专题29 定义法或几何法求空间角(原卷版)

专题29定义法或几何法求空间角一、单选题1．在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若l，则l与BD所成角的正切值是（）1A．B．1C．2D．422．在正方体ABCDA1B1C1D1，E为棱AA1的中点，则异面直线EC1与AD所成角的正切值为（）2357A．B．C．D．222293．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形，若P为底面4ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）1115A．B．C．D．123464．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（）A．30B．60C．120D．1505．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点，则MN与AB所成角的余弦值为（）110101010A．B．C．D．5105106．如图在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么直线AP和CB所成角的余1 弦值（）2212A．B．C．D．42247．如图所示，点P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面内引射线PM、PN，若，MPN60，那么二面角AB的大小为（）BPMBPN45A．60B．70C．80D．9018．如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）415183A．B．C．D．1721722 9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中1点，过P、Q的平面与底面A1B1C1D1交于R、S两点，R、S分别在下底面的边B1C1、A1B1上，B1S，2平面PSRQ与棱AA1交于点T，则直线TS与侧面A1D1DA所成角的正切值为（）.5A．2B．2C．35D．210．如图，在正四棱锥PABCD中，设直线PB与直线DC、平面ABCD所成的角分别为、，二面角PCDB的大小为，则（）A．,B．,C．,D．,11．已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D3MD，AN2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为（）25532A．B．C．D．553412．如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直线C1D1与平面A1BC所成的角为（）3 A．30°B．45°C．60°D．90°13．如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，Q是线段PC上的点(不含端点).设AQ与BC所成的角为，AQ与平面ABCD所成的角为，二面角QABC的平面角为，则（）A．B．C．D．14．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）1133A．B．C．D．242315．已知长方体ABCDA1B1C1D1的高AA12,AC26,AB1x,AD1y，则当xy最大时，二面角AB1D1C1的余弦值为（）4 151555A．B．C．D．5555二、多选题16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEF10C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为10D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍17．在棱长为1的正方体中ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的是（）A．异面直线C1P和CB1所成的角为定值B．直线CD和平面BPC1平行C．三棱锥DBPC1的体积为定值D．直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值5 18．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1，则（）A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直52C．它的体积为3D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、解答题19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=3，PC=2.（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）若BD与底面PBC所成的角为，求二面角B-PC-D的正切值.420．如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝23，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.6 （1）证明：AC⊥BF；（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.21．如图BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分别为棱AC、CD、AD中点.（1）证明：EF⊥平面BCG；（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值为6，求三棱锥G—BEF体积.（注意：本题用向量法求解不得分）22．ABC中，ABAC5，BC2，E，F分别是边AB，AC上的点，且EF//BC，AHBC于H，AH∩EFO，将AEF沿EF折起，点A到达A，此时满足面AEF面BCFE．AE5（1）若，求直线AB与面BCFE所成角大小；EB37 （2）若E，F分别为AB，AC中点，求锐二面角ABEC的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B到面ACF的距离．23．在四棱锥PABCD中，AD//BC，BCCD，ABC120，AD4，BC3，AB=2，CD3CE，APED．（1）求证：DE面PEA；（2）已知点F为AB中点，点P在底面ABCD上的射影为点Q，直线AP与平面ABCD所成角的余弦值3为，当三棱锥PQDE的体积最大时，求异面直线PB与QF所成角的余弦值．324．如图，已知四棱锥ABCDE中，BC⊥平面ADC，ACD45，DE//BC，ACBC2DE，EAEB，F是AB的中点.（Ⅰ）求证：EF//平面ACD；（Ⅱ）求直线AB与平面BCDE所成角的正弦值.25．如图，在矩形ABCD中，AB33，BC3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C，且C在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．8 （1）求证：ADBC；（2）求证：平面DBC平面ADC；（3）求二面角CADB的余弦值．26．如图，已知三棱锥PABC中，ABACPAPB2,BC22，D为BC的中点.（1）求证：PDAB；（2）若PD2，求PD与平面PAC所成角的正弦值.27．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1平面ACC1A1，CAA160,ABAA11,AC2．（Ⅰ）证明：AA1B1C；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的正弦值．9 28．如图，在平面四边形AABC中，CABCAA90，AAAC,ABAMMC，AAC绕AC旋转．（1）若AAC所在平面与ABC所在平面垂直，求证：AC平面AAB．（2）若二面角AACB大小为60，求直线AB与平面ABC所成角的正切值．029．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，ABC60，FA平面ABCD，FA//ED,ABFA2ED2.（1）求二面角FBCA的大小的正切值；（2）求点E到平面AFC的距离；（3）求直线FC与平面ABF所成的角的正弦值.，AC2AB2DF，四边形ACFD为等腰梯形，30．如图，三棱台ABCDEF中，ABC90ACF45，平面ABED平面ACFD．10 （Ⅰ）求证：ABCF；（Ⅱ）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值．11