【技巧归纳 能力拓展】专项训练六 函数导数与不等式（考点2 导数中恒(能)成立问题）(原卷版)

专项六函数导数与不等式考点2导数中恒(能)成立问题大题拆解技巧【母题】(2021年天津卷)已知a>0,函数f(x)=ax-xex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)证明f(x)存在唯一极值点;(3)若存在a,使得f(x)≤a+b对于任意x∈R成立,求实数b的取值范围.【拆解1】已知a>0,函数f(x)=ax-xex.求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.【拆解2】已知条件不变,证明f(x)存在唯一极值点.【拆解3】已知条件不变,若存在a,使得f(x)≤a+b对于任意x∈R成立,求实数b的取值范围.小做变式训练已知函数f(x)=2xlnx+x2-ax+1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若存在x0∈[1e,e],使不等式f(x0)≥-2成立,求实数a的取值范围.【拆解1】已知函数f(x)=2xlnx+x2-ax+1.当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.【拆解2】若x∈[1e,e],求函数h(x)=2lnx+x+3x的最大值. 【拆解3】已知条件不变,若存在x0∈[1e,e],使不等式f(x0)≥-2成立,求实数a的取值范围.技巧归纳恒(能)成立问题的转化策略:若f(x)在区间D上有最值,则(1)恒成立:∀x∈D,f(x)>0⇔f(x)min>0;∀x∈D,f(x)<0⇔f(x)max<0.(2)能成立:∃x∈D,f(x)>0⇔f(x)max>0;∃x∈D,f(x)<0⇔f(x)min<0.突破实战训练<基础过关>1.已知函数f(x)=m(x-2)-ln(x-1).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>2时,f(x)≤m(x-2)2恒成立,求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=aex-2(a+1).(1)讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调性;(2)若不等式f(x)+a+1x≥0(a>0)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.3.在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数,chx=ex+e-x2称为双曲余弦函数.(1)若对于任意x∈R,不等式ch2x≥mchx-3恒成立,求实数m的最大值;(2)若a>0,存在x1,x2∈[1,+∞),使得2chx1<a(-x22+4x2-2)成立,试比较a-1与(e-1)lna的大小,并证明你的结论. 4.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.<能力拔高>5.已知函数f(x)=ax2+bx+1ex.(1)当a=b=1时,求函数f(x)的极值;(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围.6.已知函数f(x)=4x2-4x+mln(2x),其中m为大于零的常数.(1)讨论y=f(x)的单调区间;(2)若y=f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥ax2恒成立,求实数a的取值范围.<拓展延伸>7.已知函数f(x)=x2+ax+2+lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≤ex恒成立,求a的最大值. 8.已知函数f(x)=x-lnx+2x.(1)求f(x)的最小值;(2)若存在区间[a,b]⊆[12,+∞),使g(x)=xf(x)在[a,b]上的值域为[k(a+2),k(b+2)],求实数k的取值范围.