相邻的:,再排剩下的:,所以共有种排法种数,选D.例3.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中,到“东亚文化之都--泉州”“二日游”,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有A.16种B.18种C.20种D.24种【解析】任意相邻两天组合一起,一共有6种情况,如①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,若李雷选①②或⑥⑦,则韩梅梅有4种选择,10
选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则韩梅梅有3种选择,故他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有2×(4+6)=20,故答案为C例4.年月日,某地援鄂医护人员,,,,,,人(其中是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地,他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹,让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照,则领导和队长站在两端且相邻,而不相邻的排法种数为()A.种B.种C.种D.种【解析】让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照,则领导和队长站在两端且相邻分2步进行分析:①领导和队长站在两端,有种情况,②中间人分种情况讨论:若相邻且与相邻,有种安排方法,若相邻且不与相邻,有种安排方法,则中间人有种安排方法,则有种不同的安排方法;故选:D.例5.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级,每个班级一位老师,且甲不能分配到A班,丁不能分配到B班,则共有分配方案的种数为()A.10B.12C.14D.24【解析】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况:①甲分配到班:有种分配方案;②甲不分配到班:有种分配方案;由分类加法计数原理可得:共有种分配方案.故选:.10
例6.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序只能出现在第一步或最后一步,程序和在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有()A.144种B.96种C.48种D.34种【解析】试题分析:首先将B,C捆绑在一起作为整体,共有两种,又∵A只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为种,故选B.例7.甲、乙、丙、丁四个人到,,三个景点旅游,每个人只去一个景点,每个景点至少有一个人去,则甲不到景点的方案有()A.18种B.12种C.36种D.24种【解析】由题意,可分为两种请况:(1)甲单独一个人旅游,在B、C景点中任选1个,由2种选法,再将其他3人分成两组,对应剩下的2个景点,有种情况,所以此时共有种方案;(2)甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游,先在乙、丙、丁中任选1人,与甲一起在B、C景点中任选1个,有种情况,将剩下的2人全排列,对应剩下的2个景点,有种情况,所以此时共有种方案,综上,可得甲不到景点的方案有种方案.故选:B.例8.某城市关系要好的,,,四个家庭各有两个小孩共人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐名(乘同一辆车的名小孩不考虑位置),其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.种B.种C.种D.种【解析】若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有种方法.若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有.10
所以共有12+12=24种方法.本题选择B选项.例9.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.12种B.24种C.36种D.48种【解析】由题意,“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻时,可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,有3种,再考虑两者的顺序,有种,剩余的3门全排列,安排在剩下的3个位置,有种,所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选:C.例10.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”,某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动,现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中,医生甲被指定分配到医院,医生乙只能分配到医院或医院,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以,若每所医院至少分配一名医生,则不同的分配方案共有()A.18种B.20种C.22种D.24种【解析】根据医院A的情况分两类:第一类:若医院A只分配1人,则乙必在医院B,当医院B只有1人,则共有种不同分配方案,当医院B有2人,则共有种不同分配方案,所以当医院A只分配1人时,共有种不同分配方案;第二类:若医院A分配2人,当乙在医院A时,共有种不同分配方案,当乙不在A医院,在B医院时,共有种不同分配方案,所以当医院A分配2人时,共有种不同分配方案;10
共有20种不同分配方案.故选:B例11.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是()A.72B.144C.150D.180【解析】根据题意,符合奇数的个位数字只能从1,3,5中选取,组成没有重复数字的四位奇数分三步;第一步,排个位,共有种方法;第二步,排千位,共有种方法;第三步,排百、十位,共有种方法;所以,可组成个四位奇数,故答案选B。例12.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛,决出了第一名到第五名的五个名次,甲、乙去询问成绩,组织者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军”;对乙说:“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析,这五个人的名次排列的不同情形种数共有()A.B.C.D.【解析】先排乙,有种,再排甲,有种,最后排剩余三人,有种因此共有,选D.例13.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.54【解析】根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:C31×A33=18种;②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况;1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作,有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种;2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作:A32×C31×C21×A22=72种;由分类计数原理,可得共有18+36+72=126种,10
