4.3.1 等比数列的概念（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册第四章《数列》4.3.1等比数列的概念 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 实例1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:①②③实例2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：④ 实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64，…⑤细菌个数第一次第二次第三次24第n次……分裂次数8实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5⑥复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？①②③④2，4，8，16，32，64，…⑤a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5⑥取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 新知1.等比数列的概念若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做公比，记为q(q≠0).注：①等比数列的每一项和公比都不为0.如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列；0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列；非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1. 巩固：等比数列的概念1.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差.(5)0,1,2,4,8,…(6)2,0,2,0,2,…(7)1,a,a2,a4,a8,…a≠0时，是等比数列，公比为aa=0时，不是等比数列所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号 等比数列的通项公式的推导类比不完全归纳法得an=a1+(n-1)d不完全归纳法得an=a1qn-1 等比数列的通项公式的推导类比累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2 新知2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式： 巩固：等比数列的通项公式 新知3.等比中项的定义注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项an+1的等比中项. 巩固：等比中项的定义4±24±4(同课本P29-例1) 巩固：等比中项的定义 巩固：等比中项的定义课本P31-3.在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q. 对比小结等差数列等比数列通项公式推导方法累加法累乘法不完全归纳法定义式公差公比公差d可正、可负、可为零公差d可正、可负、不可为零通项公式等差/比中项 特殊设项求解等比数列 特殊设项求解等比数列课本P30-例3.数列{an}共5项,前3项成等比数列,后3项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132,求这个数列. 特殊设项求解等比数列5.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 小结1：特殊设项求解等比数列(对称设项)1.与等差数列有关的数的设项技巧：(1)如果是三个数成等差数列，可设为a－d,a,a+d或a,a+d,a+2d(2)如果是四个数成等差数列，可设为a－2d,a－d,a+d,a+2d2.与等比数列有关的数的设项技巧：(1)如果是三个数成等比数列，可设为,a,aq或a,aq,aq2(2)如果是四个数成等比数列，可设为,aq,aq3或a,aq,aq2,aq3 特殊设项求解等比数列课本P37-4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比． 等比数列的判定 小结2：等比数列的判定方法 巩固：等比数列的判定方法课本P32-例5.已知数列{an}的首项a1=3.(1)若{an}为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列;(2)若{an}为等比数列，公比q=，证明数列{log3an}为等差数列; 巩固：等比数列的判定方法 课后同步练习1 课后练习 课后练习练习2.有4个数,其中前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,并且第1个数与第4个数的和是16,第2个数与第3个数的和是12,求这4个数.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 课后练习练习2.有4个数,其中前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,并且第1个数与第4个数的和是16,第2个数与第3个数的和是12,求这4个数.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 课后练习 课后练习 等比数列的性质 新知4.等比数列的性质等差数列的性质等比数列的性质m+n=p+qm+n=2p 新知4.等比数列的性质pqp1/pp2pqp/q性质3.等比数列{an}中，下标成等差数列的项仍成等比数列推论1：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…等式左右两边的项数相同|p| 巩固：等比数列的性质解：(法1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36，即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36，∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 巩固：等比数列的性质 巩固：等比数列的性质 巩固：等比数列的性质9.已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1,a11,a13成等比数列，则a1＋a4＋a7＋…＋a28＝________. 巩固：等比数列的性质课本P34-1.求满足下列条件的数：(1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；(2)在160与﹣5中间插入4个数，使这6个数成等比数列. 综合练习(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的个数；若不存在,请说明理由． 综合练习(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的个数；若不存在,请说明理由．若存在m，使b1,b4,bt成等差数列，则2b4=b1+bt， 课后同步练习2 课后练习 课后练习∵数列{an}是递增数列， 课后练习 课后练习A 等比数列应用题 等比数列的实际运用课本P31-例4.用10000元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？ 等比数列的实际运用课本P33-例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 等比数列的实际运用课本P33-例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？1月2月3月0.91050产量合格率1050·1.051050·1.0524月1050·1.0530.9+0.4%0.9+0.4%×20.9+0.4%×3n月0.9+0.4%(n－1)1050·1.05n－1anbnanbn 等比数列的实际运用课本P33-例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}.由题意知，an=1050×1.05n－1，其中n=1,2,…,24，bn=1－[90%＋0.4%(n－1)]=0.104－0.004n，其中n=1,2,…,24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n－1×(0.104－0.004n)=1.05n×(104－4n),由计算工具（精确到0.1），并列表，n1234567anbn105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314anbn106.4105.5104.2102.6100.698.195.0可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100 等比数列的实际运用解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}.由题意知，an=1050×1.05n－1，其中n=1,2,…,24，bn=1－[90%＋0.4%(n－1)]=0.104－0.004n，其中n=1,2,…,24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n－1×(0.104－0.004n)=1.05n×(104－4n),列表可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100故生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内. 小结：证明数列单调性的方法 小结：证明数列单调性的方法 END