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专题08 数列专题(新定义)(原卷版)

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专题08数列专题(新定义)一、单选题1.(2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习)对于正项数列中,定义:为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为,则该数列中的(    )A.B.C.D.2.(2023春·浙江·高三开学考试)对任意正整数对,定义函数如下:,,则(     )A.B.C.D.3.(2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试)定义:对于数列,如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有,则称数列是从第项起的周期为T的周期数列.已知周期数列满足:,,(),则(    )A.B.C.D.14.(2023秋·福建南平·高二统考期末)若数列的前n项和为,,则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且,设数列的前n项和为,若对恒成立,则实数m的取值范围为(    )A.B.C.D.5.(2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习)对于一个项数列,记的“Cesaro平均值”为,若数列的“Cesaro平均值”为2022,数列的“Cesaro平均值”为2046,则(    ) A.24B.26C.1036D.15416.(2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试)等比数列中,公比,用表示它的前项之积,则,,…,中最大的是(    )A.B.C.D.7.(2022秋·北京·高二北京二中校考期末)如果数列满足(k为常数),那么数列叫做等比差数列,k叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是(    )①若数列满足,则该数列是等比差数列;②数列是等比差数列;③所有的等比数列都是等比差数列;④存在等差数列是等比差数列.A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④8.(2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习)定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④,其中是“保等比数列函数”的序号为(    )A.①②B.③④C.①③D.②④9.(2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末)若数列满足,则称为“必会数列”,已知正项数列为“必会数列”,若,则(    ).A.B.1C.6D.1210.(2022秋·陕西渭南·高二统考期末)设是无穷数列,若存在正整数,使得对任意的,均有,则称是间隔递增数列,是的间隔数.若是间隔递增数列,则数列的通项不可能是(    )A.B.C.D. 11.(2023·全国·高三专题练习)对于数列,若存在正整数,使得,,则称是数列的“谷值”,k是数列的“谷值点”.在数列中,若,则数列的“谷值点”为(    )A.2B.7C.2,7D.2,5,712.(2023·全国·高二专题练习)若数列满足,则称为“对奇数列”.已知正项数列为“对奇数列”,且,则(    )A.B.C.D.13.(2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习)设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中,,,则(    )A.21B.20C.41D.4014.(2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试)对于数列,定义为数列的“加权和”,已知某数列的“加权和”,记数列的前n项和为,若对任意的恒成立,则实数p的取值范围为(    )A.B.C.D.15.(2023·全国·高三专题练习)若数列满足:若,则,则称数列为“等同数列”.已知数列满足,且,若“等同数列”的前项和为,且,,,则(    )A.4711B.4712C.4714D.471816.(2022·全国·高三专题练习)设数列,若存在常数,对任意小的正数,总存在正整数,当时,,则数列为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是(    )A.若等比数列是收敛数列,则公比B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列的前项和为,则数列一定是收敛数列 D.设数列的前项和为,满足,,则数列是收敛数列17.(2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试)设数列:,,…,,若存在公比为q的等比数列:,,…,,使得,其中,2,…,m,则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为,其“等比分割数列”的首项为1,则数列的公比q的取值范围是(    )A.B.C.D.18.(2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试)若数列{an}满足……,则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足,则实数t的取值范围是(  )A.B.(-∞,1)C.D.(1,+∞)19.(2022·浙江·高二学业考试)通过以下操作得到一系列数列:第1次,在2,3之间插入2与3的积6,得到数列2,6,3;第2次,在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积,得到数列2,12,6,18,3;类似地,第3次操作后,得到数列:2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后,得到的数列记为,则的值是(    )A.6B.12C.18D.108二、多选题20.(2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)若数列满足:对任意正整数为递减数列,则称数列为“差递减数列”.给出下列数列,其中是“差递减数列”的有(    )A.B.C.D.21.(2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习)若数列满足:,,使得对 于,都有,则称具有“三项相关性”,下列说法正确的有(    ).A.若数列是等差数列,则具有“三项相关性”B.若数列是等比数列,则具有“三项相关性”C.若数列是周期数列,则具有“三项相关性”D.若数列具有正项“三项相关性”,且正数,满足,,数列的通项公式为,与的前项和分别为,,则对,恒成立22.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)斐波那契数列又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义:用表示斐波那契数列的第n项,则数列满足:,,记,则下列结论正确的是(    )A.数列是递增数列B.C.D.23.(2023秋·河北邯郸·高二统考期末)若不是等比数列,但中存在互不相同的三项可以构成等比数列,则称是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是(    )A.B.C.D.24.(2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习)已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列,对于函数,若数列为等差数列,则称函数为“保比差数列函数”,则定义在上的如下函数中是“保比差数列函数”的有(    )A.