第二板块 课时验收评价(五)　“数列”大题规范增分练

课时验收评价(五)　“数列”大题规范增分练1．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．解：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋.当n＝1时，a1＝S1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－，∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1.等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1，∴an－an－1＝1.∴数列{an}是公差为1的等差数列．(2)由(1)知数列{an}的公差为1.由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋＝＝2－，所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78.2．已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，若由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)因为3n2－29n－2Sn＝0，所以Sn＝n2－n.当n＝1时，a1＝－＝－13；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝3n－16.经检验，a1＝－13满足an＝3n－16，故数列{an}的通项公式为an＝3n－16.(2)设bm＝an，即2m＝3n－16，m，n∈N*.由bm＝2m，所以bm＋1＝2m＋1＝2·2m＝2(3n－16)＝6n－32＝3－16， 由2n－∉N*，可知bm＋1∉{an}，即bm＋1不是两个数列的公共项．bm＋2＝2m＋2＝22·2m＝4(3n－16)＝12n－64＝3(4n－16)－16，由4n－16∈N*，可知bm＋2∈{an}，所以bm＋2是两个数列的公共项，因此，若ck＝bm＝an，则ck＋1＝bm＋2＝a4n－16，所以＝＝＝4，且c1＝2，所以两数列的公共项所构成的新数列{cn}是以2为首项，以4为公比的等比数列，所以数列{cn}的前n项和Tn＝＝.3．(2022·晋中二模)已知等比数列{an}是各项均为正数的递增数列，3a4,2a5，a6成等差数列，且满足a＝9a4；(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log3a2n－1(n∈N*)，求数列的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>1，由条件3a4,2a5，a6成等差数列，可得4a5＝3a4＋a6，即4a4q＝3a4＋a4q2，可得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1(舍去)，又因为a＝9a4，即aq4＝9a1q3，即a1＝3.所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＝3n(n∈N*)．(2)因为bn＝log3a2n－1＝2n－1，所以＝＝，数列的前n项和Tn＝＋＋＋…＋＝×1－＋－＋－＋…＋－＝＝.4．(2022·衡阳三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝145，a3＝7，公比为2的等比数列{bn}满足b1＝2a1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn，及使得Tn>m－2022对n∈N*恒成立的最大正整数m.解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.因为b1＝2a1＝2，所以bn＝2×2n－1＝2n.(2)因为anbn＝(3n－2)×2n，则Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n，①2Tn＝1×22＋4×23＋…＋(3n－5)×2n＋(3n－2)×2n＋1，②①－②得－Tn＝2＋3(22＋23＋…＋2n)－(3n－2)·2n＋1＝2＋－(3n－2)·2n＋1＝－10＋(5－3n)·2n＋1，因此，Tn＝(3n－5)·2n＋1＋10.Tn>m－2022对n∈N*恒成立，即min>m－2022，又因为anbn＝(3n－2)·2n>0，所以{Tn}单调递增，所以Tn的最小值为T1＝1,即1>m－2022，m<2023，所以最大正整数m为2022.5．(2022·长郡中学、衡阳八中等名校3月第二次联考)已知数列{an}的每一项均为正数，a1＝3，它的前n项和为Sn，且an，，an＋1(n∈N*)成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求S2n，并证明：＋＋＋…＋<.解：(1)由an，，an＋1成等比数列，得2Sn＝an·an＋1,2Sn＋1＝an＋1·an＋2.两式相减得2an＋1＝an＋1(an＋2－an)，因为数列{an}各项均为正数，所以an＋2－an＝2.所以数列a1，a3，…，a2n－1，…是首项为3，公差为2的等差数列，则a2n－1＝3＋2(n－1)＝2n＋1.又2S1＝a1·a2，所以a2＝2，所以数列a2，a4，…，a2n，…是首项为2，公差为2的等差数列，则a2n＝2＋2(n－1)＝2n，从而an＝(2)S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝n(2n＋3)．证明：＝<＝.从而＋＋＋…＋<－＋－＋－＋…＋－＝，问题得证．