2024中考数学第一轮专题复习： 锐角三角函数及其应用（解析版）

锐角三角函数及其应用(60题)一、解答题1(2023·河南·统考中考真题)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF=11m，BH=20cm．求树EG的高度(结果精确到0.1m)．【答案】树EG的高度为9.1m【分析】由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG=1.8m，易知∠EAF=∠BAH，可得EF222tan∠EAF==tan∠BAH=，进而求得EF=m，利用EG=EF+FG即可求解．AF33【详解】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG=1.8m，则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°，∴∠EAF=∠BAH，∵AB=30cm，BH=20cm，BH2则tan∠BAH==，AB3EF2∴tan∠EAF==tan∠BAH=，AF3EF2∵AF=11m，则=，11322∴EF=m，322∴EG=EF+FG=+1.8≈9.1m，3答：树EG的高度为9.1m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到∠EAF=∠BAH是解决问题的关键．2(2023·四川宜宾·统考中考真题)渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD=200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的长度．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)·1· 【答案】CD的长度54米【分析】AD上截取AE，使得AE=EC，设CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x，则AD=AE+ED=3+2x，进而即可求解．【详解】解：如图所示，AD上截取AE，使得AE=EC，∴∠EAC=∠ECA，∵∠CAD=15°∴∠CED=2∠EAC=30°，设CD=x，在Rt△ECD中，ED=3x，EC=2x∴AD=AE+ED=3+2x又AD=200∴200=3+2x200∴x==2002-3≈200×2-1.73=543+2即CD=54米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．3(2023·辽宁·统考中考真题)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)(1)求登山缆车上升的高度DE；(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min)(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)【答案】(1)登山缆车上升的高度DE=450m(2)从山底A处到达山顶D处大约需要19.4min【分析】(1)过B点作BC⊥AF于C，BE⊥DF于E，则四边形BEFC是矩形，在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形的性质求得BC的长，据此求解即可；(2)在Rt△BDE中，求得BD的长，再计算得出答案．【详解】(1)解：如图，过B点作BC⊥AF于C，BE⊥DF于E，则四边形BEFC是矩形，·2· 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=300m，1∴EF=BC=AB=150m，2∴DE=DF-EF=600-150=450m，答：登山缆车上升的高度DE=450m；(2)解：在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=53°，DE=450m，DE450∴BD===562.5m，sin53°0.8∴从山底A处到达山顶D处大约需要：300562.5+=19.375≈19.4min，3060答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4min.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．4(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园--“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°、∠BAD=53°，AB=18m．求“龙”字雕塑CD的高度．(B，C，D三点共线，BD⊥AB．结果精确到0.1m)(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)【答案】“龙”字雕塑CD的高度为9.9m．【分析】在Rt△ABC和Rt△ABD中，分别求得BC和BD的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt△ABC中，AB=18m，∠BAC=38°，∴BC=ABtan38°≈0.78×18=14.04m，在Rt△ABD中，AB=18m，∠BAD=53°，∴BD=ABtan53°≈1.33×18=23.94m，·3· ∴CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9m,答：“龙”字雕塑CD的高度为9.9m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)？(参考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84．)【答案】B处距离灯塔P大约有148nmile．【分析】在Rt△APC中，求出PC的长，再在Rt△PBC中，求出BP即可．【详解】解：设AB与灯塔P的正东方向相交于点C，根据题意，得∠A=72°，∠B=40°，AP=100nmile；在Rt△APC中，PC∵sinA=，AP∴PC=AP⋅sin72°=100×0.95=95；在Rt△BPC中，∠B=40°，PC∵sinB=，PBPC95∴PB==≈148nmile，sin40°0.64答：B处距离灯塔P大约有148nmile．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．6(2023·湖北·统考中考真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)·4· 【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△DEC中，利用正弦函数求得DE=6.2，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20，∠C=18°，DE=CD⋅sin∠C=20×sin18°≈20×0.31=6.2．∴AF=DE=6.2．AF3∵=，BF42255∴在Rt△ABF中，AB=AF+BF=AF=×6.2≈10(米)．33答：斜坡AB的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7(2023·湖南张家界·统考中考真题)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)【答案】110m【分析】延长BA，交PQ的延长线于点C，根据题意得出BC=225m，PQ=200m，再由等腰直角三角形得出CQ=BC=225m，然后解直角三角形即可．【详解】解：延长BA，交PQ的延长线于点C，则∠ACQ=90°由题意得，BC=225m，PQ=200m，·5· 在Rt△BCQ中，∠BQC=45°，则CQ=BC=225m∴PC=PQ+CQ=425m，ACAC在Rt△PCA中，tan∠APC=tan15°==≈0.27，PC425解得AC≈114.75m，AC=BC-AC=225-114.75=110.25≈110m∴奇楼的高度AB约为110m．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．8(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE,BC⊥BE,CD∥BE，AC=10.4m,BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？(结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)【答案】楼AE的高度为11m【分析】延长CD交AE于点F，依题意可得EF=BC=1.26m，在Rt△ACF，根据AF=AC⋅sin∠ACF，求得AF，进而根据AE=AF+EF，即可求解．【详解】解：如图所示，延长CD交AE于点F，∵AE⊥BE,BC⊥BE,CD∥BE，∴EF=BC=1.26m在Rt△ACF中，∠ACF=70°，AC=10.4m，AF∵sin∠ACF=，AC∴AF=AC⋅sin∠ACF=10.4×sin70°≈10.4×0.94=9.776m∴AE=AF+EF=9.776+1.26≈11m，答：楼AE的高度为11m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．9(2023·广东·统考中考真题)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC=10m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)【答案】15.3m【分析】连接AB，作作CD⊥AB于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，AB=2AD，∠ACD=·6· 1AD∠ACB=50°，在Rt△ACD中利用sin∠ACD=求出AD，继而求出AB即可．2AC【详解】解：连接AB，作CD⊥AB于D，∵AC=BC，CD⊥AB，∴CD是边AB边上的中线，也是∠ACB的角平分线，1∴AB=2AD，∠ACD=∠ACB=50°，2AD在Rt△ACD中，AC=10m，∠ACD=50°，sin∠ACD=ACAD∴sin50°=，10∴AD=10sin50°≈10×0.766=7.66∴AB=2AD≈2×7.66=15.32≈15.3m答：A，B两点间的距离为15.3m．【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．10(2023·湖南·统考中考真题)我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图(九)，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°．9s，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°．求火箭从P到Q处的平均速度(结果精确到1m/s)．