2024届高三三角函数与解三角形专题3 解三角形大题第一问专练·13个类型练到位（有筛选，会带点难度）（原卷版）

专题3解三角形大题第一问专练·13个类型练到位目录高考真题回顾与梳理.........................................................................................................................................32023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时拆角...............................................................................32022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方余弦.......................................................32019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和变为第三个角.......................................................................4题型一正弦定理+和差公式..........................................................................................................................5类型1出现了3个角（拆角，正向使用和差公式）.............................................................................5类型2反向使用和差公式........................................................................................................................6类型3拆角后再用辅助角公式合并求角.................................................................................................6题型二用余弦定理.........................................................................................................................................8类型1出现了边的平方............................................................................................................................8类型2出现角的余弦（正弦走不通）.....................................................................................................9题型三多解问题分析....................................................................................................................................11题型四通过诱导公式统一函数名...............................................................................................................12题型五降幂，半角，二倍角.......................................................................................................................13类型1半角降幂扩角..............................................................................................................................13类型2余弦二倍角转变为1元二次方程...............................................................................................13题型六切化弦...............................................................................................................................................14题型七判断三角形的形状或验证角度之间的关系....................................................................................15题型七遇到两角之和化为第三个角...........................................................................................................17一、基本定理公式1/18学科网（北京）股份有限公司 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理222a=+−bc2bccosA；abc公式==2=R222b=+−ca2accosB；sinABsinsinC222c=+−ab2abcosC.222bca+−cosA=；(1)aRA=2sin，bR=2sinB，cR=2sinC2bc222abccab+−常见变形(2)sinA=，sinB=，sinC=；cosB=；2R2R2R2ac222abc+−cosC=.2ab（2）面积公式：111SABC=absinC=bcsinA=acsinB∆222abc1SABC==()a++⋅bcr（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）∆42R（3）二倍角公式2222sin2A=2sinAAcos，cos2AA=2cos−=−112sinAAA=cos−sin二、相关应用（1）正弦定理的应用①边化角，角化边⇔=abc::sinA:sinB:sinC②大边对大角大角对大边abAB>⇔>⇔sinA>sinB⇔cosA<cosBabc++ab+bc+ac+abc③合分比：=======2RsinABCABBCACA+sin++++sinsinsinsinsinsinsinsinsinBsinC（2）△ABC内角和定理（结合诱导公式）：ABC++=π①sinC=sin(AB+=)sincosAB+cossinAB⇔=caBbAcos+cos同理有：abCcB=cos+cos，bcAaC=cos+cos.②−cosC=cos(AB+=)coscosAB−sinAsinB；tanAB+tan③斜三角形中，−tanC=tan(AB+=)⇔++=⋅⋅tanABtantanCtanABtantanC1tan−⋅ABtanAB+CAB+C④sin()=cos；cos()=sin2222ππ2⑤在∆ABC中，内角ABC，，成等差数列⇔=B,AC+=.332/18学科网（北京）股份有限公司 （3）2倍角公式的扩角降幂2CC1cos+2CC1cos−cos=.，sin=2222C忘记了可以用二倍角公式推导:记=t，222则cosCtt=cos2=2cos−=−112sint221cos2+t221cos2−t故cos2tt=2cos−⇒1cost=，cos2t=12sin−⇒=ttsin22高考真题回顾与梳理2023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时拆角已知在ABC中，ABC+=3,2sin(AC−=)sinB，求sinA.2022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方余弦记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为31SSS123,,，已知SSS123−+=,sinB=，求ABC的面积.233/18学科网（北京）股份有限公司 2019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和变为第三个角AC+∆ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知asin=bAsin，求B24/18学科网（北京）股份有限公司 重点题型·归类精题型一正弦定理+和差公式类型1出现了3个角（拆角，正向使用和差公式）2bcC−3cos1．在ABC中，=，求A的值3acosAπ2．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcA=2sin+，求C.6bπ3．