2024届高三三角函数与解三角形专题3 解三角形大题第一问专练·13个类型练到位（有筛选，会带点难度）（解析版）

专题3解三角形大题第一问专练·共13个类型目录高考真题回顾与梳理.........................................................................................................................................32023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时拆角...............................................................................32022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方余弦.......................................................32019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和变为第三个角.......................................................................4题型一正弦定理+和差公式..........................................................................................................................6类型1出现了3个角（拆角，正向使用和差公式）.............................................................................6类型2反向使用和差公式........................................................................................................................7类型3拆角后再用辅助角公式合并求角.................................................................................................8题型二用余弦定理.......................................................................................................................................10类型1出现了边的平方..........................................................................................................................10类型2出现角的余弦（正弦走不通）...................................................................................................12题型三多解问题分析...................................................................................................................................14题型四通过诱导公式统一函数名...............................................................................................................15题型五降幂，半角，二倍角.......................................................................................................................16类型1半角降幂扩角..............................................................................................................................16类型2余弦二倍角转变为1元二次方程...............................................................................................17题型六切化弦...............................................................................................................................................17题型七判断三角形的形状或验证角度之间的关系....................................................................................19题型七遇到两角之和化为第三个角...........................................................................................................21一、基本定理公式1/22学科网（北京）股份有限公司 