8.6.3 平面与平面垂直（课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.6.3平面与平面垂直 1.二面角的定义(1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.ablABPQ记作二面角a-l-b二面角a-AB-b二面角P-l-Q二面角P-AB-Q二面角C-AB-D 1.二面角的平面角的定义(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的范围：0≤θ≤π棱l上取一点O,在半平面a内作OA⊥l,在半平面b内作OB⊥l,则∠AOB是二面角a-l-b的平面角.ABOablABO·ablABO· 1.二面角及其平面角(1)二面角：两个半平面及其棱所成角.ablABPQ二面角a-l-b二面角a-AB-b二面角P-l-Q二面角C-AB-D①记法：②范围：[0o,180o]③求法：棱l上取一点O，在a内作OA⊥l，在b内作OB⊥l，则∠AOB是二面角a-l-b的平面角. 1.求二面角的平面角[例]正方体ABCD-A1B1C1D1中，面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为_______.[变式](1)正方体中，二面角A-C1C-B的大小为_______.(2)正方体中，二面角A-B’C-B的正弦值为_______.(3)正四面体中，二面角A-BD-C的余弦值为_______.45° 2.面面垂直的定义(2)面面垂直的定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.记作:a⊥b(平面角是直角的二面角叫做直二面角)画两个平面垂直,一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.注：(异面)直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则直线a,b所成角与这个二面角的平面角相等或互补. 3.面面垂直的判定定理(3)面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号：abl[练习1]正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1DB⊥平面A1ACC1.[练习2]AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 性质定理定义判定定理判定定理性质定理 4.面面垂直的性质定理(4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.若α⊥β，α∩β=m，则β内任意一条直线l与m有什么关系？相应的l与面α有什么位置关系？①l//m时，l//α;②l⊥m时，l⊥α.αβmlαβml①符号：②若α⊥β，直线l⊥β，lα，则l//α.mablb③若α⊥β，直线l//β，则l与α的位置关系为_________________.mab平行or相交or垂直 4.面面垂直的性质定理[练习1]三棱台ABC－DEF中，面BCFE⊥面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.证明：∵∠ACB＝90°，AC⊥BC；又∵面BCFE⊥面ABC，面BCFE∩面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCK.∵BF⊂面BCFE，∴AC⊥BF.三棱台中，延长AD，BE，CF相交于一点P，∵EF∥BC，EF＝1，BC＝2，∴E,F分别是PB,PC的中点，∴PB＝PC＝PC＝2，∴△PBC为等边三角形，且F为CP的中点，∴BF⊥CF.P∵CP∩AC=C，CK,AC⊂平面ACFD，∴BF⊥平面ACFD. 4.面面垂直的性质定理[练习2]三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是______三角形.O证明：取AB的中点O，连接PO.∵PA＝PB，∴PO⊥AB.∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB，∴PO⊥面ABC.∵OC⊂面ABC，∴PO⊥OC.∵PO为公共边，PA＝PB＝PC，∴Rt△POC≌Rt△POA≌Rt△POB(HL)，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形.直角 4.面面垂直的性质定理[P160-例10]如图，已知PA⊥面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥面PAB.EPABCE证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，又∵面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB，AE⊂面PAB，∴AE⊥面PBC.∵BC⊂面PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC,∴PA⊥BC.又∵PA∩AE=A，∴BC⊥面PAB. 4.面面垂直的性质定理[P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点.(1)求证：AM⊥面PCD.证明：等边△PAD中，∵M为PD的中点，∴AM⊥PD.正方形ABCD中，CD⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵AM⊂面PCD，∴CD⊥AM.∵CD∩PD=D，CD,PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PAD. 4.面面垂直的性质定理[P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点.(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.证明：取AD,BC的中点E,F，连接PE,PF,EF.则EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF⊥BC；∵PE∩EF=E，PE,EF⊂平面PEF，∴BC⊥平面PEF.∵PF⊂面PEF，∴BC⊥PF.又∵EF⊥BC，∴∠PFE是面PBC与面ABCD所成二面角的平面角.等边△PAD中，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴PE⊥面ABCD.∵BC⊂面ABCD，∴PE⊥BC. 8.6习题课 经典模型多角度探析[例]已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(1)确定该四棱锥4个侧面的形状；(2)求二面角B-PC-D的大小。(3)证明：平面PAC⊥平面PBD.(4)E为PB的中点，F为线段BC的上的动点.求证：面PBC⊥面AEF.(5)若平面ADE交PC于点G，求证：EG//AD.(6)若PA=AB=2，异面直线PA和EF所成角为60°，求此时BF的长度.(7)设PA=AB=4，求点B到面PDC的距离.[2021-全国乙卷]四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD.(2)若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积. 经典模型多角度探析[例]已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(1)该四棱锥4个侧面的形状；(2)求二面角B-PC-D的大小。均为直角△(1)PA⊥平面ABCD 经典模型多角度探析[例]已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(1)该四棱锥4个侧面的形状是____________.(2)求二面角B-PC-D的大小是_________.直角三角形证△PBC≌△PDC(SSS/HL)得∠PCB=∠PCD得△BCE≌△DCE(SAS)得∠BEC=∠DEC=90°，即DE⊥PC，∴∠BED是二面角B-PC-D的平面角aaa120°作BE⊥PC，连接DE.且BE=DE 经典模型多角度探析[例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(1)该四棱锥的4个侧面的形状是____________.(2)求二面角B-PC-D的大小是_________.(3)证明：平面PAC⊥平面PBD.直角三角形120° [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(4)E为PB的中点，F为线段BC的上的动点.求证：面PBC⊥面AEF.经典模型多角度探析(5)若平面ADE交PC于点G，求证：EG//AD. [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(6)若PA=AB=2，异面直线PA和EF所成角为60°，求此时BF的长度.经典模型多角度探析 [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(7)设PA=AB=4，求点B到面PDC的距离.经典模型多角度探析 [2021-全国乙卷]四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD.(2)若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积.经典模型多角度探析 [多选]如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论中不正确的是()A.BD⊥PCB.三棱锥P-ABC的四个面中有3个直角三角形C.PD与平面PAC所成的角等于PB与平面PAC所成的角D.AB与PC所成的角等于CD与PB所成的角经典模型多角度探析BD END