（2023·湛江一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2cos−C，求A.a35/18学科网（北京）股份有限公司 类型2反向使用和差公式4．（2023·重庆二模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosaABb⋅+coscos2A=−3cb，求角A5．（2024届·广州·阶段练习）已知ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cbcosBCC+=cos3cos，求sinC的值aa6．（2023届·荆门三校5月联考）在ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，且bca3a+=+，求tanBCtan.cosBcosCcosAcoscosBC类型3拆角后再用辅助角公式合并求角7．（2023届·深圳市一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6/18学科网（北京）股份有限公司 πbca+=2sinC+，求A.6sinBC+sin8．在ABC中，3sinCC+=cos，求A.sinA9．（2023·重庆三模）锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aCcos+=3sincAbc+，求A.10．（2023下·襄阳·三模）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且aCcos+=3sinaCbc+，求角A的大小；7/18学科网（北京）股份有限公司 题型二用余弦定理类型1出现了边的平方11．已知ABC内角ABC,,所对的边长分别为2222B.abc,,,22acosBb+=2abcosC++ac，求12．在∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2552sinaCBaAbBcos=−+sinsinbCsin，求b22023届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)13．在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,，已知ABC的面积为S，sinCAsin22且2S（+=）（a+b）sinA，求C的值sinBCsin8/18学科网（北京）股份有限公司 2023·广东省六校高三第四次联考14．已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAc(cosBb+−=+cosCc)sinBcsinCbsinB，求角A15．（2023·华中师大一附中期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知aAbBcCsin+=+sinsin2sinbA．求角C的大小tanB22216．（2023·福州·二模）记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bac−=2，求tanA的值类型2出现角的余弦（正弦走不通）17．（2023·广州二模）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bAaBbccos−=cos−,9/18学科网（北京）股份有限公司 求A.18．（2023·深圳二模）已知abc,,分别为ABC三个内角ABC,,的对边，且sin(AB−=)2sinC，证明:222abc=+2.19．（2023·广州一模）在ABC中，内角ABC,,的对边分别为abc,,，cbA=2,2sin=3sin2C，求sinC.2π20．（2022·佛山二模）记ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，B=，且3(sinABC+sin)sin+=cos2C1，求证53ac=10/18学科网（北京）股份有限公司 21．（2023·重庆·三模）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，22ac+sin(AB−=)tanCsinsinAB，求.2b22．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(bc−−)sin=sinBb(AC)，求角A.题型三多解问题分析23．(易漏解)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos(AB+=)0，求角C.11/18学科网（北京）股份有限公司 24．（2023上·肇庆·二模）在ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,.已知(bcAaBaC+−−=)coscoscos0，求角A.题型四通过诱导公式统一函数名π25．在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,.已知aBbsin=cosA−，求A的值626．（2023下·华中师大一附中5月压轴卷(一)·模拟预测）已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足a(sin2A−+=coscos)BCbACsinsin0，求角A的大小.π27．（2023下·台州·二模）在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,.已知aBbsin=cosA−，6bCcBcos=cos，求A的值.12/18学科网（北京）股份有限公司 题型五降幂，半角，二倍角类型1半角降幂扩角28．（2023·重庆八中二模）记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22CA3acbcos+=cos.证明：sinACB+=sin2sin22222CA329．在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，且(cosa+ccos)(a+−=cb)ac，求角B222的大小；类型2余弦二倍角转变为1元二次方程30．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A－3cos（B＋C）＝1，求角A的大小．13/18学科网（北京）股份有限公司 题型六切化弦长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届5月“一起考”sinBC+sin31．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanA=，求∠A.cosBC+cos32．（2023·青岛·三模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sincB=(2ac−)tanC，求角B.πsinC+333．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tanB=，求A.πsinC−614/18学科网（北京）股份有限公司 题型七判断三角形的形状或验证角度之间的关系34．（2023·黄冈中学·三模）在锐角ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,，满足22sinAsinAC−sin−=1，且AC，求证：BC=2.2sinCBsin35．已知在ABC中，角ABC,,的对边分别是abc,,，若tanBACCA(cos−=−cos)sinsin，求证：ABC为等腰三角形.2023·雅礼中学二模22ab−336．已知ABC的内角ABC,,对应的边分别为abc,,，ABC的面积为sinC，求证：sinAB=3sin415/18学科网（北京）股份有限公司 重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考（十）22Cc37．已知ABC的三内角A，B，C所对边分别是a，b，c，且满足sin=，证明：ABC是等腰24ab三角形38．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acbA+=2cos，证明：BA=2.39．在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cbAb−=2cos，求证：AB=2.2023届·武汉市华中师范大学第一附属中学5月压轴卷(二)40．ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,且sin(AB−=)cosCcossinB(AC−),判断ABC的形状；16/18学科网（北京）股份有限公司 题型七遇到两角之和化为第三个角AB+41．（2023·杭州二模）3sina=cAsin，求角C的大小.2AB+42．（2023·广东·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosb=cBsin，求2C43．（2023·广州一模）在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足BC+bcos=aBsin，求A.217/18学科网（北京）股份有限公司 sinA44．（2023·福州三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知=cos(AC+)sinC，ac=2，求B18/18学科网（北京）股份有限公司