6.4.3 余弦定理、正弦定理（分层练习）（解析版）

第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理精选练习基础篇1．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若2sinB=bsinA，则a=（    ）A．22B．2C．1D．22【答案】B【分析】根据正弦定理角化边，即可求得答案.【详解】在△ABC中，由正弦定理得sinA=a2R,sinB=b2R，R为△ABC外接圆半径，故由2sinB=bsinA,得2b=ba,∴a=2，故选：B.2．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=（    ）A．60°B．45°C．120°D．30°【答案】C【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】根据余弦定理cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，∵A∈0,180°，∴A=120∘.故选：C3．在△ABC中，若bsinB=csinC，则△ABC的形状是________．【答案】等腰三角形【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到b=c，即可得到答案.【详解】由题知：bsinB=csinC⇒b2=c2⇒b=c，则△ABC为等腰三角形.4．在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边，b=6，c=2，B=120°，则a等于（    ）A．6B．2C．3D．2【答案】D【分析】利用余弦定理列出关系式，将b，c，cosB的值代入计算即可求出a的值.【详解】∵在△ABC中，b=6，c=2，B=120°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，即6=a2+2+2a，化简得a2+2a−4=0解得：a=2，或a=−22（舍去）。故选：D5．△ABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c，若m=(b+c,a),n=(b+c,−a)，m⋅n=3bc，则A=（    ） A．5π6B．2π3C．π3D．π6【答案】C【分析】根据向量数量积运算以及余弦定理求得正确答案.【详解】依题意，m⋅n=3bc，即(b+c,a)⋅(b+c,−a)=3bc，∴b2+2bc+c2−a2=3bc,b2+c2−a2=bc，∴cosA=12，则A为锐角，∴A=π3.故选：C6．在△ABC中，a:b:c=3:2:4，则cosC的值为（    ）A．23B．－23C．－14D．14【答案】C【分析】由题意可设a=3m,b=2m,c=4m,m>0，再根据余弦定理求解即可.【详解】解：∵a:b:c=3:2:4，∴设a=3m,b=2m,c=4m,m>0，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=(3m)2+(2m)2−(4m)22⋅(3m)⋅(2m)=−14.故选：C.7．已知∠ABC=120°，AB=2，BC=1，则AB⋅AC=（    ）A．2B．3C．5D．6【答案】C【分析】由余弦定理与数量积的定义求解即可【详解】∵∠ABC=120°，AB=2，BC=1，∴AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=4+1−2×2×1×−12=7，∴AC=7，∴cos∠BAC=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=7+4−12×7×2=527∴AB⋅AC=AB⋅ACcos∠BAC=2×7×527=5，故选：C8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinC+π3=csinA.若a=2，b=4，则c=（    ）A．2B．23C．4D．213【答案】B【分析】利用正弦定理和三角恒等变换可得C=π3，再利用余弦定理c2=a2+b2−2abcosC即可求得c的值.【详解】根据正弦定理，由asinC+π3=csinA得sinAsinC+π3=sinCsinA，又∵sinA≠0，可得sinC+π3=sinC，即12sinC+32cosC=sinC得tanC=3，C∈0,π，∴C=π3，由余弦定理可知，c2=a2+b2−2abcosC=4+16−2×2×4×12=12，得c=23.故选：B9 ．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了C､D两点，在C､D处测得旗杆的仰角分别为45∘､30∘.在水平面上测得∠BCD=120∘且C､D的距离为10米，则旗杆的高度为（    ）A．5B．55C．10D．105【答案】C【分析】设旗杆的高度为ℎ，在△BCD中，利用余弦定理求解.【详解】如图所示，设旗杆的高度为ℎ，∴BC=ℎtan45∘=ℎ,BD=ℎtan30∘=3ℎ，在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos120∘，即3ℎ2=ℎ2+102−2×ℎ×10×−12，即ℎ2−5ℎ−50=0，解得ℎ=10或ℎ=−5（舍去）.故选:A.10．若钝角△ABC中，AB=3，AC=1，B=30∘，则△ABC的面积为___________．【答案】34【分析】由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．【详解】由正弦定理ABsinC=ACsinB得sinC=3sin30°1=32，C是三角形内角，则C=60°或C=120°，若C=60°，则A=90°不合题意，舍去，故C=120°，A=30°，S△ABC=12AB⋅ACsinA=12×3×1×sin30°=34．故答案为：34．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asinB+3bcosA=0．