第七章　§7.7　向量法求空间角

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§7.7　向量法求空间角考试要求　能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝.2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　)(3)两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　√　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ＝cos〈u，n〉．(　×　)教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　A解析　由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.所以直线l1和l2所成角的余弦值为.3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝，则sinθ＝＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以tanθ＝＝.题型一　异面直线所成的角例1　(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°答案　C解析　∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1＝，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，＝(0,1，)，＝(0，－1，)，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.又0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A.B.C.D.答案　A解析　因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，所以∠BOD＝，连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，D(，1,0)，＝(，3,0)，＝(0，－2,2)，设异面直线AD与BC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为.思维升华　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1　(1)有公共边的△ABC和△BCD成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．答案　解析　设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，所以＝(0，－1，－)，＝(，－1,0)，设异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______．答案　解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，∴＝(0,2，－1)，＝＋＝＋λ＝(－2λ，0，－2)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．(1)证明　取AB的中点M，连接PM，DM，如图，因为PA＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM⊂平面PDM，所以AB⊥平面PMD，又PD⊂平面PMD，所以AB⊥PD.(2)解　连接CM，则CM⊥AB，由AC＝BC＝2，PA＝PB＝AB＝4，可得CM＝2，PM＝2，于是CM2＋PM2＝16＝PC2，所以PM⊥CM，又PM⊥AB，AB∩CM＝M，MC，AB⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，以M为原点，MC，MB，MP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，由题意知∠CMD＝120°，可得D(－1,0，)，平面PAB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设＝λ＝λ(－1，－2，)，λ∈[0,1]，则＝＋＝(－2－λ，2－2λ，λ)，设CE与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝，令2＋λ＝t，t∈[2,3]，则λ＝t－2，所以sinθ＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期令f(t)＝－＋8，t∈[2,3]，由对称轴＝知，当＝，即λ＝时，f(t)min＝，则(sinθ)max＝＝，于是(tanθ)max＝2.所以直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值为2.题型三　平面与平面的夹角例3　(2023·泰安模拟)如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝.(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值．(1)证明　取BC的中点M，AB的中点N，连接DM，MN，EN.∴MN∥AC，MN＝AC，又DE∥AC，DE＝AC，∴DE∥MN，DE＝MN，∴四边形MNED是平行四边形，∴EN∥DM，EN＝DM，又AC⊥平面BCD，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵DC＝DB，∴DM⊥BC，又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM⊂平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又EN⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC.(2)解　由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CN，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)若∠AOD＝，求平面DPC与平面PCB夹角的正弦值．(1)证明　∵AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，∴∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，∵PA为圆柱OO′的一条母线，∴PA⊥AB，∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.(2)解　以C为坐标原点，分别以CD，CB，过C的母线所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AP＝AC＝4，则BC＝2，AB＝2，CD＝2，则D(2，0,0)，B(0,2,0)，P(2，2,4)，C(0,0,0)，∴＝(2，0,0)，＝(0,2,0)，＝(2，2,4)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝2，则y＝0，z＝－，∴n＝(2,0，－)，设平面PDC的法向量为m＝(a，b，c)，则令b＝2，则a＝0，c＝－1，∴m＝(0,2，－1)，设平面DPC与平面PCB的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n，m〉|＝＝＝，∴平面DPC与平面PCB夹角的正弦值为＝.课时精练成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.(2)解　连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以OA＝OB＝＝＝4.易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以OD＝OAsin30°＝4×＝2，AB＝2AD＝2OAcos30°＝2×4×＝4.又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan60°＝4×＝12.以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，B(4，0,0)，C(0,12,0)，P(2，2,3)，E，所以＝，＝(4，0,0)，＝(0,12,0)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则n＝(－1,0,2)．设平面AEB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝2，则m＝(0，－3,2)，设平面AEC与平面AEB的夹角为θ，所以cosθ＝|cos〈n，m〉|＝＝.则sinθ＝＝，所以平面AEC与平面AEB夹角的正弦值为.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期5.(2023·莆田模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AFC；(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①∠ABC＝；②BD＝AC；③PC与平面ABCD所成角的大小为.若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求平面ACF与平面ACD夹角的余弦值．(1)证明　连接BD交AC于点O，因为ABCD是菱形，所以O为BD的中点．连接OF.因为F为PD的中点，所以OF为△PBD的中位线，所以OF∥PB.因为OF⊂平面AFC，PB⊄平面AFC，所以PB∥平面AFC.(2)解　过O作∥，以O为原点，，，为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．选条件①：∠ABC＝.在菱形ABCD中，AC⊥BD.因为AB＝AP＝2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以OB＝OD＝2sin ＝，OA＝OC＝2cos ＝1，所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，C(0,1,0)，F.所以＝，＝(0,2,0)．设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，则不妨令x＝2，则n＝(2,0，)，显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.选条件②：BD＝AC.在菱形ABCD中，BD＝AC，所以OB＝OC，所以BC＝＝2OC.因为AB＝AP＝2，所以OA＝OC＝1，OB＝OD＝.所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，C(0,1,0)，F.所以＝，＝(0,2,0)．设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，则不妨令x＝2，则n＝(2,0，)．显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.选条件③：PC与平面ABCD所成的角为.因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，即∠PCA＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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