高考数学方法技巧第21讲 平面向量中最值、范围问题（解析版）

第21讲平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.方法一利用基本不等式求平面向量的最值万能模板内容使用场景一般平面向量求最值问题解题模板第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.例1、已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】【解析】第一步，利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系：由可得，，根据A，B，C三点共线可得，且，第二步，运用基本不等式求其最值问题：所以，第三步，得出结论：所以最小值为。【变式演练1】在中，点是边上的点，满足，，，则的最大值为（）A．B．C．D．【来源】全国Ⅰ卷高三高考数学（文）押题试题（二）,【答案】C【分析】利用向量的线性运算，结合解三角形余弦定理可得，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】，，又，所以，，所以，即，，故，根据基本不等式可得，解得：，当且仅当，即，时取等号，故的最大值为.故选：C.【变式演练2】【浙江省高三下学期6月新高考进阶】若，，平面内一点，满足，的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由条件可得，是角平分线，然后由角平分线的性质可得,，设，则，然后，即可得出的最大值.【详解】由，可得因为，所以，即是角平分线所以由角平分线的性质可得设，则，由可得因为当且仅当，即时等号成立，即的最小值为所以的最大值是，故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.方法二建立直角坐标系法万能模板内容使用场景一般向量求最值或取值范围类型解题模板第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步将平面向量数量积的运算坐标化；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例2（1）在中，，，点是所在平面内一点，则当,取得最小值时，（）A.B.C.D.24【答案】D【解析】第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标：以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：当时取得最小值，，选D.【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.学科*网(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.例2（2）在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.【解析】：第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标：以为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。,第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.【变式演练3】【河南省开封市高三二模】己知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为，设点，，求出的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【详解】如图所示，以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，,所以直线的方程为，设点，，所以，所以，当时，取到最小值.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.【变式演练4】【浙江省高三新高考模拟试题心态卷】已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形OCD的顶点C､D在半圆弧上运动，且OC=OD，∠COD=120°，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，设出点C、D、P的坐标，利用向量的数量积运算和三角函数的性质可得选项.【详解】以点O为原点，AB为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，如下图所示，不妨取，则，设，,，因为，所以，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标运算和转化为已知向量的方法，属于中档题.方法三构造目标函数求最值万能模板内容使用场景一般向量求最值或取值范围类型解题模板第一步根据条件设变量；第二步利用平面向量的运算法则列出关系式；第三步根据函数求出最值或范围.例3【山东省济宁市第一中学高三考前冲刺测试】在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（）A．2B．4C．5D．6【答案】C【解析】第一步：设，，则，第二步：，∴,，第三步：∵，∴时，取得最大值5．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．【变式演练5】【浙江省杭州二中高三下学期高考仿真考】面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线EF上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积＝1，从而可得PB×PC，故PB×PCcos∠BPC，由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．【详解】解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离＝点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积＝2△PBC的面积，而△ABC的面积＝2，∴△PBC的面积＝1，又△PBC的面积PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC．∴PB×PCcos∠BPC．由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC令y，则y′,令y′＝0，则cos∠BPC，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC时，取得最大值为∴的最小值是故选：D【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．【反馈练习】1.【湖南省怀化市高三下学期4月第一次模拟考试】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径，设在圆上，运用向量的加减和数量积运算可得，即实数的取值就是圆上的点到原点的距离的值，即可得到答案.【详解】圆得到即圆心，半径，设在圆上，则，，即，所以实数的取值就是圆上的点到原点的距离取值，且，，则，因此实数的取值范围为故选：D.【点睛】本题考查了数量积的运算以及圆上的动点到定点的距离的最值的求法，属于一般题.2．【甘肃省静宁县第一中学高三第十次模拟】已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P,为平面内一点，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】作出图像如下图所示，取的中点为D，由，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式，可得选项.【详解】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则.又为圆O上的点P到D的距离，则，∴的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.3．