(参考数据：sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42)【答案】火箭从P到Q处的平均速度为294m/s【分析】根据题意得出∠PAO=23°，∠QAO=45°，∠QOA=90°，AP=5000m，分别解Rt△AOP，Rt△AOQ，求得OQ,OP，进而根据路程除以时间即可求解．【详解】解：依题意，得∠PAO=23°，∠QAO=45°，∠QOA=90°，AP=5000m，在Rt△AOP中，AO=AP⋅cos∠PAO=5000×cos23°≈5000×0.92=4600m，OP=AP⋅sin∠PAO=5000×sin23°≈5000×0.39=1950m，在Rt△AOQ中，OQ=AO⋅tan∠QAO=4600×tan45°=4600m，∴QP=OQ-OP=4600-1950=2650m，QP2650∴火箭从P到Q处的平均速度为=≈294m/s，99·7· 答：火箭从P到Q处的平均速度为294m/s．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC=32°．(1)求∠GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)【答案】(1)58°(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；(2)延长OA,ED交于点M，根据题意得出∠ADM=32°，解Rt△ADM，求得AM，根据OM=OA+AM与3比较即可求解．【详解】(1)解：∵CG⊥CD，∴∠ACG=90°，∵∠AGC=32°，∴∠GAC=90°-32°=58°．(2)该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长OA,ED交于点M，∵OA⊥OB,DE∥OB，∴∠DMA=90°，又∵∠DAM=∠GAC=58°，∴∠ADM=32°，在Rt△ADM中，AM=ADsin32°≈0.8×0.53=0.424，∴OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924<3，∴该运动员能挂上篮网．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．12(2023·浙江台州·统考中考真题)教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°．黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长．(结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)·8· 【答案】AC的长约为80cm【分析】在Rt△ABC中，由AC=AB⋅tan33.7°，再代入数据进行计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=120，∠BAC=90°，∠B=33.7°，∴AC=AB⋅tan33.7°≈120×0.67=80.4≈80cm．∴AC的长约为80cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．13(2023·湖南怀化·统考中考真题)为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB=35m，测角仪的高度是1.5m(A、B、C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．(3≈1.732，结果保留一位小数)【答案】烈士纪念碑的通高CD约为31.8米【分析】根据题意，四边形AMNB,NBCE,AMEC是矩形，CE=1.5米，MN=AB=35米，根据三角形的外角的性质得出，∠NMD=∠MDN=30°，等角对等边得出ND=NM=35，进而解Rt△DEN，求得DE，最后根据CD=DE+CE，即可求解．【详解】解：依题意，四边形AMNB,NBCE,AMEC是矩形，CE=1.5米，MN=AB=35米，∵∠DMN=30°,∠DNE=60°∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°∴∠NMD=∠MDN=30°，∴ND=NM=35米，DE在Rt△DEN中，sin∠DNE=DN3∴DE=DN⋅sin60°=35×≈30.3米2∴CD=CE+DE=1.5+30.3=31.8米·9· 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．14(2023·新疆·统考中考真题)烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1)．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．(参数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)【答案】13.5米【分析】过点A作DB的平行线交BC的延长线于点G，过点C作CF⊥AD，根据题意得出边形ADBG为矩形，∠ABD=65°,AD=31.5，再由正切函数求解即可．【详解】解：过点A作DB的平行线交BC的延长线于点G，过点C作CF⊥AD，如图所示：根据题意得：四边形ADBG为矩形，∠ABD=65°,AD=31.5，AD31.5∴BD==，tan65°2.131.5∴BD=AG=，2.1CG∵tan∠CAG=，AG31.531.5∴CG=tan∠CAG⋅AG=tan50°×=1.2×=18米，2.12.1∴BC=31.5-18=13.5米．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．15(2023·四川遂宁·统考中考真题)某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容测量湖边A、B两处的距离成员组长：×××组员：××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置示意C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．图·10· ∠A=30°角的度数∠B=45°测量∠C=105°数据BC=40.0米边的长度AC=56.4米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°．．(从记录表中再选一个条件填入横线)求：线段AB的长．(为减小结果的误差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45进行计算，最后结果保留整数．)【答案】AC=56.4米，线段AB的约长为77米；BC=40.0米，线段AB的约长为77米【分析】填入数据AC=56.4米．作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中，解直角三角形即可求解．【详解】(1)当填入AC=56.4米时：已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°．AC=56.4米．(从记录表中再选一个条件填入横线)求：线段AB的长．解：作CD⊥AB于点D，·11· 在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=56.4，1∴CD=AC=28.2，AD=3CD=28.23，2在Rt△BCD中，∠B=45°，CD=28.2，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=28.2，∴AB=AD+BD=28.23+28.2≈77(米)，答：线段AB的约长为77米．(2)当填入BC=40.0米时：已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°．BC=40.0米．(从记录表中再选一个条件填入横线)求：线段AB的长．解：作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=40.0，∴∠BCD=45°，2∴BD=CD=BC≈28.2，2在Rt△ACD中，∠A=30°，DC=28.2，CD∴AD==28.23，tan30°∴AB=AD+BD=28.23+28.2≈77(米)，·12· 答：线段AB的约长为77米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)【答案】2.2米【分析】过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，则四边形AFCG是矩形，在Rt△ABG中，求得BG,AG，进而求得CG,AF,DF，根据CD=CF-DF，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，则四边形AFCG是矩形，依题意，∠BAG=16°，AB=5(米)在Rt△ABG中，GB=AB×sin∠BAG=5×sin16°≈5×0.28=1.4(米)，AG=AB×cos16°≈5×0.96=4.8(米)，则CF=AG=4.8(米)∵BC=4(米)∴AF=CG=BC-BG=4-1.4=2.6(米)∵∠ADF=45°，∴DF=AF=2.6(米)∴CD=CF-DF=4.8-2.6=2.2(米)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．17(2023·贵州·统考中考真题)贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．(图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1m)；·13· (2)求水平距离AF的长(结果精确到1m)．(参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，2≈1.41)【答案】(1)600m(2)1049m【分析】(1)根据∠BAE的余玄直接求解即可得到答案；(2)根据AB、CD两段长度相等及CD与水平线夹角为45°求出C到DF的距离即可得到答案；【详解】(1)解：∵A、B两处的水平距离AE为576m，索道AB与AF的夹角为15°，AE576∴AB===600m；cos15°0.96(2)解：∵AB、CD两段长度相等，CD与水平线夹角为45°，21.41∴CD=600m，CG=CDcos45°=600×=600×=423m，22∴AF=AE+BC+CG=576+50+423=1049m；【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．18(2023·湖北鄂州·统考中考真题)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且4tan∠DAB=；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为345°．(图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB)．