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理222a=+−bc2bccosA；abc公式==2=R222b=+−ca2accosB；sinABsinsinC222c=+−ab2abcosC.222bca+−cosA=；(1)aRA=2sin，bR=2sinB，cR=2sinC2bc222abccab+−常见变形(2)sinA=，sinB=，sinC=；cosB=；2R2R2R2ac222abc+−cosC=.2ab（2）面积公式：111SABC=absinC=bcsinA=acsinB∆222abc1SABC==()a++⋅bcr（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）∆42R（3）二倍角公式2222sin2A=2sinAAcos，cos2AA=2cos−=−112sinAAA=cos−sin二、相关应用（1）正弦定理的应用①边化角，角化边⇔=abc::sinA:sinB:sinC②大边对大角大角对大边abAB>⇔>⇔sinA>sinB⇔cosA<cosBabc++ab+bc+ac+abc③合分比：=======2RsinABCABBCACA+sin++++sinsinsinsinsinsinsinsinsinBsinC（2）△ABC内角和定理（结合诱导公式）：ABC++=π①sinC=sin(AB+=)sincosAB+cossinAB⇔=caBbAcos+cos同理有：abCcB=cos+cos，bcAaC=cos+cos.②−cosC=cos(AB+=)coscosAB−sinAsinB；tanAB+tan③斜三角形中，−tanC=tan(AB+=)⇔++=⋅⋅tanABtantanCtanABtantanC1tan−⋅ABtanAB+CAB+C④sin()=cos；cos()=sin2222ππ2⑤在∆ABC中，内角ABC，，成等差数列⇔=B,AC+=.332/22学科网（北京）股份有限公司 （3）2倍角公式的扩角降幂2CC1cos+2CC1cos−cos=.，sin=2222C忘记了可以用二倍角公式推导:记=t，222则cosCtt=cos2=2cos−=−112sint221cos2+t221cos2−t故cos2tt=2cos−⇒1cost=，cos2t=12sin−⇒=ttsin22高考真题回顾与梳理2023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时拆角已知在ABC中，ABC+=3,2sin(AC−=)sinB，求sinA.310【答案】10【详解】ABC+=3，π∴−=πCC3，即C=，4又2sin(AC−=)sinB=sin(AC+)，∴−=+2sinACcos2cossinACsinACcoscossinAC，∴=sinACcos3cossinAC，∴=sinAA3cos，π即tanA=3，所以0<<A，23310∴==sinA.10102022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方余弦记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为31SSS123,,，已知SSS123−+=,sinB=，求ABC的面积.232【答案】83/22学科网（北京）股份有限公司 3222【分析】先表示出SSS123,,，再由SSS123−+=求得acb+−=2，结合余弦定理及平方关系求得ac，2再由面积公式求解即可；1332222333333222【详解】由题意得S=⋅⋅=aaS,,=bS=c，则SSS−+=a−b+c=，123123224444442222222acb+−1即acb+−=2，由余弦定理得cosB=，整理得accosB=1，则cosB>0，又sinB=，2ac3212213212则cosB=1−=，ac==，则S=acsinB=ABC33cosB4282019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和变为第三个角AC+∆ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知asin=bAsin，求B2π【答案】B=3【详解】[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】AC+πB由三角形的内角和定理得=−，222AC+πB此时asin=bAsin就变为asin−=bAsin．222πBBB由诱导公式得sin−=cos，所以acos=bAsin．2222在ABC中，由正弦定理知a=2sin,RAb=2sinRB，BB此时就有sinAcos=sinsinAB，即cos=sinB，22BBBπ再由二倍角的正弦公式得cos=2sincos，解得B=．2223[方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB的值可得∠B的值】AC+由解法1得sin=sinB，222AC+1cos(−+AC)2两边平方得sin=sinB，即=sinB．222又ABC++=°180，即cos(AC+=)−cosB，所以1cos+=BB2sin，2进一步整理得2cosBB+cos−=10，1π解得cosB=，因此B=．23[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得ABC,,的比例关系】AC+AC+根据题意asin=bAsin，由正弦定理得sinsinA=sinsinBA，22因为0<<Aπ，故sinA>0，4/22学科网（北京）股份有限公司 AC+消去sinA得sin=sinB．2AC+AC+AC+0<B<π，0<<π，因为故=B或者+=Bπ，222AC+AC+而根据题意ABC++=π，故+=Bπ不成立，所以=B，22π又因为ABC++=π，代入得3B=π，所以B=.35/22学科网（北京）股份有限公司 重点题型·归类精题型一正弦定理+和差公式类型1出现了3个角（拆角，正向使用和差公式）2bcC−3cos1．