2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第七章立体几何与空间向量7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课件

§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积第七章　立体几何与空间向量 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相且_____多边形互相且_____平行全等平行相似 侧棱___________相交于但不一定相等延长线交于_____侧面形状________________________平行且相等平行四边形一点三角形梯形一点 (2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，于底面相交于_____延长线交于______垂直一点一点 轴截面______________________________侧面展开图________________矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环 2.直观图(1)画法：常用.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的.斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变一半 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________2πrlπrlπ(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝____锥体S表＝S侧＋S底V＝Sh台体S表＝S侧＋S上＋S下球S表＝______Sh4πR2 1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.()(4)锥体的体积等于底面积与高之积.()×××× 1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是A.四棱台B.四棱锥C.四棱柱D.三棱柱√由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱. 2.下列说法正确的是A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行√由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形. 3.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为√设圆锥底面圆的半径为rcm，母线长为lcm，依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm). 探究核心题型第二部分 例1(多选)下列说法中不正确的是A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点题型一基本立体图形命题点1结构特征√√√ 由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确. 例2已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为命题点2直观图√ 方法二由题意知A′B′＝1， 命题点3展开图例3如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为A.12cmB.13cm√ 空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.思维升华 跟踪训练1(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为√ 根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示， (2)(多选)下列命题中不正确的是A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C.不存在每个面都是直角三角形的四面体D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等√√√ A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C不正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. √ 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr， 命题点1表面积例4(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A.8πB.4πC.8D.4题型二表面积与体积以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2，∴所得圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.√ √ 结合题目边长关系，三棱锥如图所示，由题意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD 命题点2体积例5(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为√ 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4， (2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为√ 如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又＝23＝8， 求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 跟踪训练2(1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨√ (2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为A.120cm2B.162.7cm2C.785.4cm2D.1570.8cm2√ 根据正六棱柱的底面边长为7cm，得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要绒布的面积为785.4cm2. 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练1.以斜边长为2的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为√ 2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是A.8B.16C.32D.6412345678910111213141516√根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为4，高为16， 3.(多选)下列说法不正确的是A.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体12345678910111213141516√√√ 12345678910111213141516选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确. 4.(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为12345678910111213141516设圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，如图.由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，√ 123456789101112131415165.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为√ 12345678910111213141516如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ，则由题意可得2π×4＝12θ，在△POP′中，OP＝OP′＝12，则小虫爬行的最短路程为 123456789101112131415166.(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(≈2.65)A.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m3√ 12345678910111213141516如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C. 7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为36，E为棱CC1上的点，且CE＝2EC1，则三棱锥E－BCD的体积是A.3B.4C.6D.1212345678910111213141516√ 8.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24平方米D.正四棱锥的侧面积为12平方米12345678910111213141516√√ 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a米.因为∠SHO＝30°，12345678910111213141516 123456789101112131415169.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为____.8 12345678910111213141516如图，连接AG，AD，则V六面体ABC－FEDG＝V四棱锥A－FEDG＋V四棱锥A－BCDG＝2V四棱锥A－FEDG，由题意得，EF＝2，DG＝4，FG＝AF＝2，∴V六面体ABC－FEDG＝8. 10.(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝3BD，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______.12345678910111213141516 12345678910111213141516设AB＝BD＝m，因为AC＝3AB＝3m，所以BC＝2m，则圆柱的侧面积S1＝2πr·BC＝4πm2， 11.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B－AMNC的体积为______.12345678910111213141516 如图，连接AN，对于三棱锥B－ACN，B－AMN，显然它们等底同高，故VB－ACN＝VB－AMN，而VB－ACN＝VN－ABC，注意到CN＝C1N，于是三棱锥N－ABC的高是三棱柱ABC－A1B1C1的一半，且它们都以△ABC为底面，12345678910111213141516 12.(2023·吕梁模拟)公园、旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图2是一个棱数为24的半正多面体，其棱长为，则该半正多面体的表面积为_________，体积为______.12345678910111213141516 12345678910111213141516已知该半正多面体的棱长为，则将其还原成一个正方体(图略)，该正方体的棱长为2， 13.(2022·徐州模拟)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是A.15πB.36πC.45πD.48π12345678910111213141516综合提升练√ 12345678910111213141516如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，因为MN平行于地面，故∠MNF＝30°，因为椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，故NF＝18－12＝6， 12345678910111213141516 1234567891011121314151614.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.等于√ 12345678910111213141516方法一由甲、乙两个圆锥的母线长相等，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1. 12345678910111213141516由勾股定理得，故选C. 12345678910111213141516方法二设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，由题意知n1＋n2＝2π， 故选C.12345678910111213141516 15.(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是12345678910111213141516拓展冲刺练√√√ 12345678910111213141516因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形， 如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC1的最小值为12345678910111213141516 16.(2023·榆林模拟)如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为cm2的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为_____________cm3.12345678910111213141516 12345678910111213141516设圆锥的底面半径为rcm，圆柱形冰块的底面半径为xcm，高为hcm， 12345678910111213141516