(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)【答案】(1)25米(2)110-103米4DM4【分析】(1)过D作DM⊥AB于M，由tan∠DAB=可得=，求出DM的长，利用勾股定理即可3AM3求解；·14· (2)过点D作DN⊥GE于N，则四边形DMFN是矩形，得NF=DM，DN=FM，由已知计算得出CN的长度，解直角三角形得出GN的长度，在Rt△AEF中求得EF的长度，利用线段的和差，即可解决问题．【详解】(1)解：过D作DM⊥AB于M，如图：DM4在Rt△ADM中，tan∠DAM==，AM3∵AM=15(米)，∴DM=20(米)，2222由勾股定理得AD=AM+DM=15+20=25(米)(2)如图，过点D作DN⊥GE于N，∵DM⊥AB，∠GFB=90°∴四边形DMFN是矩形，∴NF=DM=20(米)，DN=FM=AF+AM=30+15=45(米)，由题意，CN=CD+DN=45+45=90(米)，∵∠DCG=45°，GN∴tan∠GCN=1=，CN∴GN=90(米)，GF=GN+NF=90+20=110(米)，由题意，∠EAF=30°，AF=30(米)，3EF∴tan∠EAF==，3AF∴EF=103(米)，∴GE=GF-EF=110-103米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19(2023·山东东营·统考中考真题)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为多少km？【答案】50【分析】根据题意画出图形，易证△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【详解】如图，根据题意，得AN∥BM，∠NAB=60°，∠MBC=30°，AB=30km，BC=40km·15· ∵AN∥BM∴∠MBA=180°-∠NAB=180°-60°=120°∴∠ABC=∠ABM-∠MBC=120°-30°=90°2222∴在Rt△ABC中，AC=AB+BC=30+40=50km即A，C两港之间的距离为50km．【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．20(2023·四川凉山·统考中考真题)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD=EF=7m,CE=895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m)；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据：2≈1.4,3≈1.7)【答案】(1)900m(2)小型汽车从点A行驶到点B没有超速【分析】(1)证明四边形DCEF为矩形，可得CE=DF=895m，结合∠CAD=30°，∠EBF=45°，CD=CDEF=7m，可得AD==73，BF=EF=7，再利用线段的和差关系可得答案；tan30°(2)先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．【详解】(1)解：∵点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，∴CD⊥AB，EF⊥AB，而CE∥AB，∴∠DCE=90°，∴四边形DCEF为矩形，∴CE=DF=895m，由题意可得：∠CAD=30°，∠EBF=45°，CD=EF=7m，CD∴AD==73，BF=EF=7，tan30°∴AB=AF-BF=AD+DF-BF=73+895-7=900m(2)∵小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．·16· 900∴汽车速度为=20m/s，45∵该隧道限速80千米/小时，80×1000∴80km/h=≈22m/s，3600∵20<22，∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键．21(2023·内蒙古·统考中考真题)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．【答案】(1)行进路线BC和CA所在直线的夹角为60°(2)检查点B和C之间的距离为(3+3)km【分析】(1)根据题意得，∠NAC=80°,∠SAB=25°，∠ABC=45°,AB=32，再由各角之间的关系求解即可；(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，由等角对等边得出AD=BD，再由正弦函数及正切函数求解即可．【详解】(1)解：如图，根据题意得，∠NAC=80°,∠SAB=25°，∠ABC=45°,AB=32，∵∠NAS=180°，∴∠CAB=180°-∠NAC-∠SAB=180°-80°-25°=75°．在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-75°-45°=60°．答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为60°．(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D．·17· ∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°．∴AD=BD,在Rt△ABD中，AD∵sin∠ABD=，AB2∴AD=32×=3(km)．2∴BD=AD=3(km),AD在Rt△ACD中，∵tan∠BCA=，CD3∴CD==3(km)，3∴BC=BD+CD=(3+3)km．答：检查点B和C之间的距离为(3+3)km．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．22(2023·湖南常德·统考中考真题)今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图(图2)．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数)．(参考数据：sin65.8°=0.91，cos65.8°=0.41，tan65.8°=2.23)·18· 【答案】72.8cm【分析】方法一：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，由平行四边形的性质可得∠FCQ=∠CBH=180°-114.2°=65.8°，进而求得FQ，过点A作AP⊥MN于点P，根据平行线的性质可得∠ANP=∠FCQ=65.8°，进而求得AP，过C作CH⊥AB于点H，根据等腰三角形三线合一可得BH=8.2，进而求得CH，利用MN=FQ+AP-HC求解即可；方法二：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，延长AB交FQ于点S，根据等腰三角形三线合一可得BH=8.2，进而求得BC，FS，过A作AP⊥MN于P，根据平行线的性质可得∠ANP=∠FCQ=65.8°，进而求得AP，根据MN=FS+AP求解即可．【详解】解：方法一：过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=114.2°，∴∠FCQ=∠CBH=180°-114.2°=65.8°，∵FC=57∴FQ=FC⋅sin∠FCQ=57⋅sin65.8°，过点A作AP⊥MN于点P，由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，∴∠ANP=∠FCQ=65.8°，又∵AN=43，∴AP=AN⋅sin∠ANP=43⋅sin65.8°，过C作CH⊥AB于点H，∵BC=CE，EB=16.4，∴BH=8.2,∴CH=BH⋅tan∠CBH=8.2×tan65.8°=8.2×2.23≈18.29，∴靠背顶端F点距地面MN高度为FQ+AP-HC=57sin65.8°+43sin65.8°-18.29=100×0.91-18.29=72.71≈72.7cm；方法二：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，延长AB交FQ于点S，·19· ∵BC=CE，EB=16.4，∴BH=8.2，又∵AB∥CD，∴∠FCQ=∠HBC=180°-114.2°=65.8°，BH∴BC==8.2÷0.41=20cm，cos∠CBH∴FS=FB⋅sin∠FBS=FB⋅sin∠HBC=57-20⋅sin65.8°=37sin65.8°，过A作AP⊥MN于P，由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，∴∠ANP=∠FCQ=65.8°，又∵AN=43，∴AP=AN⋅sin∠ANP=43sin65.8°，∴靠背顶端F点距地面MN高度为FS+AP=37sin65.8°+43sin65.8°=80×0.91=72.8cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．23(2023·山东·统考中考真题)无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)【答案】大楼的高度BC为303m．【分析】如图，过P作PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，可3得QH=BC，BH=CQ，求解PH=AP∙sin60°=80×=403，AH=AP∙cos60°=40，可得CQ=2BH=70-40=30，PQ=CQ∙tan30°=103，可得BC=QH=403-103=303．·20· 【详解】解：如图，过P作PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形，∴QH=BC，BH=CQ，由题意可得：AP=80，∠PAH=60°，∠PCQ=30°，AB=70，3∴PH=AP∙sin60°=80×=403，AH=AP∙cos60°=40，2∴CQ=BH=70-40=30，∴PQ=CQ∙tan30°=103，∴BC=QH=403-103=303，∴大楼的高度BC为303m．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．24(2023·重庆·统考中考真题)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米．(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)【答案】(1)2545米(2)能，说明过程见解析【分析】(1)过点C作CD⊥AB于点D，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得1BD=CD=AC=1800米，再解直角三角形即可得；2(2)先解直角三角形求出AD的长，从而可得AB的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．【详解】(1)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=60°,∠BCD=45°，·21· ∴∠A=30°,∠B=∠BCD=45°，1∴BD=CD=AC=1800米，2CD∴BC=≈2545米，sin45°答：B养殖场与灯塔C的距离为2545米．