第二板块 课时验收评价(一)　基础性考法满分练

课时验收评价(一)　基础性考法满分练1．(2022·许昌三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＋a8＝a4＋8，则S21＝(　)A．28B．148C．168D．248解析：选C　由等差数列的性质可得a7＋a8＝a4＋8＝a4＋a11，则a11＝8，因此，S21＝＝21a11＝21×8＝168.2．已知正项等比数列{an}中，a2＝2，a5＝4a3，则a6＝(　)A．16B．32C．64D．－32解析：选B　因为正项等比数列{an}中，a2＝2，a5＝4a3，所以q2＝＝4，解得q＝2，所以a6＝a2·q4＝2×24＝32，故选B.3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝4，若a1＋2，a2＋3，a3成等差数列，则{an}的公比为(　)A．2B．3C．4D．5解析：选B　设等比数列的公比为q，由a1＋a2＝4，得a1＋a1q＝4　①，因为a1＋2，a2＋3，a3成等差数列，所以2(a2＋3)＝a1＋2＋a3，于是有2(a1q＋3)＝a1＋2＋a1q2　②.联立①②，解得q＝3或q＝0(舍去)．4．(2022·邯郸一模)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为(　)A．132B．133C．134D．135解析：选C　因为由1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为14，公差为15的等差数列{an}，所以该数列的通项公式为an＝14＋15(n－1)＝15n－1.令an＝15n－1≤2022，n∈N*，解得n≤134，n∈N*，即该数列的项数为134.5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn.若＝，则＝(　) A.B．C.D．解析：选B　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴S9＝＝＝9a5，即a5＝，∵Tn是等差数列{bn}的前n项和，∴T9＝＝＝9b5，即b5＝，∴＝＝＝，故选B.6．(2022·株洲一模)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁，…….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为(　)A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁解析：选B　设19位老人的年龄由小到大依次为a1，a2，…，a19(单位：岁)，设义工的年龄为x岁，由已知可得a1＋a2＋…＋a19＋x＝＋x＝19a10＋x＝1520，则19a10＝1520－x，因为1≤x≤24且x∈N*，则19a10＝1520－x∈[1496,1519]，而在[1496,1519]内能被19整除的正整数为1501，则1520－x＝1501，解得x＝19.7．(2022·绵阳一模)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若－5，S3，S6成等差数列，则S9－S6的最小值为(　)A．25B．20C．15D．10解析：选B　因为{an}是正项等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6仍然构成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)．又－5，S3，S6成等差数列，所以S6－5＝2S3，S6－S3＝S3＋5，所以S9－S6＝＝＝S3＋＋10.又{an}是正项等比数列，所以S3>0，S3＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S3＝5时取等号．8．设数列{an}，{bn}均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为Sn，Tn，若Sn＝(2n ＋1)Tn，则＝(　)A.B．1C.D．2解析：选C　由Sn＝(2n＋1)Tn，得a1＝3b1，设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，当n＝2时，3(1＋q1)＝5(1＋q2)，即3q1＝2＋5q2，当n＝3时，3(1＋q1＋q)＝9(1＋q2＋q)，即q1＋q＝2＋3q2＋3q，联立两式解得q1＝4，q2＝2，此时，Sn＝＝(2n＋1)Tn＝(2n＋1)b1(2n－1)，则a1＝3b1，所以＝＝＝＝.9．已知{an}为等比数列，a1＝16，公比q＝.若Tn是数列{an}的前n项积，则Tn取最大值时n为(　)A．4B．5C．4或5D．5或610．(多选)记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有(　)A．a1＝－5B．a4<0C．S6＝0D．S3<S4解析：选ACD　由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，得a2＝－3，设等差数列{an}的公差为d，则有a5＝a2＋3d，所以d＝＝＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝－3＋(n－2)×2＝2n－7，所以a1＝2－7＝－5，a4＝8－7＝1>0，S6＝6×(－5)＋×2＝0，由S4－S3＝a4＝1>0，得S4>S3，故选A、C、D.11．(多选)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则(　) A．q2＝3B．a＝4C．a4a6＝2D．n＝12解析：选BD　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝aq3＝4，a4a5a6＝aq12＝12，可得q9＝3，又由a1a2a3＝a＝4，a4a5a6＝a＝12，所以A、C不正确，B正确；因为an＋1an＋2an＋3＝aq3n＋3＝aq3n＝324，可得q3n＝81＝34＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，所以D正确．12．(2022·保定一模)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1，则下面说法正确的是(　)A．数列{an＋1－an}为等比数列B．数列{an＋1－3an}为等差数列C．an＝3n－1＋1D．Sn＝＋解析：选ABD　根据题意得an＋1＝4an－3an－1⇒an＋1＋kan＝(k＋4)an－3an－1＝(k＋4)，令k＝－⇒k2＋4k＋3＝0⇒k＝－1或k＝－3，所以an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1，所以数列{an＋1－an}为公比为3的等比数列，故A正确；数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故B正确；所以an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝－1，解得an＝，故C错误；所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝(30＋31＋…＋3n－1)＋＝×＋＝＋，故D正确．故选A、B、D.13．数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋3，则an＝________.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋3)－[(n－1)2－2(n－1)＋3]＝2n－3.而a1＝S1＝2不适合上式，所以an＝答案：14．(2022·淄博一模)已知等比数列{an}，其前n项和为Sn.若a2＝4，S3＝14，则a3＝________.解析：设等比数列的公比为q，因为a2＝4，S3＝14，所以a1＋a3＝10，即＋a2q＝10，所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.当q＝2时，a3＝8；当q＝时，a3＝2.所以a3＝2或a3＝8. 答案：2或815．(2022·山东历城二中模拟)数列{an}中，a1＝0，an＋1－an＝且an＝9，则n＝________.解析：∵an＋1－an＝＝－，∴an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝－＋－＋…＋－＋0＝－1.∵an＝9，即－1＝9，解得n＝100.答案：10016．(2022·张家口一模)写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝________.解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3<a3，即a1＋a2<0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.答案：2n－6(答案不唯一)