8.6.2 直线与平面垂直（课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.6.2直线与平面垂直 旗杆与地面垂直问题：阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα旗杆所在直线始终与影子所在的直线垂直.ab 1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.1.直线与平面垂直的定义Pα②“若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面.”(×)③“直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线.”(×)(线面垂直→线线垂直)画法：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2.直线与平面垂直的判定①一条直线和平面内的一条直线垂直，能确保线面垂直吗？②一条直线和平面内的两条直线垂直，能确保线面垂直吗？1)一条直线和平面内两条平行直线垂直，能确保线面垂直吗？2)一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？ 2.直线与平面垂直的判定问题4如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后竖放在桌面上（BD，DC与桌面接触）．(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面a垂直．ABDCCCC当折痕AD⊥BC且翻折后BD与CD不在一条直线上时，折痕AD与桌面所在的平面垂直.CABDC 2.直线与平面垂直的判定定理3.线面垂直的判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面.①符号语言：②本质：线线垂直→线面垂直③关键：证两次线线垂直mnP④推论：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.即：mn 2.直线与平面垂直的判定定理P152-2.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB.[练习1]三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.ABCV·D取AC的中点D连接VD,BD. P152-3.如图,直四棱柱ABCD-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件__________时，BD⊥AC.ABCDABCD2.直线与平面垂直的判定定理BA=BC且DA=DCAC⊥BDP152-4.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,则O是△ABC的心.(2)若PA=PB=PC,∠C=90,则O是AB的点.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的心.ABCPOa∵PO⊥α，∴∠POA=∠POB=∠POC=90,又PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心.外中(3)PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC.由PO⊥α得PO⊥BC,得BC⊥平面POA,∴BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂 3.直线与平面所成角(线面角)一条直线l与一个平面α相交，但与这个平面不垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线PA在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角.斜线斜足垂足射影 3.直线与平面所成角(线面角)3.线面所成角：直线和它在面内的射影所成角.如：∠PAO是直线PA与平面α所成角.(1)射影：斜足(已知)与垂足(找)所在直线；斜线斜足垂足射影过线上一点作面的垂线(2)斜线与平面所成角的范围：直线与平面所成角的范围：(3)求线面角的方法：①作垂线(过斜线上一点作平面的垂线——证线面垂直)②连射影(连接斜足和垂足)③定夹角(斜线和射影所夹角)④求夹角(构造△求角) 3.直线与平面所成角(线面角)[P152-例4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1DCB1所成的角. 3.直线与平面所成角(线面角)[练习1]长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为_______. 3.直线与平面所成角(线面角)[练习2]正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值.(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.(3)E是CC1的中点，求直线AE与平面ADD1A1所成角的正弦值.(1)(2)(3) 4.直线与平面垂直的性质1.若l⊥α，则l与面α内的所有直线都垂直.(若l⊥α，m⊂α，则l⊥m)2两条平行直线垂直于同一个平面.(若a//b，a⊥α，则b⊥α)3.若a⊥α，则平面外与a垂直的直线b//α.(若a⊥α，a⊥b，b⊂α，则b//α)4.垂直于同一条直线的两个平面平行.5.线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.(若a⊥α，b⊥α，则a//b)(线线平行→线面垂直)(线面垂直→线线平行)(线面垂直→线线垂直)/(线面垂直→线面平行)(线面垂直→面面平行) 4.直线与平面垂直的性质定理[练习3]正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN//AD1.垂直于同一条直线的两条直线平行？MN⊥平面A1DC性质定理MN//AD1[练习4]四棱锥体S-ABCD的底面是矩形，SA⊥面ABCD，E,F是SD,SC的中点，求证：EF⊥SD. 5.点/直线/平面与平面的距离1.点到平面的距离：如图，过P点向平面α作垂线，垂足为A，线段PA的长称为点P到平面α的距离。2.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.alAB3.平面到平面的距离：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离叫做这两个平行平面间的距离. 2.直线与平面垂直的判定定理[练习5]三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)PC⊥平面AEF. END