4.1 数列的概念（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1数列的概念选修第二册《第四章数列》 ①王芳从1岁到17岁每年生日时测的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168思考1：每一列数中，各个数之间能否交换位置？记王芳第i岁时的身高为ai，则a175，a287，a396，…，a17168.②在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240记第i天月亮可见部分的数为ai，则a1＝5，a2＝10，a3＝20，…，a15＝240.③的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，…… 1.数列的概念(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。(2)数列{an}的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…①数列第一个位置的数叫做首项，记为a1②an表示数列{an}的第n项③数列可用{an}、{bn}、{cn}等表示如：记王芳第i岁时的身高为ai，则a175，a287，a396，…，a17168. 2.数列与函数的关系思考2：数列{an}中的每一项an与各项序号n(n＝1，2，3，…)之间有怎样的对应关系？序号项正整数集实数集(或它的有限子集{1,2,…,n})记王芳第i岁时的身高为ai，则a175，a287，a396，…，a17168.(3)数列{an}是从正整数集N*(或其有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数。自变量是序号n，对于的函数值是数列的第n项an，记作an=f(n). 3.数列的分类(4)按项的个数分类(5)按项的变化趋势(数列的单调性)分类有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项常数列：各项都相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如：2，4，6，8，10，…如：2，3，2，5，2，7，…如：1，，，，，…如：1，1，1，1，…对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0)对任意n∈N*，总有an+1<an(或an+1-an<0) 运用：数列的单调性 练习：数列的单调性 4.数列的表示75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168列举：表格：图象：通项公式：数列{an}的第n项an与它的序号n之间的关系式叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式.以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，数列的图象是由一些孤立的点构成的. 由数列的通项公式，写出数列的各项.由数列的前若干项的值，写出数列的一个通项公式.由图形的数量特征，写出数列的一个通项公式.由数列的递推公式，写出数列的各项，猜想数列的通项公式由数列的前n项和公式，求数列的通项公式.要点速览 运用1：由数列的通项公式，写出数列的各项[例1]根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.n123451361015n1234510-101 运用2：由数列的前若干项，写出数列的一个通项公式[例2]根据下列数列的前4项或前5项，写出数列的一个通项公式.常用(-1)n或(-1)n+1来表示各项正负相间的变化规律一些数列的通项公式不是唯一的.不是每一个数列都能写出它的通项公式.如：1，24，8，3，19 运用3：由图形的数量特征，写出数列的一个通项公式[例4]图中的谢尔宾斯基三角形中，着色的三角形个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.着色三角形个数13927×3×3×3(n≥2)数列的递推公式： 5.数列的递推公式形如an=3an－1这样，相邻两项或多项之间的关系式叫做这个数列的通项公式。递推公式通项公式项与序号之间的关系：相邻几项之间的关系：（n≥2）知道首项(或前几项)和递推公式，就能求出数列的每一项. 运用3：由图形的数量特征，写出数列的一个通项公式P8-1.写出各组图的点数构成的数列的一个通项公式，在括号中填第5项的点数.211335 运用4：由数列的递推公式，写出前几项P8-2.根据下列条件,写出数列{an}的前5项，并猜想它的通项公式 运用4：由数列的递推公式，写出前几项[练习]已知数列{an}满足a1=2，an+1=1－，则a102=______，a1+a2+…+a2023=______. 6.数列的前n项和数列{an}从第1项a1到第n项an的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+...+an数列{an}的前n项和Sn与序号n之间的关系式叫做数列的前n项和公式.Sn=a1+a2+...+an－1+anSn－1=a1+a2+...+an－1(n≥2)an=Sn－Sn－1(n≥2) 运用4：由数列的前n项和，求数列的通项公式P7-思考:已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n,求数列{an}的通项公式.[练习1]已知数列{an}的前n项和公式为Sn=﹣2n2+1,求数列{an}的通项公式. 运用4：由数列的前n项和，求数列的通项公式 [拓展]斐波那契数列课本P9-4.已知数列{an}满足a1=1，a2=2，以后各项由an=an－1+an－2(n≥3)给出，则数列的前9项分别是________________________________.1,2,3,5,8,13,21,34,55斐波那契数列(又称黄金分割数列)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，……①an=an－1+an－2(n≥3)：从第3项开始，每一项都等于前两项之和； 向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针的螺旋线：21条；逆时针的螺旋线：34条。斐波那契数与向日葵 斐波那契数与松果松果上的螺旋线条，顺时针的螺旋线：8条；逆时针的螺旋线：13条。斐波那契数与海螺斐波那契螺旋线 绘制斐波那契螺旋线，验证课本P11的结论{an}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…+…+随着边长的增加，螺旋线的形状越来越接近“黄金比例螺旋”.前n个小正方形的面积和为相邻两个斐波那契数an与an+1之积(n≥2) 斐波那契在《算盘书》中的兔子繁殖问题(兔子数单位：对)如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子? END