(2)解：AD=AC⋅sin60°=18003米，∴AB=AD+BD=18003+1800米，则甲组到达B处所需时间为18003+1800÷600=33+3≈8.196(分钟)<9分钟，所以甲组能在9分钟内到达B处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．25(2023·山东聊城·统考中考真题)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1m)．(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离为1320m．【分析】如图，首先证明四边形ADEB是矩形，可得AD=BE，AB=DE，然后解直角三角形求出PD=2.5BE，PE=1.5CE，进而得出关于BE的方程，求出BE即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得AB⊥BC，PE⊥BC，AD⊥PE，AB=520m，BC=1200m，∠PAD=68.2°，∠C=56.31°，∵∠B=∠BED=∠ADE=90°，∴四边形ADEB是矩形，∴AD=BE，AB=DE，PD∵tan∠PAD=tan68.2°=，ADPD∴2.5=，即PD=2.5AD=2.5BE，ADPE∵tan∠C=tan56.31°=，CEPE∴1.5=，即PE=1.5CE，CE∵PE=PD+DE=2.5BE+520，CE=1200-BE，∴2.5BE+520=1.51200-BE，解得：BE=320，·22· ∴PE=2.5BE+520=1320m，答：明珠大剧院到龙堤BC的距离为1320m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．26(2023·四川·统考中考真题)“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED=45°，风叶OA的视角∠OEA=30°．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ，请利用公式计算cos75°；(2)求风叶OA的长度．6-2【答案】(1)4(2)风叶OA的长度为603-60米【分析】(1)根据题中公式计算即可；(2)过点A作AF⊥DE，连接AC，OG⊥AC，先根据题意求出OE，再根据等腰对等边证明OE=AE，结合第一问的结论用三角函数即可求EF，再证明四边形DFAG是矩形，即可求出．【详解】(1)解：由题意可得：cos75°=cos45°+30°，23216-2∴cos45°+30°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=×-×=；22224(2)解：过点A作AF⊥DE，连接AC，OG⊥AC，如图所示，·23· 由题意得：DE=60米，∠OED=45°，DE60∴OE===602米，∠DOE=45°，cos∠45°22∵三片风叶两两所成的角为120°，∴∠DOA=120°，∴∠AOE=120°-45°=75°，又∵∠OEA=30°，∴∠OAE=180°-75°-30°=75°，∴∠OAE=∠AOE，∴OE=AE=602米，∵∠OEA=30°，∠OED=45°，∴∠AED=75°，6-2由(1)得：cos75°=，4∴EF=AE×cos75°=303-30米，∴DF=DE-EF=60-303-30=90-303米，∵AF⊥DE，OG⊥AC，OD⊥DE，∴四边形DFAG是矩形，∴AG=DF=90-303米，∵三片风叶两两所成的角为120°，且三片风叶长度相等，∴∠OAG=30°，AG90-303∴OA===603-60米，cos30°32∴风叶OA的长度为603-60米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．27(2023·湖北宜昌·统考中考真题)2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP=OQ≈6400km．(参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14)·24· (1)求cosα的值(精确到0.01)；(2)在⊙O中，求PQ的长(结果取整数)．【答案】(1)0.95(2)2010km【分析】(1)在Rt△OFQ中，利用余弦函数即可求解；(2)先求得α的度数，再利用弧长公式即可求解．【详解】(1)解：由题意可知，PF=330km，∵OP=OQ≈6400km，∴OF=OP+PF=330+6400=6730km，OQ6400∴在Rt△OFQ中，cosα==≈0.95；OF6730(2)解：∵cosα≈0.95，cos18°≈0.95，∴α=18°，18×π×6400∴PQ的长为l==640π180≈2009.6≈2010km．【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部343D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表554示，不取近似值)．【答案】古树DE的高度为40-103m【分析】延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，根据斜面AB的坡度为i=2:3，设BF=2x，222则AF=3x，根据勾股定理得出2x+3x=207，求出BF=40m，证明四边形BFDG为矩403形，得出DG=BF=40m，根据三角函数求出CG=m，EG=103m，最后求出结果即可．3·25· 【详解】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：则∠AFB=∠BFD=90°，∵斜面AB的坡度为i=2:3，∴设BF=2x，则AF=3x，222在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF+AF=AB，222即2x+3x=207，解得：x=20，负值舍去，即BF=2×20=40m，∵BC为水平方向，DE为竖直方向，∴∠BGD=90°，∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，∴四边形BFDG为矩形，∴DG=BF=40m，∵∠DCG=60°，BG4040403∴在Rt△DCG中，CG====m，tan∠DCGtan60°33∵∠ECG=37°，4034033∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG=×tan37°=×=103m，334∴DE=DG-EG=40-103m．答：古树DE的高度为40-103m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义．29(2023·山西·统考中考真题)2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡)．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．课母亲河驳岸的调研与计算题调查资料查阅、水利部门走访、实地查看了解方式功驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物·26· 能相关数据及说明，图中，点A，B，驳C，D，E在同一竖直平面内，AE岸与CD均与地面平行，岸墙AB⊥剖AE于点A，∠BCD=135°，面∠EDC=60°，ED=6m，AE=图1.5m，CD=3.5m计算结果交流展示【答案】BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m【分析】过点E作EF⊥CD于点F，延长AB,DC交于点H，首先根据∠EDF的三角函数值求出EF=ED⋅sin∠EDF=33，FD=ED⋅cos∠EDF=3，然后得到四边形AEFH是矩形，进而得到CH=HF-CFCH=1.5-0.5=1，然后在Rt△BCH中利用∠BCH的三角函数值求出BC==2≈1.4m，进cos∠BCH而求解即可．【详解】解：过点E作EF⊥CD于点F，延长AB,DC交于点H，∴∠EFD=90°．EFFD由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°,ED=6,sin∠EDF=,cos∠EDF=．EDED3∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60°=6×=33．21∴FD=ED⋅cos∠EDF=6×cos60°=6×=3．2由题意得，∠H=90°，四边形AEFH是矩形．·27· ∴AH=EF=33,HF=AE=1.5．∵CF=CD-FD=3.5-3=0.5，∴CH=HF-CF=1.5-0.5=1．∴在Rt△BCH中，∠H=90°,∠BCH=180°-∠BCD=180°-135°=45°．CHBH∵cos∠BCH=,tan∠BCH=．BCCHCH11∴BC====2≈1.4m．cos∠BCHcos45°22∴BH=CH⋅tan∠BCH=1×tan45°=1，∴AB=AH-BH=33-1≈3×1.73-1≈4.2m．答：BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．30(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知∠POQ=30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．(1)求∠COD的大小；3(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=，OD=12米．问该轿车至少行驶多少米才5能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)【答案】(1)30°(2)轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车【分析】(1)由AO⊥OP得到∠POD=90°，由∠POQ=30°得到∠DOQ=60°，由OC⊥OQ得到∠COQ=90°，即可得到∠COD的大小；1(2)由BC∥OQ得到∠BCO=90°，在Rt△COD中求得CD=OD=6，由勾股定理得到OC=63，由23OCtanα=tan∠OBC==得到BC=30，即可得到答案．5BC【详解】(1)解：∵AO⊥OP，∴∠POD=90°，∵∠POQ=30°，∴∠DOQ=∠POD-∠POQ=90°-30°=60°，∵OC⊥OQ，∴∠COQ=90°，·28· ∴∠COD=∠COQ-∠DOQ=90°-60°=30°，即∠COD的大小为30°；(2)解：∵BC∥OQ，∴∠BCO=180°-∠COQ=90°，在Rt△COD中，∠COD=30°，OD=12，1∴CD=OD=6，22222∴OC=OD-CD=12-6=63，3OC∵tanα=tan∠OBC==，5BCOC3∴BC==63÷=30，tanα5∴BD=BC-CD=30-6=24，即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的的定义等知识，读懂题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键．