【河南省天一大联考“顶尖计划”高三第二次考试】已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得,，结合的范围即可求解【详解】如图，其中，所以.故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题4．【西南名校联盟333高考备考诊断性联考卷】已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由垂直关系推出数量积关系，代入化简求得关于t的表达式，根据二次函数的图象与性质即可求出的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质即可求得两向量夹角的最小值.【详解】因为，所以，，，,又因为，所以，所以，的夹角的最小值为.故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.5．【浙江省杭州市富阳中学高三下学期6月三模】已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.【详解】设，向量的夹角为，则，则，因为，所以.不妨设，，设，则，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，又，即，当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.,故选：A.【点睛】本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.6．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三下学期第四次模拟】在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】【分析】确定出点所在平面区域，然后以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，用坐标法求解．【详解】由题意，所以，即为等边三角形，以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，设，则，，，，，由得，所以，，,因为，所以，即的最大值是．故选：C．【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，解题方法是解析法，求出为等边三角形，建立如图的平面直角坐标系，表示出点的坐标后，用向量线性运算的坐标表示求出结论．7．【山东省聊城市高考模拟考试（三模）】已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】取中点为，连接，，根据题意，求出，再由，，得到取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，根据点到直线距离公式，求出的最小值，即可得出结果.【详解】取中点为，连接，，因为是圆的一条动弦，且，所以，又，，即因此，取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，,又点为直线上的任意一点，所以点到直线的距离，即是，即，因此，即.故选：C.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，将其转化为直线上任意一点与圆心距离的最值问题，是解决本题的关键，属于常考题型.8．【黑龙江省哈尔滨市第一中学高三6月第一次模拟】设，，，且，则向量在上的投影的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据题意可建立直角坐标系，设点，，即可求出向量，再根据投影的概念求出向量在上的投影的表达式，利用值域的求法即可求解．【详解】,因为，，，建立以点为原点的直角坐标系，设，，则，，即有．设向量与的夹角为，所以向量在上的投影为．当时，；当时，，由可得，，即，所以；当时，，由可得，，即，所以．综上可知，向量在上的投影的取值范围为．故选：A．【点睛】本题主要考查利用坐标法解决向量问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．9．【甘肃省兰州市第一中学高三冲刺模拟考试】已知线段是垂直平分线上的两个动点，且的最小值（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,【分析】以中点为原点，建立直角坐标系，可得，，利用向量的坐标表示即可求解.【详解】以中点为原点，如图建立直角坐标系：则，，不妨设在的上方，则，，，，.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，属于基础题.10．【甘肃省兰州市第一中学高三冲刺模拟考试（二）】在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.,【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法11．【河南省高三考前适应性考试】已知点，若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为（）A．B．15C．16D．【答案】D【解析】【分析】【详解】设，则，即．因为，所以，则,．因为，所以，即的最小值是．12．【河南省大联考高三阶段性测试】已知内接于半径为3的圆，，为圆上的动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】本题考查平面向量的数量积.以的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，.设，则，所以，，所以.13．如图，在平面四边形中，.若点E为边上的动点，则的最小值为（）A．B．2C．D．【来源】重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试（二）数学试题【答案】D【分析】,以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设，用数量积的坐标表示求出数量积，结合二次函数性质得最小值．【详解】如图所示，以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，过点B做轴，过点B做轴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，设，∴.；∴，当时.取得最小值为.故选：D．14．的外接圆的半径等于3，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】辽宁省铁岭市二模数学试题【答案】D【分析】建系后，根据圆上一动点C的坐标，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图，,则，，设，，则，故选：D15．如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】千校联盟高三新高考终极押题数学试题【答案】B【分析】利用向量投影的概念把求的取值范围转化为求的取值范围.【详解】过作于点H，因为，，所以，，,因为是弧上（包括边界点）任一点，所以,又因为，所以，所以当点与点重合时，此时，最小，且最小为，所以，且最大为；当点与点重合时，此时点与点重合，最大，且最大为，所以最小为，所以的取值范围是.故选：B.16．已知非零平面向量满足，则的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为的不等式即可得解.【详解】依题意，，，，当时，上述最后等式不成立，从而有，，当且仅当时取“=”，又，当且仅当与同方向时取“=”，则有，解得，当且仅当=时取“=”，所以的最小值是4.故选：A【点睛】,结论点睛：平面向量，，当且仅当与方向相同或至少一个为零向量时取等号；，当且仅当与方向相反或至少一个为零向量时取等号.17．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（）A．B．C．1D．