故选B.例14.为了支持山区教育,某中学安排6位教师到、、、四个山区支教,要求、两个山区各安排一位教师,、两个山区各安排两位教师,其中甲、乙两位教师不在一起,不同的安排方案共有()A.180种B.172种C.168种D.156种【解析】由题可知,分三种情况讨论:(1)甲,乙两位教师均没有去山区,共有种;(2)甲,乙两位教师只有一人去或山区,共有种;(3)甲,乙两位教师分别去或山区,共有种,故共有:种安排方案.故选:D.例15.某篮球队有名队员,其中有名队员打前锋,有名队员打后卫,甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为名前锋,名后卫,则不同的出场阵容共有______种.【解析】分以下三种情况讨论:①甲、乙都不出场,则应从名打前锋的队员中挑选人,从名打后卫的队员中挑选人,此时,出场阵容种数为;②甲、乙只有一人出场,若出场的这名队员打前锋,则应从名打前锋的队员中挑选人,从名打后卫的队员中挑选人;若出场的这名队员打后卫,则应从名打前锋的队员中挑选人,从名打后卫的队员中挑选人.此时,出场阵容种数为;③甲、乙都出场,若这两名队员都打前锋,则应从名打前锋的队员中挑选人,从名打后卫的队员中挑选人;若这两名队员都打后卫,则应从名打前锋的队员中挑选人,从名打后卫的队员中不用挑选;若这两名队员一人打前锋、一人打后卫,则应从名打前锋的队员中挑选人,从名打后卫的队员中挑选人,此时,出场阵容种数为.10
综上所述,由分类加法计数原理可知,共有种不同的出场阵容.故答案为:.例16.有7张卡片分别写有数字从中任取4张,可排出不同的四位数的个数是__________.【解析】根据题意,分4种情况讨论:(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4,此时=24种顺序,可以排出24个四位数;(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2,若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,剩余位置安排两个2,则可以排出6×1=6个四位数;(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.故答案为:114.例17.从A,B,C,D,a,b,c,d中任选5个字母排成一排,要求按字母先后顺序排列(即按先后顺序,但大小写可以交换位置,如或都可以),这样的情况有__________种.(用数字作答)【解析】分为四类情况:第一类:在A、B、C、D中取四个,在a、b、c、d中取一个,共有;第二类:在A、B、C、D中取三个,在a、b、c、d中取两个,分两种情况:形如AaBbC(大小写有两个字母相同)共有,形如AaBCd(大小写只有一个字母相同)共有;第三类:在A、B、C、D中取两个,在a、b、c、d中取三个,取法同第二类情况;第四类:在A、B、C、D中取一个,在a、b、c、d中取四个,取法同第一类情况;10
所以共有:2(8++)=160例18.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有 _________ 种(用数字作答)【解析】按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时,有A,当C在左边第2个位置时AA,当C在左边第3个位置时,有AA+AA,共为240种,乘以2,得480.则不同的排法共有480种.故答案为480.例19.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中,望楼传递信息的方式有一种如下:如图所示,在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每一行,每一列上至多有一个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递______种信息.(用数字作答)【解析】显然,紫色小方格顶多有3个.分类讨论:(1)若无紫色小方格,则只有1种结果;(2)若有且只有1个紫色小方格,则有种结果;(3)若有且只有2个紫色小方格,从行来看,先选出有紫色小方格的那两行,有种选法,这两行的排法有种,此种情况下共有18种结果;(4)若有且只有3个紫色小方格,显然,这三行的排法有种.10
综上,一共有34种结果,即一共可以传递34种信息.故答案为:34例20.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有排法_________种.(用数字作答)【解析】当体育课在最后一节时,此时另外节课可在其余位置任意排列,故有种排法;当体育课不在最后一节时,此时体育课只能在第节或第节,故有种排法,所以一共有:种排法,故答案为:.例21.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.【解析】根据题意,分种情况讨论:①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下人中选出人,有种选法,选出人的安排方法有种,则此时有=种选派方法;故一共有=种选派方法;故答案为:例22.甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相,其中甲不站中间,甲、乙不相邻的排法总数是______.【解析】当甲排第1或5位置时,排法有(种);当甲排第2或4位置时,排法有(种),10
则甲不站中间,甲、乙不相邻的排法总数是,故答案为:60.例23.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数?(2)可组成多少个不同的四位偶数?【解析】(1)根据题意分步完成任务:第一步:排千位数字,从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排,有种不同排法;第二步:排百位、十位、个位数字,从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列,有种不同排法;所以组成不同的四位数有种,(2)根据题意分类完成任务:第一类:个位数字为0,则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位,有种不同排法;第二类:个位数字为2或4,则0不能排在千位,有种不同排法;所以组成不同的四位偶数有种.例24.从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.(Ⅰ)求可以组成多少个大于500的三位数;(Ⅱ)求可以组成多少个三位数;(Ⅲ)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.【解析】(Ⅰ)由题意大于500的三位数的个数为;(Ⅱ)所有三位数个数为;(Ⅲ).10
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