31(2023·四川内江·统考中考真题)某中学依山而建，校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长(结果保留根号)．【答案】DC的长为21+23米【分析】作BN⊥AM于点N，首先根据坡度求出BN，并通过矩形的判定确定出DF=BN，然后通过解三角形求出CF，即可相加得出结论．【详解】解：如图所示，作BN⊥AM于点N，则由题意，四边形BNDF为矩形，BN∵在Rt△ABN中，sin∠BAN=，∠BAN=α=30°，AB=30，AB1∴BN=AB∙sin30°=30×=15，2∵四边形BNDF为矩形，∴DF=BN=15，·29· 由题意，∠CBF=45°，∠CEF=60°，∠CFB=90°，BE=4，∴△CBF为等腰直角三角形，BF=CF，设BF=CF=x，则EF=BF-BE=x-4，CF在Rt△CEF中，tan∠CEF=，EFxx∴tan60°=，即：3=，x-4x-4解得：x=6+23，经检验，x=6+23是上述方程的解，且符合题意，∴BF=CF=6+23，∴DC=CF+DF=6+23+15=21+23，∴DC的长为21+23米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．32(2023·湖北随州·统考中考真题)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB．【答案】(1)5米(2)15米【分析】(1)过点D作DE⊥BC，根据坡角的概念及含30°直角三角形的性质分析求解；(2)通过证明∠ACD=90°，然后解直角三角形分析求解．【详解】(1)解：过点D作DE⊥BC，由题意可得∠DCE=30°，11∴在Rt△CDE中，DE=CD=×10=5，22即点D到地面BC的距离为5米；(2)如图，·30· 由题意可得∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠ACD=90°，又∵MN∥BE，∴∠MDC=∠α=30°，∴∠ADC=60°ACAC∴在Rt△ACD中，=tan∠ADC=3，即=3，CD10解得AC=103，AB3AB3在Rt△ABC中，=sin∠ACB=，即=，AC21032解得AB=15，答：该建筑物的高度AB为15米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．33(2023·天津·统考中考真题)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求DE的长；(2)设塔AB的高度为h(单位：m)．①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)；②求塔AB的高度(tan27°取0.5，3取1.7，结果取整数)．【答案】(1)3m(2)①h+33m；②11m【分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；(2)①分别在Rt△DCE和Rt△BCA中，利用锐角三角函数定义求得EC=33，CA=h，进而可求解；②过点D作DF⊥AB，垂足为F．可证明四边形DEAF是矩形，得到DF=EA=h+33m，FA=DE=3m．在Rt△BDF中，利用锐角三角函数定义得到BF=DF⋅tan∠BDF，然后求解即可．【详解】(1)解：在Rt△DCE中，∠DCE=30°,CD=6，·31· 1∴DE=CD=3．2即DE的长为3m．EC(2)解：①在Rt△DCE中，cos∠DCE=，CD∴EC=CD⋅cos∠DCE=6×cos30°=33．AB在Rt△BCA中，由tan∠BCA=，AB=h，∠BCA=45°，CAAB则CA==h.tan45°∴EA=CA+EC=h+33．即EA的长为h+33m．②如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90°，∴四边形DEAF是矩形．∴DF=EA=h+33m，FA=DE=3m．可得BF=AB-FA=h-3m．BF在Rt△BDF中，tan∠BDF=，∠BDF=27°，DF∴BF=DF⋅tan∠BDF．即h-3=h+33×tan27°．3+33×tan27°3+3×1.7×0.5∴h=≈≈11m．1-tan27°1-0.5答：塔AB的高度约为11m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．34(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625;sin58°≈0.848,cos58°≈0.530，tan58°≈1.6)·32· 【答案】渔船没有触礁的危险【分析】过点A作AD⊥BC，分别解Rt△ADC和Rt△ADB，求出AD的长，即可得出结论．【详解】解：过点A作AD⊥BC，由题意，得：∠ABC=90°-58°=32°，∠ACD=45°，BC=6，设AD=x，在Rt△ADC中，∠ACD=45°，∴AD=CD=x，∴BD=x+6，ADx在Rt△ADB中，tan∠ABD==≈0.625，BDx+6∴x=10，∴AD=10，∵10>9，∴渔船没有触礁的危险．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．35(2023·湖南永州·统考中考真题)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米(如图1所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)·33· 【答案】1.5【分析】如图，AB=2.9，CD=0.9，四边形EBNM，四边形EBDC是矩形，四边形CDNM是矩形，Rt△AEC中，∠ACE=45°，AE=AB-EB=2，EC=AE=2，Rt△AEM中，∠AME=30°，tan30°=AE3=，所以EM=3AE=23，进一步求得CM=EM-EC≈1.5，所以DN=CM=1.5．EM3【详解】如图，AB=2.9米，CD=0.9米四边形EBNM，四边形EBDC是矩形，四边形CDNM是矩形∴EB=CD=MN=0.9米，DN=CM∵Rt△AEC中，∠ACE=45°，∴AE=AB-EB=AB-CD=2.9-0.9=2米，∴EC=AE=2米∵Rt△AEM中，∠AME=30°，AE3∴tan30°==EM3∴EM=3AE=23米∴CM=EM-EC=23-2≈2×1.732-2≈1.5米∴DN=CM=1.5米【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．36(2023·重庆·统考中考真题)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A-D-C-B；②A-E-B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41,3≈1.73)·34· (1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】(1)AD的长度约为14千米(2)小明应该选择路线①，理由见解析【分析】(1)过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得四边形BCDF是矩形，进而得出DF=BC=10，然后解直角三角形即可；(2)分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【详解】(1)解：过点D作DF⊥AB于点F，由题意可得：四边形BCDF是矩形，∴DF=BC=10千米，∵点D在点A的北偏东45°方向，∴∠DAF=∠DAN=45°，DF∴AD==102≈14千米，sin45°答：AD的长度约为14千米；(2)由题意可得：BC=10，CD=14，∴路线①的路程为：AD+DC+BC=102+14+10=24+102≈38(千米)，∵DF=BC=10，∠DAF=∠DAN=45°，∠DFA=90°，∴△DAF为等腰直角三角形，∴AF=DF=10，∴AB=AF+BF=AF+DC=10+14=24，由题意可得∠EBS=60°，∴∠E=60°，ABAB∴AE==83，BE==163，tan60°sin60°所以路线②的路程为：AE+BE=83+163=243≈42千米，∴路线①的路程<路线②的路程，故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数·35· 值是解本题的关键．37(2023·江苏苏州·统考中考真题)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度)．已知AD=BC,DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8,cos54°≈0.6)【答案】点C离地面的高度升高了，升高了16cm．【分析】如图，延长BC与底面交于点K，过D作DQ⊥CK于Q，则四边形DHKQ为矩形，可得QK=DH=208，证明四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，当∠GAE=60°时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=60°，此时∠CDQ=30°，CQ=288-208=80，CD=2CQ=160，当∠GAE=54°时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=54°，CQ=CD∙cos54°≈160×0.6=96，从而可得答案．【详解】解：如图，延长BC与底面交于点K，过D作DQ⊥CK于Q，则四边形DHKQ为矩形，∴QK=DH=208，∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，当∠GAE=60°时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=60°，·36· 此时∠CDQ=30°，CQ=288-208=80，∴CD=2CQ=160，当∠GAE=54°时，则∠QCD=∠QBA=∠GAE=54°，∴CQ=CD∙cos54°≈160×0.6=96，而96>80，96-80=16，∴点C离地面的高度升高了，升高了16cm．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．38(2023·湖南·统考中考真题)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．【答案】(1)教学楼AB的高度为25.6米(2)无人机刚好离开视线EB的时间为12秒【分析】(1)过点B作BG⊥DC于点G，根据题意可得：DC⊥AC,AB⊥AC，AC=243米，∠FDB=30°，通过证明四边形GCAB为矩形，得出BG=AC=243米，进而得出DG=BG⋅tan30°=24米，最后根据线段之间的和差关系可得CG=AB=CD-DG，即可求解；(2)连接EB并延长，交DF于点H，先求出EG=CG-CE=24米，进而得出BD=BE，则∠BEG=∠BDG=60°，则DH=DE⋅tan60°=483米，即可求解．【详解】(1)解：过点B作BG⊥DC于点G，根据题意可得：DC⊥AC,AB⊥AC，AC=243米，∠FDB=30°，∵DC⊥AC，AB⊥AC，BG⊥DC，∴四边形GCAB为矩形，∴BG=AC=243米，∵DF⊥DC，BG⊥DC，∴DF∥BG，∴∠DBG=∠FDB=30°，∴DG=BG⋅tan30°=24米，∵CD长为49.6米，∴CG=AB=CD-DG=49.6-24=25.6(米)，·37· 答：教学楼AB的高度为25.6米．