微专题02 数列求和的方法（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册《第四章数列》微专题02数列求和的方法 数列求和的常见方法1.公式法（已知等差或等比数列或特殊数列）2.裂项相消法3.错位相减法4.分组求和法5.并项求和法6.倒序相加法 1.公式法使用时注意项数需用数学归纳法证明知a1,d,n知a1,an,n知a1,q,n知a1,an,q 例1.1设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a1a5＝16，则S6的值为_______.1.公式法——全优4.3.2∵{an}为正项递增等比数列，∴q=2；(其余同上) 1.公式法——{an}是等差数列，求数列{|an|}的前n项和 2.裂项相消法常见裂项公式： 2.裂项相消法常见裂项公式： 2.裂项相消法①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)；②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 2.裂项相消法放缩法①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)；②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 2.裂项相消法(法1)(法2) 2.裂项相消法 2.裂项相消法[练习2.2]已知数列是公比为4的等比数列，且满足a2,a4,a7成等比数列，求数列的前n项和Tn. 3.错位相减法齐次式错位相消 3.错位相减法齐次式错位相减得等比数列求和 3.错位相减法③等比数列求和(注意项数)①写Sn与qSn②齐次式错位相减④同除以1－q写出Sn 3.错位相减法【方法归纳】(1)主要适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，如：{n·3n}、{(2n＋1)·4n}、{}(2)步骤：①写出“Sn”与“qSn”的表达式;②两式相减，左边为(1－q)Sn，右边q的同次式错位相减；③转化为等比数列前n项和公式求和，注意项数；④同除以1－q写出Sn.(3)易错点：①注意错位相减后所剩的项；②注意等比数列求和的项数是n或n-1等；③若等比数列的公比为参数，应分q=1和q≠1两种情况. 3.错位相减法 [2021年新高考全国Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_____；如果对折n次，那么_______________．析：对折3次共可得dm×12dm，5dm×6dm，10dm×3dm，20dm×dm四种规格的图形对折4次共可得dm×12dm，dm×6dm，5dm×3dm，10dm×dm，20dm×dm五种规格的图形5对折n次共可得n+1种规格的图形 3.错位相减法课后作业1.数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求数列{cn}的前n项和．2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 1.解：(1)由bn＋1＝3bn得{bn}是以3为公比的等比数列，b1＝1，∴bn＝b1qn－1＝3n－1，所以an＋1－an＝bn＋1＝3n，即an－an－1＝3n－1(n≥2)， 2.解：(1)∵Sn＝2an－n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn＝2an－n①，Sn－1＝2an－1－n＋1②，(2)bn＝(2n＋1)·2n，Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，∴两式相减得－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1. 3.解：(1)∵数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝3a1+6d=6＋6d＝18，解得d＝2，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.3.已知数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn. 4.分组求和法①适用于求数列{an±bn}的前n项和,其中{an},{bn}为等差数列或等比数列或或其他已知求和方法的特殊数列. 4.分组求和法 公式法 裂项相消法 4.分组求和法②奇、偶数项分别成等差或等比等可求和的数列，则Sn=S奇+S偶 4.分组求和法②奇、偶数项分别成等差或等比等可求和的数列，则Sn=S奇+S偶 4.分组求和法 课本P41-7 课本P41-11 课本P39-例12.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，….（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1一k=r(cn一k)的形式，其中k，r为常数；（3）求S10=c1＋c2＋c3＋…＋c10的值（精确到1）. 5.并项求和法也可用分组求和法：分奇、偶数项分别求和通项含(－1)n的摆动数列适用并项求和，注意是否需讨论项数n的奇偶性. 5.并项求和法2020 并项求和法[练习5.2]析：S11＝a1＋(a2＋a3)＋...＋(a10＋a11)＝2＋(7＋11＋...＋23)＝77 5.并项求和法(并项求和)(倒序相加)数列第k项和倒数第k项之和为定值或呈规律性 6.倒序相加法2020数列第k项和倒数第k项之和为定值或呈规律性 6.倒序相加法2 6.倒序相加法 解析由题a1·a2021＝1,且令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2021)，则2T＝[f(a1)＋f(a2021)]＋…＋[f(a2021)＋f(a1)]＝2×2021，∴T＝2021.6.倒序相加法 方法总结非等差、等比数列的一般数列求和的思想和方法：(1)转化思想:将一般数列通过各项的分组或并项或求和后的错位相消转化为等差或等比数列求和；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和1.公式法（已知等差或等比数列或特殊数列）2.裂项相消法：通项为分式型3.错位相减法：{an·bn}4.分组求和法：分等差/等比{an±bn}、分奇/偶项5.并项求和法：摆动数列，即通项含(-1)n6.倒序相加法：与首末项等距的两项和为定值等 1.公式法(2)四类特殊数列的前n项和(1)等差、等比数列的前n项和公式；求数列前n项和的方法3.错位相减法2.裂项相消法(1)形如cn＝an·bn,一个是等差数列,一个是等比数列;(2)步骤：乘公比，错位减(1)通项公式为分式，可用待定系数法对通项公式拆项；(2)记住常见的拆项公式 (2)数列{an}与首末两端等“距离”的两项和相等,则用倒序相加法求和.4.倒序相加法(1)适用于通项中含有(－1)n的数列[摆动数列];7.并项求和法(2)也可分奇数项和偶数项求和求数列前n项和的方法(1)将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)；5.分组求和法(2)数列{an}与{bn}是已知求和方法的数列；(1)一般情况下形如cn＝an±bn； END