函数与导数 微专题(四)　导数与函数的零点问题

微专题(四)导数与函数的零点问题命题点(一)探求函数零点的个数[典例](2022·太原一模)已知函数f(x)＝xex－x－1.(1)求函数f(x)在区间[－1,1]上的最值；(2)讨论方程f(x)＝lnx＋m－2实根个数．[关键点拨]切入点求导，根据函数的单调性求最值隐藏点换元，令t＝xex，构造函数h(t)＝t－lnt＋1(t>0)迁移点再根据导函数求出单调性、最值，结合图象求解 [解](1)函数f(x)＝xex－x－1的定义域是R，f′(x)＝(x＋1)ex－1，令g(x)＝f′(x)＝(x＋1)ex－1，当x∈[－1,1]时，g′(x)＝(x＋2)ex>0，∴f′(x)在[－1,1]上单调递增．又x＝0时，f′(x)＝0，∴当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； ∴当t>2时，h(t)>2lnt－lnt＋1＝lnt＋1，又em>2，∴h(em)>m＋1>m，当0<t<1时，0<e－m<1，h(e－m)>－lne－m＋1＝m＋1>m，即h(t)＝m在(e－m,1)，(1，em)上分别有一个零点，而h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)＝m在(0,1)，(1，＋∞)上分别有一个零点，因此方程f(x)＝lnx＋m－2有2个实根． 求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤第一步将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题第二步利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象第三步结合图象求解 命题点(二)由函数零点的个数求参数[典例](2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．[关键点拨]切入点先算出切点，再求导算出斜率隐藏点求导，对a分类讨论迁移点对x分(－1,0)，(0，＋∞)两部分研究反思点本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明 ∵f(0)＝0，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点，不符合题意．当g(0)<0，即a<－1时，存在x1∈(－1，x0)，x2∈(0,1)，使得g(x1)＝g(x2)＝0，∴f(x)在(－1，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．∵f(0)＝0，∴f(x1)>f(0)＝0，当x→－1时，f(x)<0，∴f(x)在(－1，x1)上存在一个零点，即f(x)在(－1,0)上存在一个零点，∵f(0)＝0，当x→＋∞时，f(x)>0，∴f(x)在(x2，＋∞)上存在一个零点，即f(x)在(0，＋∞)上存在一个零点．综上，a的取值范围是(－∞，－1)． 已知函数零点个数求参数范围的策略(1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．(2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件．此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解． (2022·郑州二模)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝aex－x＋lna，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 命题点(三)隐零点问题近几年高考中隐零点问题也经常出现，该类问题主要是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合其他条件求解，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，题目的综合性较强，难度大. 隐零点问题求解三步曲(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 已知函数f(x)＝ln(2x＋1)＋2ax－4aex＋4，且a>0.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；(2)讨论函数f(x)的零点个数．