(1)求角A的大小；(2)若b=4，△ABC的面积S=23，求△ABC的周长．【答案】(1)2π3；(2)6+27【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】（1）∵asinB+3bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA+3cosA=0，即tanA=−3，∵A∈(0,π)，∴A=2π3.（2）S=12bcsinA=3c=23，∴c=2， 由余弦定理得a=b2+c2−2bccosA=27，∴△ABC的周长为6+27．提升篇1．在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足b−a=2bsin2C2，则△ABC的形状为（    ）A．直角三角形B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得a=bcosC，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，b−a=2bsin2C2，∴b−a2b=sin2C2=1−cosC2，∴b−a=b−bcosC，得a=bcosC，∴a=b⋅a2+b2−c22ab，得a2+c2=b2，∴△ABC的形状为直角三角形，故选：A2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（    ）A．30+303mB．30+153mC．15+303mD．15+153m【答案】A【分析】利用正弦定理可得PB，进而即得.【详解】在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=45°−30°=15°，AB=60，又sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=22×32−22×12=6−24，由正弦定理得：PBsin30°=ABsin15°，∴PB=12×606−24=30(6+2)，∴树的高度为PBsin45°=30×(6+2)×22=(30+303)(m).故选：A．3．（多选）在△ABC中，若a:b:c=4:5:6，下列结论中正确的有（    ）A．sinA:sinB:sinC=4:5:6B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c=6，则△ABC外接圆的半径为877【答案】ACD【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.【详解】根据正弦定理由a:b:c=4:5:6⇒sinA:sinB:sinC=4:5:6，因此选项A正确；设a=4k,b=5k,c=6k，∴C为最大角，cosC=a2+b2−c22ab=16k2+25k2−36k22⋅4k⋅5k=18>0，∴C为锐角，因此△ABC是锐角三角形，因此选项B不正确；cosA=b2+c2−a22bc=25k2+36k2−16k22⋅5k⋅6k=34，显然A为锐角，cosC=2cos2C2−1⇒cosC2=1+cosC2=1+182=34=cosA，因此有C2=A⇒C=2A，因此选项C正确；由cosC=18⇒sinC=1−cos2C=1−164=378，△ABC外接圆的半径为：12⋅csinC=12×6378=877，因此选项D正确，故选：ACD4．（多选）下列命题中，不正确的是（    ）A．“若1a<1b，则a>b”的否命题为假命题B．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B=π3,b2=ac，则△ABC必是等边三角形【答案】C【分析】根据不等式的性质和正弦定理，余弦定理即可判断求解.【详解】对于A，原命题的否命题为“若1a≥1b，则a≤b”，由1a≥1b得，1a−1b=b−aab≥0，得b≥a>0或a≤b<0或b<0<a，∴该否命题为假命题，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，∵C=π−(A+B)<π2,∴A>π2−B,∵A,B∈0,π2,∴π2−B∈0,π2，又∵y=sinx在0,π2单调递增，∴sinA>sinπ2−B，即sinA>cosB，故B正确；对于C，在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A,B∈(0,π),∴2A=2B或2A=π−2B，得A=B或A+B=π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误; 对于D，由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得b2=a2+c2−ac，又∵b2=ac，∴a2+c2−2ac=0,(a−c)2=0，∴a=c，又∵B=π3，∴△ABC是等边三角形，故D正确，故选:C.5．（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=ccosA，内角A的平分线交BC于点D，AD=1，cosA=18，以下结论正确的是（    ）A．AC=34B．AB=8C．CDBD=18D．△ABD的面积为374【答案】ACD【分析】首先根据题意结合余弦定理可得C=π2，并根据二倍角公式得到cos∠CAD=34，依次计算AC,AB的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.【详解】在△ABC中，∵b=ccosA，则b=c×b2+c2−a22bc，整理得b2+a2=c2，∴C=π2，由二倍角公式得cos∠BAC=2cos2∠CAD−1=18，解得cos∠CAD=34，在Rt△ACD中，则AC=ADcos∠CAD=34，故选项A正确；在Rt△ABC中，则AB=ACcos∠BAC=3418=6，故选项B错误；由题意可知：∠CAD=∠BAD，即sin∠CAD=sin∠BAD，由S△ACDS△ADB=12CD⋅AC12BD⋅AC=12AC⋅AD⋅sin∠CAD12AB⋅AD⋅sin∠BAD，解得CDBD=ACAB=18，故选项C正确；在△ABD中，∵cos∠BAD=34，则sin∠BAD=1−cos2∠BAD=74，∴S△ABD=12AD⋅AB⋅sin∠BAD=12×1×6×74=374，故选项D正确.