函数与导数微专题(五)　导数与不等式恒(能)成立问题　　　

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微专题(五)导数与不等式恒(能)成立问题命题点(一)分类讨论解决不等式恒成立问题近几年高考中利用导数解决不等式恒成立问题是常见的题型，函数中经常含有参数，对参数进行分类讨论解决问题，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，题目的综合性较强，难度大． [关键点拨]切入点(1)构造函数m(x)，判断f′(x)的单调性，进而判断f(x)的单调性(2)构造函数，把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题障碍点不能把导函数正确的分解因式，分类讨论的标准不可解[解](1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1.令m(x)＝f′(x)＝ex＋2x－1，则m′(x)＝ex＋2>0.所以m(x)在R上单调递增，即f′(x)在R上单调递增．注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．不等式恒成立问题的解题关键点已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决．根据不等式能成立求参数的步骤(1)利用题设条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式的能成立问题；(2)用导数求该函数在区间上的最值；(3)构建不等式求解．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－1.(1)当a>0时，证明函数f(x)在区间(0,＋∞)上只有一个零点；(2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范围．解：(1)证明：当a>0时，f′(x)＝xex－a，x∈(0,＋∞)，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，∴f′(x)＝xex－a在(0，＋∞)上为增函数，∵f′(0)＝－a<0,f′(a)＝aea－a>0，∴∃x0∈(0，a)，使f′(x0)＝x0ex0－a＝0，∴当x∈(0,x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0,＋∞)时，f′(x)>0，因此，f(x)在(0,x0)上为减函数，f(x)在(x0,＋∞)上为增函数，

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所属：高考 - 二轮专题

发布时间：2024-04-29 17:20:01 页数：28

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文章作者：180****8757

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