(2)解：连接EB并延长，交DF于点H，∵CE=1.6米，CG=25.6米，∴EG=CG-CE=24米，∵DG=EG=24米，BG⊥DC，∴BD=BE，∴∠BEG=∠BDG=90°-30°=60°，DE=DG+EG=48米，∴DH=DE⋅tan60°=483(米)，∵无人机以43米/秒的速度飞行，483∴离开视线EB的时间为：=12(秒)，43答：无人机刚好离开视线EB的时间为12秒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．39(2023·山东烟台·统考中考真题)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325)【答案】该风力发电机塔杆PD的高度为32米【分析】过点P作PF⊥AB于点F，延长PD交AC延长线于点E，先根据含30°角直角三角形的性质得出DE=8，设PD=x米，则PE=PD+DE=8+x米，进而得出AE=8+x米，证明四边形FAEP为矩形，则PF=AE=8+x米，AF=PE=8+x米，根据线段之间的和差关系得出BF=AB-AFBF=s45-x米，最后根据=tan18°，列出方程求解即可．PF【详解】解：过点P作PF⊥AB于点F，延长PD交AC延长线于点E，·38· 根据题意可得：AB、PD垂直于水平面，∠DCE=30°，∠PAC=45°，∠GBP=18°，∴PE⊥AE，∵CD=16米，11∴DE=CD=16×=8(米)，22设PD=x米，则PE=PD+DE=8+x米，∵∠PAC=45°，PE⊥AE，PE∴AE==8+x米，tan45°∵AB⊥AE，PE⊥AE，PF⊥AB，∴四边形FAEP为矩形，∴PF=AE=8+x米，AF=PE=8+x米，∵AB=53米，∴BF=AB-AF=53-8+x=45-x米，∵∠GBP=18°，∴∠BPF=18°，BF45-x∴=tan18°，即≈0.325，PF8+x解得：x≈32，答：该风力发电机塔杆PD的高度为32米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．40(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离(图1)．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明·39· 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm据请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)【答案】新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm【分析】过点A作AH⊥MN，垂足为H，在Rt△AHC，用AH与∠ACH的正切值表示出CH，在Rt△AHB中，用AH和∠ABH的正切值表示出BH，由CH-BH=BC=9，联立求解AH即可．【详解】解：过点A作AH⊥MN，垂足为H．由题意得，∠ABH=∠DBN=35°，∠ACH=∠ECN=22°，AHAHAH在Rt△AHB中，BH==≈．tan∠ABHtan35°0.70AHAHAH在Rt△AHC中，CH==≈．tan∠ACHtan22°0.40∵CH-BH=BC，AHAH∴-=9，0.400.70∴AH=8.4cm．答：新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．41(2023·四川达州·统考中考真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)【答案】座板距地面的最大高度为1.7m．【分析】过点A作AD⊥MN于点D，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥ON于点F，利用26°和·40· 50°的余弦值求出OF=OB⋅cos26°=3×0.9=2.7m，OE=OA⋅cos50°=3×0.64=1.92m，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．【详解】如图所示，过点A作AD⊥MN于点D，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥ON于点F，由题意可得，四边形BMNF和四边形ENDA是矩形，∴FN=BM=0.9m，EN=AD，∵秋千链子的长度为3m，∴OB=OA=3m，∵∠BOC=26°，BF⊥ON，∴OF=OB⋅cos26°=3×0.9=2.7m，∴ON=OF+FN=2.7+0.9=3.6m，∵∠AOC=50°，AE⊥ON，∴OE=OA⋅cos50°=3×0.64=1.92m，∴EN=ON-OE=3.6-1.92=1.68m，∴AD=EN=1.68m≈1.7m．∴座板距地面的最大高度为1.7m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．42(2023·江西·统考中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB=AC=AD，测得∠B=55°，BC=1.8m，DE=2m．(结果保小数点后一位)(1)连接CD，求证：DC⊥BC；(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)【答案】(1)见解析(2)雕塑的高约为4.2米【分析】(1)根据等边对等角得出∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC，根据三角形内角和定理得出2∠B+∠ADC=180°，进而得出∠BCD=90°，即可得证；·41· BC1.8(2)过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，在Rt△BDC中，得出AD==，则BE=cosBcos55°1.8AD+DE=2+，在Rt△EBF中，根据EF=BE⋅sinB，即可求解．cos55°【详解】(1)解：∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC∵∠B+∠ADC+∠BCD=180°即2∠B+∠ADC=180°∴∠B+∠ADC=90°即∠BCD=90°∴DC⊥BC；(2)如图所示，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，在Rt△BDC中，∠B=55°，BC=1.8m，DE=2mBC∴cosB=，ADBC1.8∴AD==cosBcos55°1.8∴BE=AD+DE=2+cos55°EF在Rt△EBF中，sinB=，BE∴EF=BE⋅sinB1.8=2+×sin55°cos55°1.8≈2+×0.820.57≈4.2(米)．答：雕塑的高约为4.2米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．43(2023·浙江宁波·统考中考真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．·42· (1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A离地面的高度AD．(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】(1)β=90°-α(2)AD=60m【分析】(1)如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；(2)根据题意，AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD；在ADADADRt△ABD中，∠ABD=37°，由tan∠ABD=tan37°===，解方程即可得到答BDCD+20AD+20案．【详解】(1)解：如图所示：由题意知OD⊥PD，在Rt△POD中，∠D=90°，则∠P+∠POD=90°，即α+β=90°，∴β=90°-α；(2)解：如图所示：∴AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD，在Rt△ABD中，∠ABD=37°，ADADAD由tan∠ABD=tan37°===，BDCD+20AD+20AD即0.75=，AD+20·43· 解得AD=60m，∴气球A离地面的高度AD=60m．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．44(2023·江苏连云港·统考中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到0.1m)(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)【答案】86.1mBE【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，在Rt△ABE中，根据sin∠BAE=求出BE，过点B作BF⊥ABCFCD，垂足为F，在Rt△CBF中，根据sin∠CBF=求出CF，进而求解即可．BC【详解】过点B作BE⊥AD，垂足为E．BE在Rt△ABE中，sin∠BAE=，AB∴BE=ABsin∠BAE=92sin48°≈92×0.74=68.08m．过点B作BF⊥CD，垂足为F．CF在Rt△CBF中，sin∠CBF=，BC∴CF=BCsin∠CBF=30sin37°≈30×0.60=18.00m．∵FD=BE=68.08m，∴DC=FD+CF=68.08+18.00=86.08≈86.1m．答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．45(2023·四川广安·统考中考真题)为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米·44· 处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(1)求步道DE的长度．(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位)(参考数据：sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,3≈1.73)【答案】(1)200米(2)A→B→D这条路较近，理由见解析【分析】(1)根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案．(2)根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出AB和AE的长度，比较AB+BD和AE+ED即可求出答案．【详解】(1)解：由题意得，过点D作DF垂直AE的延长线于点F，如图所示，∵点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，∴AE⊥AC，DC⊥AC，∵DF⊥AF，∴∠EAC=∠BCA=∠DFE=90°，∴ACDF为矩形.