2024届高三三角函数与解三角形专题5 解三角形中的最值与范围问题（原卷版）

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。二、边化角与角化边的变换原则1/10学科网（北京）股份有限公司 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2022·全国甲卷（理&文）T16AC1．已知ABC中，点D在边BC上，∠=°==ADB120,AD2,CD2BD．当取得最小值时，BD=．AB2022·新高考1卷cosABsin22．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．1sin++AB1cos2222πab+(1)若C=，求B；(2)求的最小值．32c2020·浙江卷3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinbAa−=30．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．2/10学科网（北京）股份有限公司 2019年全国Ⅲ卷·文·理T18AC+4．∆ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知asin=bAsin．2（1）求B；（2）若∆ABC为锐角三角形，且c=1，求∆ABC面积的取值范围．2018·北京卷3c5．若ABC的面积为222()acb+−,且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是.4a2018·江苏卷6．在ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，∠=°ABC120，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4ac+的最小值为．3/10学科网（北京）股份有限公司 重点题型·归类精讲题型一由不等式求最值角平分线相关π1．（多选）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠=ABC，内角B的平分线交AC于3点D且BD=3，则下列结论正确的是（）11A．+=1B．b的最小值是2acC．ac+3的最小值是43D．ABC的面积最小值是32．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①(bcabcabc+−)(++=)，②aCsin=3(cosaCb−)，③(2bc++=)cosAaCcos0中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.(1)求A；(2)若内角A的角平分线交BC于D点，且AD=3，求ABC的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知abc,,分别是ABC的三个内角ABC,,的对边，且aCcos+3sinaCbc−−=0.(1)求角A；(2)若D在边BC上且BD=DCAD,2=，求ABC面积的最大值.4/10学科网（北京）股份有限公司 浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟4．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若bAB(tan+=tan)2tancB，BC边的中线长为1．（1）求角A；（2）求边a的最小值．福建省厦门双十中学高三上学期期中5．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sinbA=3cosaBaB+sin.（1）求角B的大小；（2）设点D是AC的中点，若BD=3，求ac+的取值范围.定角定高6．如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AH=4，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值.ABHC5/10学科网（北京）股份有限公司 对式子变形后利用基本不等式求最值2227．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acsin(BC+++−=)acb0.22π4sinCA++3sin2(1)若A=，a=2，求ABC的面积；(2)求的最小值，并求出此时B的大小.26sinB湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研8．已知ABC的角ABC,,对边分别为abc,,，3cosaBbA−=sin0.(1)求∠B；(2)若ac+=2，求b的取值范围.题型二构造函数求范围π9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c=2，求2ab−的取值范围．32024届·雅礼中学月考（二）sin(AB−−)sin(AC)10．记锐角ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知=．cosBCcos11(1)求证：BC=；(2)若aCsin=1，求+的最大值．22ab6/10学科网（北京）股份有限公司 2023届河北省唐山市三模11．记ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知A为钝角，aBbBsin=cos.π(1)若C=，求A；(2)求cosABC++coscos的取值范围.612．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角ABC中，内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知2sinAc(cosBb+=cosC)3a.Aa=322(1)求；(2)若，求b++c3bc的取值范围.7/10学科网（北京）股份有限公司 2023届广东江门市一模11113．在锐角ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且，，依次组成等差数列.tanBsinAtanC222abc+(1)求的值；(2)若bc>，求的取值范围.2bca2024届常德市一中校考114．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bCcacos+=，请完成以下问题：2ABCc=122(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，，求ab+的取值范围．2024届长沙一中月考（一）ABC2215．在锐角中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且满足b−=aac.l(1)求证：BA=2；(2)设ABC的周长为l，求的取值范围.a8/10学科网（北京）股份有限公司 2024届长沙一中月考（二）16．ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为ABC的内心，记△OBC，OAC，OAB的面222积分别为S1，S2，S3，已知S1+−=S3SS13S2，AB=2.12cos−−AB12cos(1)在①aCcAcos+=cos1；②4sinsinBA+=cos2A1；③+=0中选一个作为条件，判断sinABsinABC是否存在，若存在，求出ABC的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若ABC为锐角三角形，求ABC面积的取值范围.sinAB+sin17．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=.cosAB+cos(1)求角C的大小；(2)若ABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.9/10学科网（北京）股份有限公司 18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=3，sinAaB+=sin23，则ABC周长的取值范围为.2024届河南省实验中学校考22sinAsinAC−sin19．在锐角ABC中，内角ABC,,所对的边分别为a，b，c，满足−=1，且AC.2sinCBsin(1)求证：BC=2；(2)已知BD是∠ABC的平分线，若a=4，求线段BD长度的取值范围.湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考2a20．在锐角ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且ABC的面积S=bc(1cos−A)，则的取值范围为bc44164323216A．,+∞B．,C．,D．,5515535351510/10学科网（北京）股份有限公司