在ABC中，=，求A的值3acosAπ【答案】62bcC−3cos2sinBCC−3sincos【详解】因为=，所以由正弦定理可得=3acosA3sinAcosA2sincosBA=3sincosAC+3sinCAcos=3sin(AC+=)3sinB3π因为sinB≠0，所以cosA=，因为A∈(0,π)，所以A=.26π2．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcA=2sin+，求C.6π【答案】6π解：因为bcA=2sin(+)，在△ABC中，由正弦定理得，6πsinB=2sinCAsin(+)，又因为sinB=sin()π−−=ACsinAC(+)，6π所以sin(AC+=)2sinCAsin(+),631展开得sinACcos+=cossinAC2sinCsinA+cosA22sinACcos−=3sinCAsin03因为sinA≠0，故cosCC=3sin,tanC=3π又因为C∈()0，π，所以C=6bπ3．（2023·湛江一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2cos−C，求A.a3π【答案】A=66/22学科网（北京）股份有限公司 πππ【详解】2cos−=C2coscosC+2sinsinCC=cos+3sinC，333b所以=cosCC+3sin，故b=3sinaCaC+cos．a由正弦定理得sinB=3sinsinAC+sinACcos，又B=−+π(AC)，所以sinB=sinπ−+=(AC)sin(AC+=)3sinsinAC+sinACcos，故sinACcos+=+cossinACsinACcos3sinsinAC，3πC∈(0,π)，sinC≠0，所以cosAA=3sin，即tanA=，A∈(0,π)，故A=．36类型2反向使用和差公式4．（2023·重庆二模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosaABb⋅+coscos2A=−3cb，求角Aπ【答案】(1)A=6【详解】因为2cosaABb⋅+coscos2A=−3cb，所以2coscosaABb+(cos2A+=1)3c，2即2coscosaABbAc+=2cos3,2由正弦定理得2sinAABcoscos+=2sinBAcos3sinC，2cosAABBA(sincos+=sincos)3sinC，2cossinA(AB+=)3sinC，即2cossinAC=3sinC，且sinC>0，3π所以cosA=，A∈(0,π)，则A=265．（2024届·广州·阶段练习）已知ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cbcosBCC+=cos3cos，求sinC的值aa22【答案】3【分析】已知等式利用正弦定理边化角,或利用余弦定理角化边,化简可求sinC的值；cb【详解】（1）解法一：由cosBCC+=cos3cos，得cBbCaCcos+=cos3cos．aaabc由正弦定理==得sinCBBCcos+=sincos3sinACcos，sinABCsinsin所以sin(BC+=)3sinACcos，由于ABC++=π，所以sin(BC+=)sin(π−=A)sinA，则sinA=3sinACcos．7/22学科网（北京）股份有限公司 1因为0<<Aπ，所以sinA≠0，cosC=．3222因为0<<Cπ，所以sinCC=1cos−=．3cb解法二：由cosBCC+=cos3cos，得cBbCaCcos+=cos3cos．aa222222acb+−abc+−所以由余弦定理得c⋅+⋅b=3cosaC，22acab1化简得aaC=3cos，即cosC=，3222因为0<<Cπ，所以sinCC=1cos−=．36．（2023届·荆门三校5月联考）在ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，且bca3a+=+，求tanBCtan.cosBcosCcosAcoscosBC1【答案】tantanBC=2bca3a【详解】因为+=+，cosBcosCcosAcoscosBCbCcBaBCaAcos++coscoscos3cos所以=，即(bCcBAaBCcos+=+cos)cos(coscos3cosA)，coscosBCcoscoscosABC由正弦定理得(sincosBCCBAABC+=+sincos)cossin(coscos3cosA)，所以sin(BC+=)cosAsinABC(coscos+3cosA)，即sincosAAABC=sin(coscos+3cosA)，0<<Aπ，则sinA>0，故coscosBC+=2cosA0，即coscosBC−2cos(BC+=)0，也即coscosBC−+=2coscosBC2sinsinBC0，∴=2sinsinBCcoscosBC，1所以tantanBC=.2类型3拆角后再用辅助角公式合并求角7．（2023届·深圳市一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知πbca+=2sinC+，求A.6π【答案】A=点评：拆角+辅助角公式3【解析】（1）由已知得，bc+=3sinaCaC+cos，8/22学科网（北京）股份有限公司 由正弦定理可得，sinBC+=sin3sinsinAC+sinACcos，因为ABC++=π，所以sinB=sin(AC+=)sinACcos+cossinAC．代入上式，整理得cossinAC+=sinC3sinsinAC，π1又因为C∈(0,π)，sinC≠0，所以3sinAA−=cos1，即sinA−=．62πππ5πππ而−<−<A，所以A−=，A=．