为“保比差数列函数”B.为“保比差数列函数”C.为“保比差数列函数”D.为“保比差数列函数”25.(2022秋·福建福州·高二校联考期末)在数列中,若为常数),则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断,其中正确的为(    )A.是平方等差数列 B.若是平方等差数列,则是等差数列C.若是平方等差数列,则为常数)也是平方等差数列D.若是平方等差数列,则为常数)也是平方等差数列26.(2023秋·山西吕梁·高二统考期末)定义:在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列1,4进行“美好成长”,第一次得到数列1,4,4;第二次得到数列1,4,4,16,4,,设第n次“美好成长”后得到的数列为,并记,则(    )A.B.C.D.数列的前n项和为27.(2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试)在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列,将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;…;第次得到数列1,,,,…,,2.记,数列的前n项和为,则(    )A.B.C.D.三、填空题28.(2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)对于数列,若存在正整数,使得对任意正整数,都有(其中为非零常数),则称数列是以为周期,以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列前21项的和为__.29.(2022秋·福建泉州·高二统考期末)对于数列,记:…,(其中),并称数列为数列的k阶商分数列.特殊地,当为非零常数数列时,称数列是k阶等比数列.已知数列是2阶等比数列,且,若,则 m=___________.30.(2023·河南郑州·统考一模)“外观数列”是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”.例如:取第一项为1,将其外观描述为“1个1”,则第二项为11;将描述为“2个1”,则第三项为21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211;将1211描述为“1个1,1个2,2个1”,则第五项为111221,…,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列,下列说法正确的有______.①若,则从开始出现数字2;②若(,2,3,…,9),则的最后一个数字均为k;③不可能为等差数列或等比数列;④若,则均不包含数字4.31.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末)设数列的前n项和为,对任意都有(t为常数),则称该数列为“t数列”,若数列为“2数列”,且,则______.32.(2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末)定义n个正数的“均倒数”为,若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为,则的值为______33.(2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末)对给定的数列,记,则称数列为数列的一阶商数列;记,则称数列为数列的二阶商数列;以此类推,可得数列的P阶商数列,已知数列的二阶商数列的各项均为,且,则___________.34.(2022秋·上海·高二期中)定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”.已知数列有(为常数,且),它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为_____.35.(2023·高二课时练习)定义:各项均不为零的数列中,所有满足的正整数 的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和(,),令(),若数列的变号数为2,则实数的取值范围是___________.36.(2023春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习)已知数列满足,定义使()为整数的k叫做“幸福数”,则区间内所有“幸福数”的和为_____.37.(2022春·高二单元测试)对于任意一个有穷数列,可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和,构造一个新的数列,现对数列1,5进行构造,第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,6,11,5,依此类推,第n次得到数列1,,,,…,5.记第n次得到的数列的各项之和为,则的通项公式______.38.(2022·黑龙江绥化·绥化市第一中学校考模拟预测)定义:若有穷数列,,…,,满足,,…,,即(,且),则称该数列为“对称数列”.若数列是项数为的对称数列,且,,…,构成首项为,公差为的等差数列,记数列的前项的和为,则取得最大值时的值为__________.39.(2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列是等和数列,且,则这个数列的前项的和为____.40.(2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积为同一个常数,那么这个数列称为等积数列,这个常数称为该数列的公积.已知数列是等积数列,且,公积为,那么这个数列的前项的和为____.四、解答题41.(2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末)设数列的前项和为.若,则称是“紧密数列”.(1)已知数列是“紧密数列”,其前5项依次为,求的取值范围;(2)若数列的前项和为,判断是否是“紧密数列”,并说明理由; (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”,求的取值范围.42.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的正整数k,若数列满足:,对任意正整数总成立,则称数列是“P(k)数列”.若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:是等差数列.43.(2023春·安徽淮北·高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)如果一个数列的各项都是实数,且从第项开始,每一项与前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.(1)设数列是公方差为的等方差数列,且,求数列的通项公式;(2)若数列既是等方差数列,又是等差数列,证明:数列为常数列.44.(2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习)对于给定数列,如果存在实常数、使得对于任意都成立,我们称数列是“类数列”.(1)若,,,数列、是否为“类数列”?(2)若数列是“类数列”,求证:数列也是“类数列”;(3)若数列满足,,为常数.求数列前2022项的和.45.(2023·高二课时练习)定义:称为个正数,,…,,的“均倒数”.已知数列的前项的“均倒数”为,(1)求的通项公式;(2)设,试判断并说明(为正整数)的符号;(3)设函数,是否存在最大的实数,当时,对于一切的自然数都有.

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文章作者:180****8757

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