∴DF=AC.∵AC=170米，∴DF=170米.DF170∴在Rt△DFE中，DE===200米.sin58°0.85故答案为：200米.(2)解：A→B→D这条路较近，理由如下：∵∠EAB=30°，∠EAC=90°，∴∠BAC=60°.∵AC=170米，3≈1.73，AC1∴在Rt△BAC中，AB==170÷=340米.cos60°2·45· CB=AC⋅tan60°=1703=170×1.73=294.1米.∵ACDF为矩形，BD=100米，∴CD=AF=CB+DB=294.1+100=394.1米.DF170∴在Rt△DFE中，EF===106.25米.tan58°1.60∴AE=AF-EF=394.1-106.25=287.85米.∵结果精确到个位，∴AE+ED=287.85+200=487.85≈488米.AB+DB=340+100=440米.∴AE+ED>AB+DB.∴从A→B→D这条路较近.故答案为：A→B→D这条路较近.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.46(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．(精确到0.1cm，参考数据sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)【答案】(1)12.9cm(2)能，见解析【分析】(1)根据正切值求出EF长度，再利用三角形全等可求出EF=DF=35.1(cm)，最后利用矩形的性质求出CE的长度，从而求出蹲下的高度．(2)根据正切值求出MP长度，再利用三角形全等可求出MP=PN=54.0(cm)，最后利用矩形的性质求出BP的长度，即可求出BN长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．【详解】(1)解：过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，如图所示，·46· EF在Rt△AEF中，tan∠EAF=．AF∴EF=AF⋅tan15°=130×0.27=35.1(cm)．∵AF=AF,∠EAF=∠DAF,∠AFE=∠AFD=90°，∴△ADF≌△AEF．∴EF=DF=35.1(cm)．∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm)，ED=2EF=35.1×2=70.2(cm)>26(cm)，∴小杜下蹲的最小距离=208-195.1=12.9(cm)．(2)解：能，理由如下：过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，如图所示，MP在Rt△APM中，tan∠MAP=．AP∴MP=AP⋅tan20°=150×0.36=54.0(cm)，∵AP=AP,∠MAP=∠NAP,∠APM=∠APN=90°，∴△AMP≌△ANP．∴PN=MP=54.0(cm)，∴BN=BP-PN=160-54.0=106.0(cm)．小若垫起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm)．∴小若头顶超出点N的高度123-106.0=17.0(cm)>15(cm)．∴小若垫起脚尖后能被识别．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．47(2023·安徽·统考中考真题)如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75．·47· 【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米【分析】解Rt△AOR，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO，根据AB=BO-AO，即可求解．【详解】解：依题意，∠ARO=24.2°，∠BRO=36.9°，AR=40，在Rt△AOR中，∠ARO=24.2°，∴AO=AR×sin∠ARO=40×sin24.2°，RO=AR×cos∠ARO=40×cos24.2°，在Rt△BOR中，OB=OR×tan∠BRO=40×cos24.2°×tan36.9°，∴AB=BO-AO=40×cos24.2°×tan36.9°-40×sin24.2°≈40×0.91×0.75-40×0.41≈10.9(米)答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．48(2023·浙江·统考中考真题)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C，已知DC⊥BC，AB⊥BC,∠A=60°,AB=11m,CD=4m，求管道A-D-C的总长．【答案】18m【分析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得BE=CD=4，进而求得AE=7，再通过解直角三角形可得AD=AE÷cos60°=14，然后求出AD+CD即可解答．【详解】解：如图：过点D作DE⊥AB于点E，由题意，得BE=CD=4，∵AB=11，∴AE=7．∵∠A=60°，∴AD=AE÷cos60°=14．∴AD+CD=18m．即管道A-D-C的总长为18m．·48· 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得AD=AE÷cos60°=14是解答本题的关键．49(2023·浙江温州·统考中考真题)根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN(如图1)．他们通过自制的测倾仪(如图2)在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．背景素材经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决选择两个观测位置：点_________和点_任分析规划________务写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之1获取数据间的图上距离．任务推理计算计算发射塔的图上高度MN．2任楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发务换算高度射塔的实际高度．3注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．111【答案】规划一：[任务1]选择点A和点B；tan∠1=，tan∠2=，tan∠3=，测得图上AB=4mm；843·49· [任务2]18mm；[任务3]发射塔的实际高度为43.2米；规划二：[任务1]选择点A和点C．[任务2]18mm；[任务3]发射塔的实际高度为43.2米；【分析】规划一：[任务1]选择点A和点B,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上AB=4mm[任务2]如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，设MF=xmm．根据x1x+41tan∠MAF==，tan∠MBG==，得出AF=4x，BG=3x+12．由AF=BG，解得x=AF4BG3FN112，根据tan∠FAN==，得出FN=6mm，即可求解；488518[任务3]测得图上DE=5mm，设发射塔的实际高度为h米．由题意，得=，解得h=43.2，12h规划二：[任务1]选择点A和点C．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上AC=12mm；[任务2]如图2，过点A作AF⊥MN于点F，过点C作CG⊥MN，交MN的延长线于点G，则FG=ACx1x+121=12mm，设MF=xmm．根据tan∠MAF==，tan∠MCG==，得出AF=4x，CGAF4CG2FN1=2x+24．根据AF=CG，得出x=12，然后根据tan∠FAN==，得出FN=6mm，进而即可求488解．518[任务3]测得图上DE=5mm，设发射塔的实际高度为h米．由题意，得=，解得h=43.2，即可求12h解．【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．规划一：[任务1]选择点A和点B．111tan∠1=，tan∠2=，tan∠3=，测得图上AB=4mm．843[任务2]如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG=AB=4mm，设MF=xmm．x1x+41∵tan∠MAF==，tan∠MBG==，AF4BG3∴AF=4x，BG=3x+12．∵AF=BG，∴4x=3x+12解得x=12，∴AF=BG=4x=48mm．FN1∵tan∠FAN==，488∴FN=6mm，∴MN=MF+FN=12+6=18mm．·50· [任务3]测得图上DE=5mm，设发射塔的实际高度为h米．518由题意，得=，解得h=43.2，12h∴发射塔的实际高度为43.2米．规划二：[任务1]选择点A和点C．111tan∠1=，tan∠2=，tan∠4=，测得图上AC=12mm．842[任务2]如图2，过点A作AF⊥MN于点F，过点C作CG⊥MN，交MN的延长线于点G，则FG=AC=12mm，设MF=xmm．x1x+121∵tan∠MAF==，tan∠MCG==，AF4CG2∴AF=4x，CG=2x+24．∵AF=CG，∴4x=2x+24，解得x=12，∴AF=CG=4x=48mm．FN1∵tan∠FAN==，∴FN=6mm，488∴MN=MF+FN=12+6=18mm．[任务3]测得图上DE=5mm，设发射塔的实际高度为h米．518由题意，得=，解得h=43.2．12h∴发射塔的实际高度为43.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．50(2023·四川自贡·统考中考真题)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山·51· 坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3)，量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．(2≈1.41，结果精确到1米)(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．(结果用不含β1，β2的字母表示)【答案】(1)α+β=90°(2)山高DF为69米40a1a2(3)山高DF的高为+1.6米a2b1-a1b2【分析】(1)利用互余的性质即可求解；(2)先求得sin24°=0.4，再分别在Rt△ABH、Rt△BCQ、Rt△CDR中，解直角三角形即可求解；a1a2(3)先求得tanβ1=，tanβ2=，在Rt△NDL和Rt△NDL中，分别求得NL和NL的长，得到方程NLb1b2-NL=40，据此即可求解．【详解】(1)解：由题意得∠NMO=90°，∴α+β=90°；(2)解：在Rt△TKS中，KT≈5cm，TS≈2cm．