666663sinBC+sin8．在ABC中，3sinCC+=cos，求A.sinAπ【答案】A=3sinBC+sin【详解】在ABC中,3sinCC+=cos，sinA整理得3sinCAsin+sinACcos=sinB+sinC=sin(AC++)sinC，即3sinCAACACsin+=++sincossincoscossinACCsin，于是所以3sinsinCA=cossinACC+sin，因为sinC≠0，所以3sinAA−=cos1，即311sinAA−=cos，222π1ππ5π所以sinA−=，又因为0<<Aπ，所以A−∈−,，62666πππ所以A−=，解得A=.点评：拆角+辅助角公式6639．（2023·重庆三模）锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aCcos+=3sincAbc+，求A.π【答案】A=3【详解】aCcos+3sincAbc=+⇒sinACcos+3sinCAsin=sinB+sinC⇒sinACcos+3sinCAsin=sin(AC++)sinC⇒3sinCACAsin=sin(cos+1)ππ∵ABC、、∈0,，∴sinC≠⇒03sinA−cosA==12sinA−，26ππππππ而A−∈−,⇒−=⇒=AA.66366310．（2023下·襄阳·三模）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且9/22学科网（北京）股份有限公司 aCcos+=3sinaCbc+，求角A的大小；π【答案】A=3【详解】由aCcos+=3sinaCbc+及正弦定理，得sincosAC+=3sinsinACsinBC+sin即sincosAC+3sinsinAC=sinπ−++(AC)sinC，3sinsinAC=cossinACC+sin,因为sinC≠0π1所以3sinAA=cos+1，即sinA−=.62ππ5ππππ由于0<<−<−<AAπ,，所以A−=，A=.666663题型二用余弦定理类型1出现了边的平方11．已知ABC内角ABC,,所对的边长分别为2222B.abc,,,22acosBb+=2abcosC++ac，求解：（1）由余弦定理得22222222222acosBbabcac+=+−++，即22aBacos=2，2π所以cosB=，又B∈(0,π)，则B=.2412．在∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2552sinaCBaAbBcos=−+sinsinbCsin，求b；2【答案】45225解：(1)因为2asinCcosB=−+asinAbsinBbsinC由正弦定理得2accosB=−+abbc22222acb+−225由余弦定理得2ac⋅=−+abbc22ac5所以cb=a又因为c=25,所以b=42023届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)13．在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,，已知ABC的面积为S，10/22学科网（北京）股份有限公司 sinCAsin22且2S（+=）（a+b）sinA，求C的值sinBCsinπ【答案】(1)；31【详解】在ABC中，由三角形面积公式得:S=bcsinA，21ca22由正弦定理得：2×bcsinA+=+(ab)sinA，2bc222222abc+−1π整理得：a+−=bcab，由余弦定理得：cosC==，又0<<Cπ，故C=．22ab32023·广东省六校高三第四次联考14．已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAc(cosBb+−=+cosCc)sinBcsinCbsinB，求角A2【答案】A=π3222222acb+−abc+−【详解】由余弦定理得cBbCccos+cos=×+×b=a，22acab所以sinAc(cosBb+−=+cosCc)sinBcsinCbsinB，可化为aAcBcCbBsin−=+sinsinsin，222222再由正弦定理得a−=+cbcb，得c+−=ba−bc，2222bca+−1所以cosA==−，因为A∈(0,π)，所以A=π22bc315．（2023·华中师大一附中期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知aAbBcCsin+=+sinsin2sinbA．求角C的大小；π【答案】；4【详解】已知aAbBcCsin+=+sinsin2sinbA，222222由正弦定理可得a+=+bc2ab，即a+−=bc2ab，222a+−bc22ab所以cosC===，2ab22abπ因为C∈(0,π)，所以C=．4tanB22216．（2023·福州·二模）记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bac−=2，求tanA的值11/22学科网（北京）股份有限公司 tanB【答案】=−3tanA222【详解】由余弦定理可得b=+−ca2accosB，代入222c22+−a2accosB−=a222c，化简得2bac−=2，得到()c+=2accosB0，即caB+=2cos0.由正弦定理可得sinC+=2sincosAB0，即sin(AB++)2sincosAB=0，展开得sincosABAB++=cossin2sincosAB0，tanB即3sincosAB=−cossinAB，所以=−3tanA类型2出现角的余弦（正弦走不通）17．（2023·广州二模）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bAaBbccos−=cos−,求A.