第二板块 课时验收评价(六)　应用性考法强化练

课时验收评价(六)　应用性考法强化练1．2022年北京冬奥会开幕式以中国传统24节气作为倒计时进入，草木生长的勃勃生机拉开春意盎然的开幕式序幕．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长与最短的日子分别被定为冬至与夏至，其日影长分别为13.5尺与1.5尺．从冬至到夏至，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至这十三个节气，其日影长依次成等差数列，则北京冬奥会开幕日(立春)的日影长是(　)A．10.5尺B．11尺C．11.5尺D．12尺解析：选A　依题意设日影长为等差数列{an}，其中a1＝13.5，a13＝1.5，所以d＝＝－1，所以a4＝a1＋3d＝13.5－3＝10.5，即北京冬奥会开幕日(立春)的日影长是10.5尺，故选A.2．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重(　)A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤解析：选D　设该等差数列为{an}，其公差为d，由题意知，a1＝4，a5＝2，由a5＝a1＋4d，解得d＝－，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a1＋10d＝5×4＋10×＝15.3．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过______年，其投入资金开始超过7000万元．(　)(参考数据：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)A．14B．13C．12D．11解析：选C　设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2000×1.12n，由an＝2000×1.12n>7000，得n>log1.12＝≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．4．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是(　) A．由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为B．前七个矩形块中所填写的数字之和等于C．矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列D．按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是解析：选B　设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则可得{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝×n－1＝，所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为a8＝＝，故A、C错误；前七个矩形块中所填写的数字之和等于＝，故B正确；按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是，故D错误．故选B.5．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线．其构成方式如下：如图1将线段AB等分为AC，CD，DB，如图2以CD为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD.在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线．设线段AB的长度为1，则图3曲线的长度为(　)A．2B．C.D．3 解析：选C　据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，依题意得a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度a4＝.6．某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24h．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车(　)A．25辆B．24辆C．23辆D．22辆解析：选C　总工作量为20×24＝480h，由题意可知，每调来一辆车，工作时间依次递减h，则每辆车的工作时间成等差数列，设第n辆车的工作时间为an，则a1＝24，等差数列的公差d＝－，∴n辆车的工作总时长Sn＝na1＋d＝24n－，∵S23＝24×23－≈468<480，S24＝24×24－＝484>480，∴共需24辆车完成工程，∴至少还需要抽调24－1＝23辆车．7．意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用．该数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有(　)A．333项B．334项C．666项D．667项解析：选D　因为a1＝a2＝1为奇数，a3＝2为偶数，a4＝3，a5＝5为奇数，a6＝8为偶数，依此类推，a9，a12，…，a999为偶数．由999＝3＋3(n－1)＝3n，可得为偶数的项共有333项，那么为奇数的项共有667项． 8.原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为(　)A．14πB．C．24πD．30π解析：选B　由题意得，恰好有6段圆弧或有7段圆弧与直线l相交时，才恰有5个交点，每段圆孤的圆心角都为，且从第1段圆弧到第n段圆弧的半径长构成等差数列：1,2，…，n，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为×＝.9．古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究．形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕达哥拉斯学派最早研究的重要内容之一．如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列{an}，四边形数组成数列{bn}，记cn＝，则数列{cn}的前10项和为(　)A.B．C.D．解析：选D　由题意可得，an＝1＋2＋3＋…＋n＝，bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，所以cn＝＝＝＝2，设数列{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝2，所以S10＝.10．在江西省发现的汉代海昏候刘贺墓中，发掘出大量的铜钱“汉五铢”． 古人是如何将铜钱放置在钱库中的呢？汉代将1000枚铜钱用缗(丝绳或麻绳)串起来，称为一“缗”(mīn，音岷)，再放在一起成为一堆．为清点这批铜钱的数目，考古工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有________缗．解析：由题意知，每层铜钱数是以31为首项，以1为公差的等差数列，且末项为70，设该堆铜钱共有n层，则70＝31＋(n－1)×1⇒n＝40，所以共有40层，故这堆铜钱共有＝2020(缗)．答案：202011．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中给出了一些新垛积问题，如图正方垛积：最上层1个，第2层4个，第3层9个，…，第n层n2个，这n层的总个数的计算式子为12＋22＋32＋…＋n2＝；试问“三角垛下广一面十个，上尖，高十个，问计几何？”意思是：有一个三角垛，底层每条边上有10个小球，上面是尖的(只有一个小球)，问：总共有________个小球．(注：这里高分别一个，二个，三个，四个的三角垛如图所示)解析：根据题意，该三角垛的第1层有1个，第2层有3个，第3层有6个，…，据此归纳推理，第n层有＝n2＋n个，故该三角垛总共有＋＋＋…＋＝×(12＋22＋…＋102)＋×(1＋2＋…＋10)＝××10×11×21＋××10×11＝220.答案：22012．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药______(填“会”或者“不会”)对人体产生副作用． 解析：由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n－1，所以第n次服药后，体内药物的含量为700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1＝＝1000×(1－0.3n)，当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1000，该药在人体内含量不超过1000毫克，不会产生副作用．答案：不会