2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第七章立体几何与空间向量7.7向量法求空间角（一）课件

§7.7向量法求空间角(一)第七章　立体几何与空间向量 能用向量法解决异面直线、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_______. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()××√(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ＝cos〈u，n〉.()× A.30°B.60°C.120°D.150°√ 2.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为√ 因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)， 3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为√ 探究核心题型第二部分 题型一异面直线所成的角√ √ 因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设异面直线AD与BC所成的角为θ， 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.思维升华 跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为_____. 设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设异面直线AB和CD所成的角为θ， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， 题型二直线与平面所成的角(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长](2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.[关键点：建立空间直角坐标系求法向量] 利用空间向量求线面角的解题步骤 (1)若G是DP的中点，求证：AG⊥BD； 设圆柱OQ的底面半径为r，高为h.在底面圆O中，∠APB＝90°，∠ABP＝60°，所以AP＝BP·tan60°＝3.因为圆柱OQ的母线DA⊥底面APB，所以DA⊥BP，DA⊥AP. 因为∠APB＝90°，所以PA⊥BP，又PA∩AD＝A，所以BP⊥平面APD.因为AG⊂平面APD，所以BP⊥AG.在△DAP中，AD＝AP＝3，G是DP的中点，所以DP⊥AG.又BP∩DP＝P，所以AG⊥平面BPD.因为BD⊂平面PBD，所以AG⊥BD. 显然，向量n＝(1,0,0)是平面ABCD的一个法向量. 设GB与平面ABCD所成的角为θ， 课时精练第三部分 12345678910111213141516√基础保分练 12345678910111213141516由题意可知，AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为√12345678910111213141516 12345678910111213141516建立如图所示的坐标系，设AB＝2， √12345678910111213141516 12345678910111213141516如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 12345678910111213141516 123456789101112131415164.(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为√ 12345678910111213141516方法一设正方体的棱长为2，取CC1的中点Q，连接PQ，AD1，AC，AQ，∵P是C1D1的中点，∴PQ∥CD1∥A1B，故∠APQ就是AP与BA1所成的角或其补角， 12345678910111213141516方法二设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(2,0,0)，P(0,1,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)， 5.(2023·招远市第二中学模拟)若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为12345678910111213141516√ 12345678910111213141516取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面B1DC的法向量， 12345678910111213141516令z＝1，得n＝(0,2,1)，设直线AD与平面B1DC所成的角为α，则 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516∵AB是圆柱底面圆的一条直径，∴∠AOB＝90°，∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°；∵AB是圆柱的底面圆的直径，∴∠ACB＝90°，又∠OAB＝45°，∴四边形OACB为正方形，设AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系， 12345678910111213141516设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 12345678910111213141516设直线PC与平面PAB所成的角为θ， 123456789101112131415161 12345678910111213141516解得a＝1，所以棱AB的长度是1. 12345678910111213141516 12345678910111213141516以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)，设直线PB与平面PAC所成的角为α， 12345678910111213141516 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.12345678910111213141516(1)求证：BD⊥平面PAC； 12345678910111213141516因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC. (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值.12345678910111213141516 12345678910111213141516设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 12345678910111213141516设PB与AC所成的角为θ，则 10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均相等.D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.12345678910111213141516(1)证明：EF∥平面A1CD； 12345678910111213141516在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以A1F∥DE，且A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD. (2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.12345678910111213141516 12345678910111213141516方法一设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，OA1，OD，OC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 12345678910111213141516设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)， 12345678910111213141516令x＝2，得n＝(2,1,0).