【技巧归纳 能力拓展】专项突破二 数列（考点1 等差、等比数列的综合应用）(原卷版)

专项二数列考点1等差、等比数列的综合应用大题拆解技巧【母题】(2021年全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和,证明:Tn<Sn2.【拆解1】设{an}是首项为1的等比数列,已知a1,3a2,9a3成等差数列,求等比数列{an}的公比.【拆解2】设{an}是首项为1,公比为13的等比数列,数列{bn}满足bn=nan3,求{an}和{bn}的通项公式. 【拆解3】已知数列{an}是首项为1,公比为13的等比数列,且bn=n3n,记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和,求Sn和Tn.小做变式训练已知等差数列{an}的公差d不为0,其中a3=7,a1,a2,a6成等比数列.数列{bn}满足1log2b1+2log2b2+3log2b3+…+nlog2bn=n2.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.【拆解1】已知等差数列{an}的公差d不为0,其中a3=7,a1,a2,a6成等比数列,求数列{an}的通项公式. 【拆解2】已知数列{bn}满足1log2b1+2log2b2+3log2b3+…+nlog2bn=n2,求数列{bn}的通项公式.【拆解3】已知an=3n-2,bn=4n.若cn=anbn,求数列{cn}的通项公式.【拆解4】已知cn=(3n-2)×4n,求数列{cn}的前n项和Sn.通法技巧归纳1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.突破实战训练<基础过关>1.已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=5,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=13n-1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an-2anan+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=3nan,求数列{bn}的前n项和Sn. 3.设数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2-an+1=2n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2a2+log2a3+…+log2an+1,数列1bn的前n项和为Sn,证明:Sn<119.4.在数列{an}中,a1=1,an+1=ancan+1(c>0),且a1,a2,a5成等比数列.(1)证明:数列1an是等差数列,并求{an}的通项公式.(2)设数列{bn}满足bn=(4n2+1)anan+1,其前n项和为Sn,证明:Sn<n+1. <能力拔高>5.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=1,a1bn+a2bn-1+…+anb1=2n+2-2n-4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=bn-1(bn-an)(bn+1-an+1),Sn=c1+c2+…+cn,求证:Sn<1.6.已知正项数列{an}满足2Sn=an+1.(1)求an.(2)将数列{an}分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10),…,记第n组的和为bn.①求数列{bn}的通项公式bn;②求数列(-1)nbnn的前2n项的和. <拓展延伸>7.已知等差数列{an}是递增数列,且a1+a4=0,a2a3=-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=3an+4,数列{bn}的前n项和为Tn,是否存在常数λ,使得λTn-bn+1恒为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.8.已知{an}是等差数列,且lga1=0,lga4=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和Sn.