8.6.1 直线与直线垂直（课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.6空间直线、平面的垂直线线垂直线面垂直面面垂直 8.6.1直线与直线垂直 相交直线平行直线异面直线空间中两条直线的位置关系异面直线的定义：既不平行，也不相交，不同在任何一个平面内的两条直线.直线A1D1与直线A1C1相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？平面内两条相交直线所成角：两条直线相交成四个角中，其中不大于90°的角称为它们的夹角(刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度)O用“异面直线所成角”来定义两条异面直线的位置关系异面共面 异面直线所成角的定义(1)定义：直线a、b为异面直线，过空间任一点O分别作a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线a与b所成的角.①异面直线所成角的取值范围：⑤若平移至相交后的角的计算结果为钝角，则异面直线所成角应取其补角。异面直线相交直线平移③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小.通常把点O取在直线a或b上②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。④格式：∵__//__,∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角).异面直线a与b所成的角：平移至相交所成的锐角(或直角) 求异面直线所成角——构造特殊三角形[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求直线A1B与C1C所成的角大小;(2)求直线A1B与AC所成的角大小;(3)求直线A1B与DC1所成的角大小;法一：直接平移法 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角;求异面直线所成角——构造特殊三角形法二：中位线平移法(5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小; 求异面直线所成角——构造特殊三角形[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求直线A1B与C1C所成的角大小;(2)求直线A1B与AC所成的角大小;(3)求直线A1B与DC1所成的角大小;法一：直接平移法 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角;求异面直线所成角——构造特殊三角形法二：中位线平移法(5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小; [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(6)若M分别是AB的中点，求直线CM与DB1所成角的余弦值.求异面直线所成角——正/余弦定理法三：补形平移法 求异面直线所成角的巩固[练习1]如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，求直线A1C1与D1B所成角的余弦值.法一(直接&中位线平移法)法二(补形平移法) [例2.1]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O，求证：AO⊥BD.证线线垂直的方法思路1：求△AOB1三边长，由勾股定理逆定理得∠AOB1=90°思路2：构造等边△AD1B1，O为D1B1的中点，得∠AOB1=90°证线线垂直的方法：①勾股定理逆定理（求三边)②等腰(边)三角形的中线也是高，垂直于底边；③异面直线所成的角为90°． [例2.2]如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.证明：取CC′的中点F，连EF，BF，∵E,F分别为AC,CC′的中点，∴△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴∠BEF=90°∴异面直线BE和AC′所成角是90°，即BE⊥AC′目的：求证异面直线BE和AC′所成角为90°∴EF∥AC′，∴∠BEF为异面直线BE和AC′所成角，证线线垂直的方法 作业答案[练习2]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M,N分别是BB1,CC1的中点，求直线AM与BN所成角的余弦值. 求异面直线所成角——构造特殊三角形(2)[变式1](3)[变式2]AC与BD75°或15°60°60°190° 求异面直线所成角的方法：平移至相交所成的角或其补角平移方法：①直接平移法；②中位线平移法；③补形平移法求相交角的方法：①观察得特殊△；②求三边定形状or余弦定理体对角线的平移：①构造其中位线；②补体[例]正方体中,求证:AO⊥BD.证线线垂直的方法：①求证异面直线所成角为90°；②求三边&勾股定理逆定理；③等腰(等边△)的中线也为垂线，垂直于底边.长方体中,AB=AA1=2,AD=1,求直线A1C1与D1B所成角的余弦值. END