TS2∴sin24°=≈=0.4，KT5·52· 在Rt△ABH中，∠ABH=24°，AB=40米，∴BH=AB⋅sin24°=40×0.4=16(米)，在Rt△BCQ中，∠CBQ=30°，BC=50米，1∴CQ=BC⋅sin30°=50×=25(米)，2在Rt△CDR中，∠DCR=45°，CD=40米，2∴DR=CD⋅sin45°=40×≈28(米)，2∴山高DF=16+25+28=69(米)，答：山高DF为69米；a1a2(3)解：如图，由题意得tanβ1=，tanβ2=，b1b2设山高DF=x+1.6，则DL=x，在Rt△NDL中，∠DNL=β1，DL=x，DLa1∴=tanβ1=，NLb1b1∴NL=x，a1在Rt△NDL中，∠DNL=β2，DL=x，DLa2∴=tanβ2=，bNL2b2∴NL=x，a2∵NN=MM=40，b1b2∴NL-NL=40，即x-x=40，a1a240a1a240a1a2解得x=，山高DF=+1.6a2b1-a1b2a2b1-a1b240a1a2答：山高DF的高为+1.6米．a2b1-a1b2【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．二、填空题·53· 51(2023·广西·统考中考真题)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m(结果取整数)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】21【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且CD⊥AB，∴AD=BD，∵CD=3m，CDCD∴AC=BC==5m,AD=BD==4m，sin37°tan37°∴共需钢材约为2AC+2AD+CD=21m；故答案为21．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．52(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，将45°的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】2.7．【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，°CE∵tan37=≈0.75，∴OE≈2.7cm．OE·54· ∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．53(2023·湖南·统考中考真题)《周礼考工记》中记载有：“⋯⋯半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘1(zhú)⋯⋯”意思是：“⋯⋯直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘⋯⋯”．即：1宣=矩，1欘=211宣(其中，1矩=90°)，问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，2若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=度．【答案】22.5【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．【详解】解：由题意可知，∠A=1矩=90°，111∠B=1欘=1宣=1×矩=67.5°，222∴∠C=90°-67.5°=22.5°，故答案为：22.5．【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．54(2023·湖南岳阳·统考中考真题)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是米(结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714,cos21.8°≈0.9285,tan21.8°≈0.4000)．【答案】9.5【分析】通过解直角三角形ADE，求出DE，再根据EC=ED+DC求出结论即可．【详解】解：根据题意得，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=20m,DC=AB=1.5m,DE在Rt△ADE中，tan∠DAE=,AD∴DE=ADtan∠DAE≈20×0.400=8.0m,∴EC=ED+DC=8.0+1.5=9.5m故答案为：9.5·55· 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．55(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC=6千米，∠CAB=60°，∠CBA=37°，则改造后公路AB的长是千米(精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73)．【答案】9.9【分析】如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，分别解Rt△ACD,Rt△BCD，求得AD,DB，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，ADCD在Rt△ADC中，AC=6，∠CAB=60°，cosA=，sinA=ACAC13∴AD=AC×cosA=×6=3，CD=AC×sinA=×6=3322CD在Rt△CDB中，∠CBA=37°，CD=33，tan∠CBD=，DBCD3333∴DB==≈=43，tan∠CBDtan37°0.75∴AB=AD+DB=3+43=3+4×1.73≈9.9(千米)改造后公路AB的长是9.9千米，故答案为：9.9．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．56(2023·山东·统考中考真题)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30m．用高1mAC=1m的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是m．·56· 【答案】153+1【分析】结合三角形外角和等腰三角形的判定求得ED=CD，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形．【详解】解：由题意可得：四边形MNBD，四边形DBAC，四边形MNAC均为矩形，∴AB=CD=30，MN=AC=1，在Rt△EMC中，∠ECD=30°，在Rt△EDM中，∠EDM=60°，∴∠DEC=∠EDM-∠ECD=30°，∴∠DEC=∠ECD，∴ED=CD=30，EMEM3在Rt△EDM中，=sin60°，即=，ED302解得EM=153，∴EN=EM+MN=153+1m故答案为：153+1．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．57(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．(3≈1.73，结果精确到0.1)【答案】13.8·57· 【分析】解直角三角形，求得BD和CD的长，即可解答．【详解】解：根据题意可得，BD3在Rt△ADB中，=tan30°=，AD33∴BD=AD，3CD在Rt△ADC中，=tan60°=3，AD∴CD=3AD，343∴BC=BD+CD=AD+3AD=AD≈13.8m，33故答案为：13.8．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．58(2023·湖北黄冈·统考中考真题)综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，己知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为米．(结果保留根号)【答案】30-53【分析】过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，首先证明出四边形ECAM是矩形，得到AM=CE=15，然后根据等腰直角三角形的性质得到AC=EM=BM=15，进而得到AD=AC=15，然后利用30°角直角三角形的性质和勾股定理求出BN=53，即可求解．【详解】如图所示，过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，由题意可得，四边形ECAM是矩形，∴AM=CE=15，∵AB=30，∴BM=AB-AM=15，∵博雅楼顶部E的俯角为45°，∴∠EBM=45°，∴∠BEM=45°，∴AC=EM=BM=15，·58· ∵点A是CD的中点，∴AD=AC=15，由题意可得四边形AMFN是矩形，∴NF=AD=15，∵尚美楼顶部F的俯角为30°，∴∠NBF=60°，∴∠BFN=30°，∴BF=2BN，222∴在Rt△BNF中，BN+NF=BF，222∴BN+15=2BN，∴解得BN=53，∴FD=AN=AB-BN=30-53．故答案为：30-53．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．59(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB=6米，AO:OB=2:1，支架OM⊥EF，OM=3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°，此时点B到水平地面EF的距离为米．(结果保留根号)【答案】3+2【分析】过点B作BD⊥EF于点D，过点A作AC⊥BD交BD于点C，交OM于点N，易得四边形MDCN为矩形，分别解Rt△ANO，Rt△ACB，求出ON,BC,CD的长，利用BD=BC+CD进行求解即可．【详解】解：过点B作BD⊥EF于点D，过点A作AC⊥BD交BD于点C，交OM于点N，∵OM⊥EF，∴OM∥BC，∴AN⊥OM，∴四边形MDCN为矩形，∴MN=CD，∵AB=6，AO:OB=2:1，2∴AO=AB=4，3在Rt△ANO中，AO=4，∠AOM=45°，2∴ON=OA⋅cos45°=4×=22；2·59· ∴CD=MN=OM-ON=3-22，在Rt△ACB中，AB=6，∠AOM=45°，2∴BC=AB⋅cos45°=6×=32；2∴BD=BC+CD=32+3-22=3+2(米)；故答案为：3+2．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．60(2023·四川眉山·统考中考真题)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．【答案】63+6【分析】过点C作CD⊥AB交于点D，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交于点D，3由题意可知tan∠CAD=tan30°=,tan∠CBD=tan45°=1，3设CD为x，∴BD=CD÷tan45°=x，AD=CD÷tan30°=3x，根据AB=AD-BD，可得方程3x-x=12，解得x=63+6，∴渔船与灯塔C的最短距离是63+6海里，故答案为：63+6．【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键．·60·