函数与导数 微专题(二)　函数的方程及实际应用

[解析]当x>0时，f′(x)＝lnx，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以当x>0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤0时，f(x)＝f(x＋1)，所以根据周期为1可得x≤0时f(x)的图象，故f(x)的图象如图所示． [例2](2022·赣州二模)已知定义在R上的函数y＝f(x)，对任意x都满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝2x2，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为()A．12B．14C．15D．16[关键点拨]切入点令g(x)＝0，即f(x)＝ln|x|，问题转化为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|图象的交点个数问题障碍点利用函数值的大小判断函数y＝ln|x|与y＝f(x)是否有交点，准确作出y＝f(x)与y＝ln|x|的大致图象即可 [解析]∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是周期为2的周期函数．令g(x)＝f(x)－ln|x|＝0，则f(x)＝ln|x|，由题意得函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|的图象交点的个数．当－1≤x≤1时，f(x)＝2x2，在同一坐标系内画出函数y＝f(x)和函数y＝ln|x|的图象(如图所示)，结合图象可得两函数的图象有14个交点，∴函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为14.[答案]B 已知函数有零点求参数范围常用的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围分离参数法将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 1．(2022·吕梁一模)已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝______. 解析：不妨设x1<x2<x3，由图可得，|log2x1|＝|log2x2|＝－x3＋3∈(0,1)，所以log2x1＝－log2x2，即x1x2＝1，由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，得x3∈(2,3)，所以x1x2x3的取值范围是(2,3)．答案：(2,3) [关键点拨]切入点换元，令u＝f(x)隐藏点分a＝0，a≠0两种情况进行讨论迁移点由f(f(x))＝0可得出f(x)的值或取值范围 [关键点拨]切入点换元，设f(x)＝m隐藏点借助导数作出图象迁移点迁移为一元二次方程根的分布问题 嵌套函数与复合函数类似，但因无法直接求出方程的根，对f(x)换元后，构造出两个方程(函数)，结合基本函数的图象特点，通过研究基本方程解得存在情况，确定嵌套函数的根的情况，数形结合是求解的利器． ④当1<a<2时，函数f(x)的图象如图4所示：所以f(t)＝a有3个根t1，t2，t3，(0<t1<1，t2>1，t3<0)，而t1＝f(x)，t2＝f(x)，t3＝f(x)分别对应2,2,0个根，即共4个根，所以不满足题意；综上可得实数a的取值范围为ln2≤a<1或a＝2.故选D.答案：D 解析：令f(x)＝t，作出t＝f(x)，y＝g(t)图象如下：当a＝0时，t1＝－2，t2＝0. 答案：D 命题点(三)函数模型的实际应用[典例]2021年，中国航天再一次开启“超级模式”，五星红旗一次次闪耀太空，天和核心舱、神舟十二号、神舟十三号……中国航天人在浩瀚的星辰大海乘风破浪，逐梦苍穹，宇航员在飞船中执行任务时，水资源是非常有限的，要通过将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来，经过特殊的净水器处理成可用水，循环使用．假设净化水的过程中，每过滤一次相比过滤前均可减少20%的水中杂质，要使水中杂质少于原来的5%，则至少需要过滤的次数为(参考数据：lg2≈0.301)()A．10B．12C．14D．16 求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1．(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 解析：对于A，当T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026>lg103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B，当T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C，当T＝300，P＝9987，即lgP＝lg9987<lg104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D，当T＝360，P＝729，即lgP＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP＝lg729∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D.答案：D