2【来源】甘肃省靖远县高三高考考前全真模拟数学（理）试题【答案】A【分析】设BD、AE交于O，根据题意可得，所以，进而可得，根据O、F、B三点共线，可得x，y的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE交于O，因为，所以，所以,所以，则，所以，因为O、F、B三点共线，所以，即，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，,所以，故选：A18．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．B．C．D．【来源】云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题【答案】D【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，可得，，利用平面向量坐标运算可求得，由数量积的坐标运算可表示出，利用基本不等式可求得结果.【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，，即，，，，，（当且仅当，即时取等号），,.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.19．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（）A．B．2C．D．3【来源】浙江省高三下学期6月高考方向性考试数学试题【答案】B【分析】由得，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，再将其化成，的模和夹角可解得．【详解】解：由得，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，，（当且仅当时取等号）．故选：．【点睛】本题考查平面向量数量积及向量模的计算，解答的关键是根据式子的几何意义转化计算；20．等边的面积为，且的内心为M，若平面内的点N满足，则的最小值为（）A．B．C．D．,【来源】安徽省安庆市第一中学高三下学期三模文科数学试题【答案】A【分析】根据三角形面积求出三角形的边长，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由条件得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为，且，然后用向量数量积的坐标公式得出的表达式，在求其最小值.【详解】设等边的边长为，则面积，解得以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.由为的内心，则M在上，且则，由，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.设，则，即，且，故选:A【点睛】本题考查动点的轨迹方程和利用坐标求向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为，且，进而得出，属于中档题.21．【湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考模拟试卷】已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.,【答案】【解析】【分析】可设，，根据，结合余弦函数的性质，即可得出的取值范围.【详解】可设，.，故答案为：22．【河北省衡水中学高三临考模拟】已知向量，，满足，，且，则的取值范围是________________.【答案】【解析】【分析】将转化为，两边平边再利用化简分析可求出的范围.【详解】因为，，所以，等式两边平方得，,所以，所以，所以，当且仅当与共线时取等号，所以.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的运算和性质，还考查了学生分析观察能力，运算能力，难度较大.23．【江苏省南通市通州区西亭高级中学高三下学期考前热身最后一练】已知锐角三角形ABC中，BC=3，于H，若，则的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】由向量的数量积的运算结合条件可得出，进而得到，从而有，在三角形中可得，再根据三角形ABC为锐角三角形，得出的范围,得出答案.【详解】由得，,即所以,即所以，又BC=3，所以所以,则又在锐角三角形ABC中，,解得，从而故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的运算和投影的意义，考查三角恒等变换，属于中档题.24.【江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷】如图，在中，、分别是、边上的中点，与的交点为，若，，则角的最大值为________.【答案】【解析】【分析】表示，进一步可得，然后计算可得关于的一元二次方程，最后利用可得结果.【详解】根据题意可知：在中，、分别是、边上的中点所以为的重心，所以又，所以,又，所以根据，所以则所以，由，所以则，所以所以的最大值为故答案为：【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于的表示以及的使用和理解，属中档题.25．已知中，，点M、N满足，且，则的最大值为_________．【来源】重庆市南开中学高三下学期第七次质量检测数学试题【答案】【分析】由数量积的定义可得：的值，展开利用基本不等式即可求最值.【详解】因为，所以，，,当且仅当即时取等号．故答案为：.26．在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是__________．【来源】高三5月大联考考后强化卷（广东卷）【答案】45【分析】以直角的直角边分别为轴建立平面直角坐标系，得出外接圆的方程，设出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量的数量积的坐标公式得到向量的数量积，从而得出答案.【详解】以直角的直角边分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示：，，，外接圆的方程为，设，，则，，，，当且仅当时取等号．所以的最大值是45．故答案为:45．27．已知，，是空间单位向量，，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．【来源】浙江省路桥中学高三下学期数学综合练习试题（五）,【答案】【分析】由，及模长公式，求得，从而求得，将问题化为求得结果.【详解】由题知，则则，当且仅当时，等号成立.故答案为：28．在△ABC中，，△ABC的面积为，D为线段BC上一点，且CD=2BD，点E在线段AD的延长线上，满足，则的最小值为___________.【来源】全国新高考高三数学方向卷试题（B）【答案】【分析】首先根据已知条件求出，然后将转化为，再结合均值不等式即可求解.【详解】因为D在线段BC上，CD=2BD，所以，设，则，,所以又即.即，当且仅当，即时取等.故答案为：.29．在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设，，若，，，则xy的最小值为_________．【来源】浙江省温州市瑞安中学高三下学期5月考前适应性考试数学试题【答案】【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用，，得到与的关系，再结合二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示：设，，，两式相加得：①．，，，把①平方可得，．又，②．又,，③．根据②③可得，，即，即，即，所以，所以，时，故答案为：．【点睛】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题．30．已知向量垂直，且，若，则的最小值为_________．【来源】浙江省温州中学高三下学期四模数学试题【答案】15【分析】作正方形，取上一点，设，取上一点，满足，则可得，即求长度.【详解】如图，作正方形，取上一点，设，，则，取上一点，满足，则，,则，易得.故答案为：15.【点睛】关键点睛：本题考查利用几何图形解决向量问题，解题的关键是画出图形，将所求转化为.