故选：ACD.6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA=ccosA+acosC.(1)求A；(2)若a=4，求△ABC面积的最大值.【答案】(1)A=π3；(2)43【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得bc≤16，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】（1）根据正弦定理及2bcosA=ccosA+acosC，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.∵sinB≠0，∴cosA=12；∵0<A<π，∴A=π3.（2）由（1）知A=π3，又a=4，由余弦定理得16=b2+c2−2bccosπ3，即b2+c2−bc=16，∵b2+c2≥2bc，∴2bc−bc≤16，即bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号. ∴S△ABC=12bcsinA=12×32bc≤34×16=43.∴S△ABC的最大值为43.7．在△ABC中，D是边AC上一点，CD=1，BD=2，AB=3，cos∠BDC=18.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积.【答案】(1)2；(2)978【分析】（1）△ABD中，根据余弦定理求AD的长；（2）△ABD中，根据余弦定理求cosA，即可求sinA，再根据三角形的面积公式求解.【详解】（1）∵cos∠BDC=18，则cos∠ADB=cosπ−∠BDC=−cos∠BDC=−18，BD=2，AB=3，△ABD中，AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB,即9=AD2+4−2×2×AD×−18，解得：AD=2或AD=−52（舍），∴AD=2；（2）cosA=AB2+AD2−BD22⋅AB⋅AD=9+4−42×3×2=34，∵0<A<π，∴sinA=1−cos2A=74，AC=AD+DC=2+1=3，∴S△ABC=12×AB×AC×sinA=12×3×3×74=978.8．在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a，b，c，且b−c=1，cosA=23，S△ABC=5.(1)求边a及sinB的值；(2)求cos2C+π6的值.【答案】(1)a=5，sinB=1；(2)3−4518【分析】（1）先由cosA求得sinA，再利用三角形面积公式可得bc=6，结合条件可得b，c的值，从而利用余弦定理求得a，利用正弦定理求得sinB；（2）由（1）可知B=π2，从而求得sinC，cosC，再结合二倍角公式与余弦的和差公式求解即可.【详解】（1）∵cosA=23，A∈0,π，∴sinA=1−cos2A=53，∵S△ABC=12bcsinA=5，∴bc=6，又b−c=1，即b=c+1，∴c+1c=6，即c2+c−6=0，解得c=2（负值舍去），则b=3，∴a2=b2+c2−2bccosA=9+4−2×3×2×23=5，则a=5，∵asinA=bsinB，即553=3sinB，∴sinB=1.（2）在△ABC中，0<B<π2，由（1）可得B=π2，则A+C=π2， ∴sinC=sinπ2−A=cosA=23，cosC=cosπ2−A=sinA=53，则sin2C=2sinCcosC=459，cos2C=cos2C−sin2C=19，∴cos2C+π6=cos2Ccosπ6−sin2Csinπ6=3−4518.9．已知函数f(x)=cosx(sinx−3cosx)(x∈R)．(1)求fx的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若fB2=−32，b=6，求△ABC的面积的最大值．【答案】(1)T=π，kπ−π12,kπ+5π12，k∈Z；(2)93【分析】(1)利用三角恒等变换求出函数的解析式，根据函数的性质求解；(2)利用边化角转化为三角函数求面积的最大值或者用余弦定理和基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）f(x)=cosxsinx−3cos2x=12sin2x−3×1+cos2x2=12sin2x−32cos2x−32=sin2x−π3−32．∴f(x)的周期T=π，由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z∴f(x)的单调递增区间是kπ−π12,kπ+5π12，k∈Z．（2）∵fB2=sinB−π3−32=−32，即sinB−π3=0，又B∈(0,π)，∴B=π3，由正弦定理有asinA=csinC=bsinB=6sinπ3=43，∴S△ABC=12acsinB=12⋅43sinA⋅43sinCsinB=123sinAsinC=123sinAsin23π−A=123sinA32cosA+12sinA=18sinAcosA+63sin2A=9sin2A+63×1−cos2A2=63sin2A−π6+33∵0<A<2π3，∴−π6<2A−π6<76π，∴S△ABCmax=93,当2A−π6=π2,即A=π3时取得最大值.另解：∵fB2=sinB−π3−32=−32，即sinB−π3=0，又B∈(0,π)，∴B=π3，由余弦定理知：b2=a2+c2−2accosB⇒36=a2+c2−2accosπ3=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，即ac≤36，当且仅当a=c=6时，等号成立．∴S△ABC=12acsinB=34ac≤93，∴当a=c=6时，S△ABCmax=93．