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35平面与平面垂直的判定课时检测(附解析新人教A版必修第二册)
35平面与平面垂直的判定课时检测(附解析新人教A版必修第二册)
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平面与平面垂直的判定[A级 基础巩固]1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A.0个 B.1个C.无数个D.1个或无数个解析:选D 当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.故选D.2.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β解析:选D 由a∥α,知α内必有直线l与a平行.又a⊥β,∴l⊥β,∴α⊥β.3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A.相等B.互补C.互余D.相等或互补解析:选D 如图,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,则∠BDC为二面角αlβ的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.此时两角互补;当∠BDC=90°时,此时∠A=∠BDC,两角相等.故选D.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值等于( )A.B.C.D.解析:选C 如图所示,连接AC交BD于O,连接A1O,∠A1OA为二面角A1BDA的平面角.设A1A=a,则AO=a,所以tan∠A1OA==.5.(多选)如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是( )A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD解析:选ABD 由面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,5 平面PCD⊥平面PAD,故A、B、D正确.6.若P是△ABC所在平面外一点,而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角PBCA的大小为________.解析:取BC的中点O,连接OA,OP(图略),则∠POA为二面角PBCA的平面角,OP=OA=,PA=,所以△POA为直角三角形,∠POA=90°.答案:90°7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=________.解析:由题意知,BD⊥AD,CD⊥AD,所以∠BDC为二面角BADC的平面角,由于平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,连接BC(图略),则BC===1.答案:18.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1BDC的大小为________.解析:如图,取BD中点O,连接OC,OC1,∵AB=AD=2,∴CO⊥BD,CO=.∵CD=BC,∴C1D=C1B,∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1BDC的平面角.tan∠C1OC===.∴∠C1OC=30°,即二面角C1BDC的大小为30°.答案:30°9.如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.5 (1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.证明:(1)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(2)法一:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.法二:因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.10.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,A1B1,B1M⊂平面A1B1M,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.[B级 综合运用]11.(多选)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使点A到达A′的位置,此时A′C=,则( )A.平面A′BD⊥平面BDCB.平面A′BD⊥平面A′BCC.平面A′DC⊥平面BDCD.平面A′DC⊥平面A′BC解析:选AD 在三棱锥A′BDC中,A′D=A′B=1,故BD=,DC=,又A′C=,故A′C2=A′D2+DC2,则CD⊥A′D,又CD⊥BD,A′D∩BD=D,所以CD⊥平面A′BD,故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D,A′D∩CD=D,所以A′B⊥平面A′DC,故平面A′DC⊥平面A′BC.故选A、D.5 12.三棱锥VABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2,VC=1,则二面角VABC的大小为________.解析:如图,取AB中点O,连接VO,CO.∵在三棱锥VABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2,VC=1,∴VO⊥AB,CO⊥AB,∴∠VOC是二面角VABC的平面角.∵VO===1,CO===1,∴VO=CO=VC=1,△VOC为等边三角形.∴∠VOC=60°,∴二面角VABC等于60°.答案:60°13.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________(答案不唯一,写出一个即可).解析:若①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β成立,则m与α可能平行也可能相交,也可能m⊂α,即④m⊥α不一定成立;若①m⊥n,②α⊥β,④m⊥α成立,则n与β可能平行也可能相交,也可能n⊂β,即③n⊥β不一定成立;若①m⊥n,③n⊥β,④m⊥α成立,则②α⊥β一定成立;若②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α成立,则①m⊥n一定成立.∴①③④⇒②(或②③④⇒①).答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)14.如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.因为DF=5,所以DF2=DE2+EF2,5 所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.[C级 拓展探究]15.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,侧面△PAD为等边三角形.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC边上的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.解:(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG,如图.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又因为BG∩PG=G,BG,PG⊂平面PGB,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.如图,设F为PC的中点,连接DF,EF,DE,则在△PBC中,EF∥PB.在菱形ABCD中,GB∥DE,而EF,DE⊂平面DEF,PB,GB⊂平面PBG,EF∩DE=E,PB∩BG=B,所以平面DEF∥平面PGB.由(1),得AD⊥平面PGB,而AD⊂平面ABCD,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.5
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