【技巧归纳 能力拓展】专项突破二 数列（考点2 数列中的开放题）(原卷版)

专项二数列考点2数列中的开放题大题拆解技巧【母题】(2021年全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{Sn}是等差数列;③a2=3a1.【拆解1】已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,数列{an}是等差数列,数列{Sn}是等差数列,求证:a2=3a1.【拆解2】已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,数列{an}是等差数列,a2=3a1,求证:数列{Sn}是等差数列. 【拆解3】已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,数列{Sn}是等差数列,a2=3a1.求证:数列{an}是等差数列.小做变式训练在①a1+a3-2a2=0;②a2-a1=2;③S3=3a2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,________.(1)证明:数列{an}是等差数列.(2)若数列{bn}满足bn=1anan+1,其前n项和为Tn,且Tn<a2对任意n∈N*恒成立,求a1的取值范围.【拆解1】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,a1+a3-2a2=0.证明:数列{an}是等差数列. 【拆解2】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,a2-a1=2.证明:数列{an}是等差数列.【拆解3】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=anan+1+1,S3=3a2.证明:数列{an}是等差数列.【拆解4】已知数列{an}是以2为公差的等差数列,若数列{bn}满足bn=1anan+1,其前n项和为Tn,且Tn<a2对任意n∈N*恒成立,求a1的取值范围. 通法技巧归纳1.证明数列是等差数列的主要方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列常用到的结论:(1)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.是否是等差数列的最终判定还是利用定义.3.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.4.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n=1的情形进行验证.突破实战训练<基础过关>1.在①a2=16,an+1+4an=32an-1(n≥2,n∈N*);②Tn=4n+1-43;③Tn=4an-43这三个条件中任选一个补充到下面问题中,然后解答补充完整的题目.在等比数列{an}中,an>0,其前n项和为Tn,且__________,数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=log2an.  (1)求bn;(2)若1S1+1S2+1S3+…+1Sn≥0.96,求n的最小值.2.在①a1,a3的等差中项是3;②a2,a4的等比中项是a12;③a1+a3+a5=14这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解答.已知正项等比数列{an}满足_________,_________.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列{an}的前n项积为Tn,求数列1log2Tn的前n项和Sn.3.在①Sn=nan+1-n2-n;②anan+1-(2n+1)an+1+2nan-2n(2n+1)=0;③an+12-an2 =8(n+1)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.问题:设数列{an}的前n项和为Sn,an>0,a1=3,且______,bn=1(an-1)(an+1),求{bn}的前n项和为Tn.4.在①Sn=2an-1;②an+1an=2n-12n+1,a2=13;③Sn=2n+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.已知数列{an}的前n项和为Sn,________,数列{bn}满足bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.<能力拔高>5.已知等比数列{an}为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,数列{bn}满足2b1=a1,bn+1-bn=a1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设cn=2n+3anbnbn+1,求数列{cn}的前n项和Tn.6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)对于(2)中的Tn,设cn=Tn-2a2n+1,求数列{cn}中的最大项.<拓展延伸>7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=6,a7=14.(1)求数列{an}的通项公式及Sn; (2)若________,求数列{bn}的前n项和Tn. 在①bn=2an·an;②bn=an2+an+12Sn;③bn=(-1)n·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.8.在①b1=-a1,b4=a2+4,②b1=a1,3b2=a2,③b1=a1+1,b2=a2-3这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中并作答.问题:已知数列{an}满足a12+a222+a323+…+an2n=n2,数列{bn}为等比数列,且________,Sn为数列anbn的前n项和.是否存在正整数k,使得Sk≥2020成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.