4.2.1 等差数列的概念（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册《第四章数列》4.2.1等差数列的概念 等差数列的判定方法等差数列的定义等差数列的性质等差数列的通项公式等差中项的定义与性质要点速览 【情景1】北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为：9，18，27，36，45，54，63，72，81 【情景2】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 【情景3】测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为：25.0,24.4,23.8,23.2,22.6 【情景4】某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，若个人贷款月利率为r，则按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=)万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为：等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。好处：总利息较少(在贷款期限、金额和利率相同的情况下，等额本金还款方式所需利息较少),并且贷款年限越长，优势越明显。缺点：前期还款压力较大，每月还款额不同，不便于规划收支。比较适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力的人群。ar,ar－br,ar－2br,ar－3br,...ar,(a－b)r,(a－2b)r,(a－3b)r,...利息=（贷款总额-已归还本金累计额）×月利率 思考：以下4组数列有什么共同的取值规律？【情景1】9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】25.0，24.4，23.8，23.2，22.6【情景4】ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列.①这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.d=a2－a1=a3－a2=…=an－an-1(n≥2)新知1.等差数列和公差的定义公差d=9公差d=2公差d=﹣0.6公差d=﹣br②等差数列的递推公式：an－an－1=d(n≥2) 推导：等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得:a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－an－1＝d，由此可归纳得，等差数列的通项公式为:an＝____________.a1＋(n－1)d即a2＝a1＋d；即a3＝a2＋d＝a1＋2d；即a4＝a3＋d＝a1＋3d；即an＝a1＋(n－1)d；将各式累加得，等差数列的通项公式为:an＝a1＋(n－1)d.不完全归纳法累加法 新知2.等差数列的通项公式①4个量an、a1、n、d，可“知三求一”．②d≠0时，an=dn+(a1－d)可看成an关于n的一次函数(形式:an=kn+b)．d>0时，{an}是递增数列；d<0时，{an}是递减数列；d=0时，{an}是常数列.点(n,an)分布在直线f(x)=dx+(a1－d)上．等差数列的通项公式：an=a1+(n－1)d 巩固运用：等差数列的概念和通项公式an=dn+(a1－d)：n的系数即为公差d3-2 巩固运用：等差数列的概念和通项公式 新知2：等差数列的通项公式等差数列的通项公式：an=a1+(n－1)d推论：an=am+(n－m)d,n≠m【求公差的方法】(两项差除以下标差) 巩固运用：求等差数列的通项公式设基本量法(方程组法) 巩固运用：求等差数列的通项公式构造等差数列法 新知3：等差中项的定义和性质等差数列a,A,b中，a与b的等差中项是A=. 巩固运用：等差中项的定义和性质 巩固运用：等差中项的定义和性质 新知4：等差数列的判定方法①定义法：③通项法：②等差中项法：用于证明 巩固运用：等差数列的判定方法是否否 巩固运用：等差数列的判定方法 巩固运用：等差数列的判定方法 新知5：等差数列的性质 巩固运用：等差数列的性质356 探究与猜想：等差数列的性质探究：对于等差数列:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,…说出a4是哪两项的等差中项？观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.证明：证明上述猜想。 新知5：等差数列的性质如：a2+a8＝2a5如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7误区1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22(×)反例:常数列误区2：若{an}为等差数列,am+an＝ap+aq,则m+n＝p+q(×)与首末项“等距”的两项之和等于首末项的和 巩固运用：等差数列的性质-10 巩固运用：等差数列的性质 课堂小结1.等差数列的定义：an－an－1=d(n≥2)2.等差数列的通项公式：①an=a1+(n－1)d(n∈N+)注：an=dn+a1－d，即an是关于n的一次函数(形如an=kn+b)d>0时，{an}是递增数列；d<0时，{an}是递减数列；d=0时，{an}是常数列.②an=am+(n－m)d(n≠m)3.求公差的方法：①d=an－an－1(n≥2)②d=(n≠m) 课堂小结4.等差数列的判定：①定义法：③通项法：②等差中项法：用于证明5.等差数列的性质： 综合运用与巩固[P16-例3]某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备使用年限为10年，超过10年它的价值将低于进价的5%，设备将报废，请确定d的范围。解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，依题意得an－an－1=﹣d(n≥2)，即{an}是公差为﹣d的等差数列.a1=220－d，∴an=220－d+(n－1)(﹣d)=220－nd.[引例]首项为-21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，求公差d的取值范围. [P16-例4]已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由.综合运用与巩固 综合运用与巩固公差为2m[变式]已知三个数成等差数列，其公差为d>0，三项之和为15，首末两项之积为9，求这三个数.【答案】1,5,9. 综合运用与巩固 综合运用与巩固 综合运用与巩固 综合运用与巩固 巩固运用：等差数列的性质D20 巩固运用：等差数列的性质 END