2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第七章立体几何与空间向量7.6空间向量的概念与运算课件

§7.6空间向量的概念与运算第七章　立体几何与空间向量 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 名称定义空间向量在空间中，具有______和_____的量相等向量方向_____且模_____的向量相反向量长度_____而方向_____的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____或______的向量共面向量平行于___________的向量1.空间向量的有关概念大小方向相同相等相等相反平行重合同一个平面 2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝________.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________，{a，b，c}叫做空间的一个基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc 3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝_______________.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉 向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________模|a|____________夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.()(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.()(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＝0.()(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()××√√ √ A.相交B.平行C.垂直D.不能确定√ 3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝____.10∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10. 探究核心题型第二部分 题型一空间向量的线性运算A.(2,3,3)B.(－2，－3，－3)C.(5，－2,1)D.(－5,2，－1)√ 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点， √ 用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.思维升华 A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)√ (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. 例2(1)下列命题正确的是A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc题型二空间向量基本定理及其应用√ 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a,c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a,c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误. (2)(多选)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√ 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确. 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O， A.2B.－2C.1D.－1√ 由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. √ 例3(1)(2022·长春模拟)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，则a·(b＋c)＝________.题型三空间向量数量积及其应用－12因为b＋c＝(5，－2，－1)，所以a·(b＋c)＝－1×5＋3×(－2)＋1×(－1)＝－12. (2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求线段AC1的长； 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1. ②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， ③求证：AA1⊥BD.所以AA1⊥BD. 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. √ ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC， (2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4). 因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)， 例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.题型四向量法证明平行、垂直(1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. 存在满足要求的点P，假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z). (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 跟踪训练4如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD； 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4).即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD. (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD. 又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD. 课时精练第三部分 1.已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于A.－6B.6C.－4D.412345678910111213141516√基础保分练若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4. 2.(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有A.若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c√12345678910111213141516√√ 12345678910111213141516对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；可得A，B，C，D四点共面，故C正确； 12345678910111213141516对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则a，b，c也是空间的一组基底. √12345678910111213141516 12345678910111213141516由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1， 123456789101112131415164.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是√ 12345678910111213141516同理可排除C，D； 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 D.向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)123456789101112131415166.(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是A.向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直B.向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面√√ 12345678910111213141516对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，即2a－b＝d，故B对； 12345678910111213141516 7.已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3).若l⊥α，则a＋b＝____.123456789101112131415162∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，∴a＋b＝2. 12345678910111213141516VA∥平面PMN 12345678910111213141516又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 9.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).(1)求|2a＋b|；123456789101112131415162a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 12345678910111213141516 10.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：(1)PB∥平面EFH；12345678910111213141516∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH. (2)PD⊥平面AHF.12345678910111213141516 12345678910111213141516建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0).∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF. 11.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D12345678910111213141516综合提升练√ 12345678910111213141516在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 12345678910111213141516如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 12345678910111213141516设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，可取m＝(2,2，－1)，同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)， 12345678910111213141516平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误. 12.(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN，则下列命题正确的是A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MC12345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)， 12345678910111213141516 对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确.12345678910111213141516 1234567891011121314151615 12345678910111213141516如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，因为底面边长为1，侧棱长为2， 12345678910111213141516又因为AB1⊥MN，解得λ＝15. 14.(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝_____，EF＝_____.12345678910111213141516 12345678910111213141516如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1， 12345678910111213141516 12345678910111213141516拓展冲刺练√ 12345678910111213141516由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)， 12345678910111213141516设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)， 12345678910111213141516∵平面DEF⊥平面PCE， 16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.12345678910111213141516(1)证明：AP⊥BC； 12345678910111213141516以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，过点O且垂直于平面DOP的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4). (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.证明：平面AMC⊥平面BMC.12345678910111213141516 12345678910111213141516又AM＝3，且点M在线段AP上， 12345678910111213141516又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，所以AP⊥平面BMC，所以AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.