π【解答】A=3解：因为bAaBbccos−=cos−，222222bca+−acb+−由余弦定理可得b⋅−⋅a=−bc，22bcac222bca+−1222化简可得b+−=cabc，由余弦定理可得cosA==，22bcπ因为0<<Aπ，所以，A=.318．（2023·深圳二模）已知abc,,分别为ABC三个内角ABC,,的对边，且sin(AB−=)2sinC，证明:222abc=+2.【详解】（1）由sin(AB−=)2sinC=2sin(AB+)，得sinABcos−=+cossinAB2sinABcos2cossinAB，则sinABcos+=3cossinAB0，222222acb+−bca+−由正弦定理和余弦定理得ab⋅+⋅30=，22acbc222化简得abc=+219．（2023·广州一模）在ABC中，内角ABC,,的对边分别为abc,,，cbA=2,2sin=3sin2C，求sinC.14【答案】4【详解】因为2sinAC=3sin2，所以2sinA=6sinCCcos，所以2acC=6cos，即acC=3cos，12/22学科网（北京）股份有限公司 a所以cosC=，3c由余弦定理及cb=2得：22222222abcabbab+−+−43−cosC===，222abababaa又cosC==，36cb22aba−322所以=⇒=29ab，26abb32即ab=，232b所以a22，cosC===664bb22214所以sinCC=1cos−=1−=.442π20．（2022·佛山二模）记ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，B=，且3(sinABC+sin)sin+=cos2C1，求证53ac=【详解】证明：(sinABC+sin)sin+=cos2C12∴(sinABC+sin)sin+−12sinC=12∴(sinABC+=sin)sin2sinCsinC≠0∴sinABC+=sin2sin，即abc+=2222222acb+−1acb+−由余弦定理得cosB=，即−=2ac22ac2221ac+−−(2ca)−=22ac整理可得53ac=.21．（2023·重庆·三模）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，22ac+sin(AB−=)tanCsinsinAB，求.2b【答案】3【详解】因为sin(AB−=)tanCsinsinAB，sinC所以sin(AB−=)sinsinAB，所以sin(ABC−=)sinsinsinABCcos，cosC即sinABCcossin−=cossinsinABCsinsinABCcos，由正弦定理可得accosBbc−=cosAabcosC，222222222acb+−bca+−abc+−由余弦定理可得ac⋅−⋅bc=⋅ab，222acbcab13/22学科网（北京）股份有限公司 222222222所以acbbcaabc+−−−+=+−，222即acb+=3，22ac+所以=3.2b22．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(bc−−)sin=sinBb(AC)，求角A.π【答案】A=3【详解】(bcBb−=−)sinsin(AC)，所以(bcBb−=)sin(sinACcos−cossinAC)，2222222abcbca+−+−22所以b−=bcabcosCbc−cosA=−=−ac，221222cosA=，又a=+−bc2bccosA，所以2π因为A∈(0,π)，所以A=．3题型三多解问题分析23．(易漏解)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos(AB+=)0，求角C.ππ2π【答案】（1）C=或或233【分析】根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角C的大小；【详解】因为sin2C+3cos(AB+=)0，且ABC++=π，所以sin2C+3cos(AB+=)sin2C+3cos(π−=C)2sinCCcos−3cosC=0，即2sinCCcos=3cosC，3所以cosC=0或sinC=，2ππ2π解得C=或或.23324．（2023上·肇庆·二模）在ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,.已知(bcAaBaC+−−=)coscoscos0，求角A.π【答案】(1)A=314/22学科网（北京）股份有限公司 【详解】由条件及正弦定理可得：(sinBCAABAC+−−=sin)cossincossincos0，即sincosBABACACA−+−=cossinsincoscossin0故sin(BA−+)sin(CA−=)0，则有sin(BA−=)sin(AC−)，又BA−∈−(ππ,,)CA−∈−(ππ,)，故有BAAC−=−，或(BAAC−+−=)()π（舍去），或(BAAC−+−=)()−π（舍去），则BCA+=2，又ABC++=π，π所以A=3题型四通过诱导公式统一函数名π25．在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,.已知aBbsin=cosA−，求A的值6π【答案】3ππ【详解】因为aBbsin=cosA−，所以由正弦定理可得:sinsinAB=sincosBA−，66π在三角形ABC中，ABC、、∈(0，π)，显然sinB≠0，所以sinAA=cos−，6πππππππ5π所以cos−=AAcos−，又因为−∈−AA,,−∈−,，26222666πππππ所以−=−AA或−+−=AA0（显然不成立），所以A=2626326．（2023下·华中师大一附中5月压轴卷(一)·模拟预测）已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足a(sin2A−+=coscos)BCbACsinsin0，求角A的大小.