设直线BC与平面A1CD所成的角为θ， 12345678910111213141516方法二因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面A1ABB1，所以CD⊥平面A1ABB1.如图，在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交A1D的延长线于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角. 12345678910111213141516 11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点.有以下三个命题：①异面直线AC1与B1F所成的角是定值；②三棱锥B－A1EF的体积是定值；③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值.其中真命题的个数是A.3B.2C.1D.012345678910111213141516综合提升练√ 12345678910111213141516以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，设F(t,1,1－t)(0≤t≤1)， 12345678910111213141516三棱锥B－A1EF的底面A1BE的面积为定值，且CD1∥BA1，BA1⊂平面A1BE，CD1⊄平面A1BE，所以CD1∥平面A1BE，点F是线段CD1上的一个动点，可得点F到底面A1BE的距离为定值，故三棱锥B－A1EF的体积是定值，故②正确； 12.(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1，下列说法正确的是A.直线AC1⊥平面A1BDB.若平面A1BD与平面AB1D1的交线为l，则l与AD所成的角为45°12345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝－1，则y＝z＝1，即n＝(－1,1,1)， 12345678910111213141516∵A(2,0,0)，C1(0,2,2)，则直线AC1⊥平面A1BD，故A正确；结合图形可知，平面A1BD与平面AB1D1的交线l即为直线MN，M(1,0,1)，N(2,1,1)， 12345678910111213141516∴l与AD所成的角为45°，故B正确； 12345678910111213141516如图，取棱CC1的中点E，连接PC1，QC1，PE，BE，∵P，E分别为棱DD1，CC1的中点，则PE∥DC且PE＝DC，又∵AB∥DC且AB＝DC，则PE∥AB且PE＝AB，∴四边形ABEP为平行四边形，则AP∥BE，∵Q，E分别为棱BB1，CC1的中点，则C1E∥BQ且C1E＝BQ， 12345678910111213141516∴四边形BEC1Q为平行四边形，则BE∥C1Q，∴AP∥C1Q，同理可证，AQ∥C1P，∴经过点A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形AQC1P， 1234567891011121314151613.若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为____. 12345678910111213141516方法一令M为AC的中点，连接MB，MA1，由题意知△ABC是等边三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M， 12345678910111213141516所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，MA，MB，MA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1＝AC＝AB＝2， 12345678910111213141516设异面直线AC1与A1B所成的角为θ， 12345678910111213141516方法二如图所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角.连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°， 12345678910111213141516因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC.又BM⊂平面ABC， 12345678910111213141516 123456789101112131415162 12345678910111213141516取AD的中点O，连接A1O，因为AA1＝A1D，O为AD的中点，则A1O⊥AD，因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O⊂平面AA1D1D，所以A1O⊥平面ABCD，以O为坐标原点，过点O作AB的平行线为x轴，OD，OA1所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，A1(0,0，a)，C1(2,2，a)，D(0,1,0)， 12345678910111213141516取x＝a，则m＝(a，－a，－1)， 12345678910111213141516拓展冲刺练15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为_____；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为_____.90° 12345678910111213141516则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFGHKL，∴A1C⊥平面EFGHKL，∴直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为90°. 12345678910111213141516设直线D1B与平面EFGHKL所成的角为α，则 12345678910111213141516∵直线PQ⊂平面EFGHKL，∴直线D1B与直线PQ所成的角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL所成的角， 12345678910111213141516(1)求点C到平面C1MN的距离； 12345678910111213141516∴AB⊥AC，∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面ACC1A1，又CM⊂平面ACC1A1，∴AB⊥CM，∵M，N分别为AA1，BB1的中点，∴MN∥AB.∴CM⊥MN， 12345678910111213141516在Rt△AMC和Rt△MA1C1中，∵AM＝A1M＝4，AC＝A1C1＝4，∵MN∩C1M＝M，MN，C1M⊂平面MNC1，∴CM⊥平面C1MN， (2)试确定动点P的位置，使直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.12345678910111213141516 12345678910111213141516∵AA1⊥平面ABC，由(1)得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,8)，M(0,0,4)，B1(3,0,8)， 12345678910111213141516设平面BB1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 12345678910111213141516设直线MP与平面BB1C1C所成的角为θ，若m＝0，sinθ＝0，此时，点P与点A重合； 12345678910111213141516∴当P为AC1的中点时，直线MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大.