【技巧归纳 能力拓展】专项突破三 概率与统计（考点2 概率的实际应用）(原卷版)

专项三概率与统计考点2概率的实际应用大题拆解技巧【母题】(2020年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【拆解1】已知条件不变,求甲连胜四场的概率.【拆解2】已知条件不变,求需要进行第五场比赛的概率.【拆解3】已知条件不变,求甲赢的概率.【拆解4】已知甲赢的概率为932,求丙最终获胜的概率. 小做变式训练甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏,活动的规则为:甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的A,B,C三点,第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手,若点数是奇数,则按逆时针选择乙,若是偶数,则按顺时针选丙,下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手,如果点数是奇数按逆时针选对手,点数是偶数按顺时针选对手,已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为23、13、12,且甲、乙、丙之间竞答互不影响,各轮游戏之间亦互不影响,若比赛中某选手累计获胜场数达到两场,则游戏结束,该选手为晋级选手.(1)求比赛进行了三场且甲晋级的概率;(2)若比赛进行了三场后结束,记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.【拆解1】已知条件不变,求比赛进行了3场且甲晋级的概率.【拆解2】已知条件不变,若比赛进行了三场后结束,甲一场也没有获胜的概率.【拆解3】比赛进行了三场甲赢两场的概率为16,甲一场也没有获胜的概率为13144.记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望. 通法技巧归纳1.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手的题目时,可从其对立事件入手计算.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P(A)求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.突破实战训练<基础过关>1.某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表.满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232(1)由表中的数据分析可知,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游?(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中,随机抽取2人征集改造建议,求这2人中有老年人的概率.(3)若你朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目? 2.第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办,为了普及冬奥知识,京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛,从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本,得到他们的分数统计如下:分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数1228331我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良好;80分及以上为优秀.(1)从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀的概率是多少?(2)将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人,以X表示这2人中优秀的人数,求X的分布列与期望.3.乒乓球是中国国球,它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼,会定期地举办乒乓球竞赛.已知该中学高一、高二、高三三个年级的人数分别为690,460,460,现采取分层抽样的方法从三个年级中抽取7人参加校内终极赛.(1)求该中学高一、高二、高三三个年级参加校内终极赛的人数;(2)现从抽取的7人中再随机抽取2人拍照做海报宣传,求“抽取的2人来自同一年级”的概率. 4.受新冠肺炎疫情的影响,2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节,资料初审通过后才能进行笔试,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便正式录取,且这几个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘,并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为12,13;乙通过笔试、面试的概率分别为23,12;丙通过笔试、面试的概率与乙相同.(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率;(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率;(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作,企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴,补贴标准如下表:参与环节笔试面试补贴(元)100200记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元,求X的分布列和数学期望.<能力拔高>5.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转,由于业务量扩大,现向社会招聘货车司机,其日工资方案如下:甲公司底薪80元,司机每中转一车货物另计4元;乙公司无底薪,中转40车货物以内(含40车)的部分司机每车计6元,超出40车的部分司机每车计7元.假设同一物流公司的司机一天中转车数相同,现从这两家公司各随机选取一名货车司机,并分别记录其50天的中转车数,得到如下频数表:甲公司司机中转车数频数表中转车数3839404142天数101510105乙公司司机中转车数频数表中转车数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数,求这3天中转车数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题: ①记乙公司货车司机日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望E(X);②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.6.某商城玩具柜台元旦期间促销,购买甲、乙系列的盲盒,并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1,A2,A3中的一个,每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1,B2中的一个.(1)记事件En:一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1,A2,A3玩偶;事件Fn:一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1,B2玩偶;求概率P(E6)及P(F5).(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒,每个消费者每天只有一次购买机会,且购买时,只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现:第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15,购买乙系列的概率为45;而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14,购买乙系列的概率为34;前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12,购买乙系列的概率为12;如此往复,记某人第n次购买甲系列的概率为Qn.①求Qn;②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒,试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.<拓展延伸>7. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”),《意见》宣布:2020年起不再组织开展高校自主招生工作,改为实行强基计划.强基计划要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目,且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率均为12,该考生报考乙大学,每门科目通过的概率依次为16,23,m,其中0<m<1.(1)若m=23,分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率;(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策,当该考生更有希望通过乙大学的笔试时,求m的取值范围.8.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加,为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入、力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入,并制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入x−(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).(2)由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入x−,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.①若在2018年脱贫攻坚工作中,该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元? ②为了调查“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立,问:这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数约为多少?参考数据:6.92≈2.63.若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973.