π【答案】2【详解】（1）由正弦定理知，sin(sin2AA−+coscos)sinsinsinBCBAC=0，∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，∴sin2ABCBC−+=coscossinsin0，π化简得sin2A=coscosBC−sinsinBC=cos(BC+=)cos(π−=AA)sin−，2πππA∈(0,π)，∴+−=2AAπ（其中2AA=−舍去），即A=．22215/22学科网（北京）股份有限公司 π27．（2023下·台州·二模）在ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,.已知aBbsin=cosA−，6bCcBcos=cos，求A的值.π【答案】3ππ【详解】因为aBbsin=cosA−，所以由正弦定理可得:sinsinAB=sincosBA−，66π在三角形ABC中，ABC、、∈(0，π)，显然sinB≠0，所以sinAA=cos−，6πππππππ5π所以cos−=AAcos−，又因为−∈−AA,,−∈−,，26222666πππππ所以−=−AA或−+−=AA0（显然不成立），所以A=26263题型五降幂，半角，二倍角类型1半角降幂扩角28．（2023·重庆八中二模）记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22CA3acbcos+=cos，证明：sinACB+=sin2sin222【详解】22CA3a(1cos+Cc)++(1cosA)3因为acbcos+=cos，则=b，22222即acaCcAb++cos+cos=3，由正弦定理可得3sinBACACACACA=++sinsin(sincos+cossin)=+++sinsinsin(C)=++−=++sinACsinsin(πBACB)sinsinsin，因此，sinACB+=sin2sin.22CA329．在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，且(cosa+ccos)(a+−=cb)ac，求角B222的大小；π【答案】B=316/22学科网（北京）股份有限公司 22CA【解答】解：（1）因为(cosa+ccos)(acb+−)22a(1cos)++Cc(1cos)A=(+)(acb+−)22acaCcA++(cos+cos)=()acb+−2(acbacb++)(+−)=2222a+−+cb2ac=23=ac，2222⇒+−=acbac，1⇒=cosB，2π⇒=B．3类型2余弦二倍角转变为1元二次方程30．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A－3cos（B＋C）＝1，求角A的大小．π【答案】A=点评：解一元二次方程32由cos2A－3cos（B＋C）＝1，得2cosA＋3cosA－2＝0，1即（2cosA－1）（cosA＋2）＝0，解得cosA＝或cosA＝−2（舍去）．2题型六切化弦长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届5月“一起考”sinBC+sin31．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanA=，求∠A.cosBC+cosπ【答案】A=3sinBC+sinsinABCsin+sin【详解】因为tanA=，所以=，cosBC+coscosABCcos+cos所以sinABACcos+=+sincoscossinABcossinAC，所以sinABcos−=−cossinABcossinACACsincos，17/22学科网（北京）股份有限公司 所以sin(AB−=)sin(CA−)，因为ABC,,∈(0,π)，所以AB−∈−(π,π)，CA−∈−(π,π)，所以ABCA−=−或ABCA−+−=π，π当ABCA−=−时，又ABC++=π，所以A=，3π当ABCA−+−=π时，CB−=π，显然不满足，综上，A=.332．（2023·青岛·三模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sincB=(2ac−)tanC，求角B.π【答案】B=3sinC【详解】（1）∵2sincB=(2ac−)tanC，所以2sinCBsin=−⋅(2sinACsin)，cosCsinC≠0，则2sinBCcos=2sinA−sinC=2sin(BC+−)sinC=+−2(sinBCcoscossin)sinBCC，1π整理得2sincosCBC=sin，又sinC≠0，∴cosB=，而B∈(0,π)，∴B=23πsinC+333．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tanB=，求A.πsinC−6π【答案】A=（补充：可以考虑换元）3ππsinC+sinC+3sinB3【解析】由tanB=得=，πcosBπsinC−sinC−66ππ所以sinsinBC−=cossinBC+，633113所以sinBCCBCsin−=coscossin+cosC，2222所以sinB(3sinCC−=cos)cosBC(sin+3cosC)，所以sinCBCBcos++cossin3cos(CBCBcos−=sinsin)0，所以sin(BC++)3cos(BC+=)0，18/22学科网（北京）股份有限公司 所以tan(BC+=)−3，即tanA=3，π因为A∈(0,π)，所以A=.3题型七判断三角形的形状或验证角度之间的关系34．（2023·黄冈中学·三模）在锐角ABC中，内角ABC,,所对的边分别为abc,,，满足22sinAsinAC−sin−=1，且AC，求证：BC=2.2sinCBsin22sinACAC−−sinsinsin1sinAC+sin【详解】由题意得=，即=．