函数与导数微专题(七)　大题专攻——“函数与导数”大题的规范解题路径

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微专题(七)大题专攻——“函数与导数”大题的规范解题路径一、题型通法点拨：函数与导数问题重在“分”——分离、分解函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理．二、高频考法精研：有关x与ex，lnx的组合函数的解题技法有关x与ex，lnx的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，lnx有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. [例1]已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1. 技法三　借助lnx≤x－1或ex≥x＋1进行放缩[例3]已知函数f(x)＝xex－alnx(e为自然对数的底数，e＝2.718…)．(1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)当a＝－1时，设g(x)＝x[f(x)－xex]－x3＋x2－b，若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值．设h(x)＝(x2＋x)ex，x∈(0,1)，则h′(x)＝ex(x2＋3x＋1)，当x∈(0,1)时，x2＋3x＋1>0，则h′(x)>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以h(x)<h(1)＝2e，因此a≥2e，所以实数a的取值范围是[2e，＋∞)．(2)当a＝－1时，f(x)＝xex＋lnx，则g(x)＝xlnx－x3＋x2－b.由题意知，问题等价于方程b＝xlnx－x3＋x2在(0，＋∞)上有解．当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减．所以φ(x)max＝φ(1)＝0，即φ(x)≤0，也就是lnx≤x－1.由此可知k(x)＝xlnx－x3＋x2≤x(x－1)－x3＋x2＝－x(x2－2x＋1)≤0，又当x＝1时，k(x)max＝k(1)＝0，所以实数b的最大值为0.[反思领悟]本题第(2)问的求解中，法二借助不等式lnx≤x－1(x>0)进行放缩，使求解过程变得简洁，这种方法在求解涉及lnx的函数问题中经常用到，应注意掌握．

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所属：高考 - 二轮专题

发布时间：2024-04-29 16:20:01 页数：27

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文章作者：180****8757

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