22sinCBsinsinCBsin22所以sinB=sinC+sinsinAC，22222由正弦定理得b=c+ac，又由余弦定理得b=+−ac2accosB，所以cacB=−2cos，故sinCA=sin−2sinCBcos，故sinC=sin(BC+−)2sinCBcos，整理得sinC=sin(BC−)．ππππ又ABC为锐角三角形，则C∈0,，B∈0,，BC−∈−,，2222所以CBC=−，因此BC=2．35．已知在ABC中，角ABC,,的对边分别是abc,,，若tanBACCA(cos−=−cos)sinsin，求证：ABC为等腰三角形.【详解】根据已知条件有：tanBACCA(cos−=−cos)sinsin，整理化简可得：sincosBACBCB−=cossinsincos−sincosAB，∴+=+sincosBAABCBCBsincossincoscossin，∴sin(AB+=)sin(BC+∴=),sinCsinA，∴=AC或AC=π−（舍去），故ABC为等腰三角形.2023·雅礼中学二22ab−336．已知ABC的内角ABC,,对应的边分别为abc,,，ABC的面积为sinC，求证：sinAB=3sin42213ab−22【详解】S=absinC=sinC，则23ab=a−b，2422即a−−=230abb，即(abab+−=)(30)，故ab=3，由正弦定理得sinAB=3sin.19/22学科网（北京）股份有限公司 重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考（十）22Cc37．已知ABC的三内角A，B，C所对边分别是a，b，c，且满足sin=，证明：ABC是等腰24ab三角形；222Cc1cos−Cc【详解】（1）由sin=，可得=，24ab24ab222abc+−2由余弦定理可得21ab−=c，2ab2整理得()0ab−=，所以ab=，ABC是等腰三角形.38．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acbA+=2cos，证明：BA=2；【详解】（1）由题意：abc因为正弦定理：==，sinABCsinsin所以对于acbA+=2cos，有sinCA+=sin2sinBAcos，∴sin(AB+=)2sinBAcos−sinA整理得：sinABBAcos−=sincos−sinA，所以，sin(AB−=−)sin(A)，因为A，B，C为ABC的三个角，所以ABA−=−，得BA=2.39．在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cbAb−=2cos，求证：AB=2.【详解】因为cbAb−=2cos，由正弦定理得sinC−=2sincosBABsin又ABC++=π，所以sin(AB+−)2sincosBAABAB=sincos−cossin=sin(AB−=)sinBππππ因为ABC为锐角三角形，所以A∈0,，B∈0,，AB−∈−,2222ππ又yx=sin在−,上单调递增，所以ABB−=，即AB=2222023届·武汉市华中师范大学第一附属中学5月压轴卷(二)40．ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,且sin(AB−=)cosCcossinB(AC−),判断ABC的形状；【答案】直角三角形或等腰三角形．【详解】由题意：(sincosAB−cossinABC)cos=cosB⋅−(sincosACcossinAC)，整理得cosA⋅(cossinBC−sinBCcos)=cosA⋅sin(CB−=)0，故cosA=0或sin(CB−=)0，20/22学科网（北京）股份有限公司 π因为0<<−<−<Aπ,πCBπ，所以A=或BC=，2∴ABC为直角三角形或等腰三角形．题型七遇到两角之和化为第三个角AB+41．（2023·杭州二模）3sina=cAsin，求角C的大小.22π【答案】3AB+πCC3sina=cAsin⇒3sinsinA−=sinCAsin⇒3cos=sinC2222CCCCC3Cπ2π3cos=2sincos⇒=32sin⇒sin=⇒=⇒=C222222233AB+42．（2023·广东·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosb=cBsin，求2Cπ【答案】(1)C=3bcAB+【详解】由正弦定理=，得3sinBcos=sinCBsin，sinBCsin2AB+因为B∈(0,π)，则sinB≠0，所以3cos=sinC，2AB+πCC因为ABC++=π，所以cos=cos−=sin．2222CCC所以3sin=2sincos．222CπCC3因为C∈(0,π)，则∈0,，可得sin≠0，所以cos=，22222Cππ则=，所以C=．26343．（2023·广州一模）在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足BC+bcos=aBsin，求A.22π【答案】A=321/22学科网（北京）股份有限公司 BC+πAA【详解】cos=cos(−=)sin，2222A所以bsin=aBsin，2A由正弦定理得：sinsinB=sinsinAB，2AsinB≠0，∴=sinsinA，2AAAAAπ∴=sin2sincos，A∈(0,π),∈∴≠0,sin0，222222A1Aπ2π得cos=，即=，∴=A.22233sinA44．（2023·福州三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知=cos(AC+)sinC，ac=2，求B2π【答案】3sinAAsin【详解】（1）=+cos(ACC)sin，∴=cos(π-BC)sin，aasinACsin∴=−cossinBC，∴=−cossinBC，ac12π∴−=cosBB，∈(0,π),∴=B2322/22学科网（北京）股份有限公司