2024中考数学第一轮专题复习： 一次函数及其应用（解析版）

专题10一次函数及其应用一、单选题1(2023·四川乐山·统考中考真题)下列各点在函数y=2x-1图象上的是()A.-1，3B.0，1C.1，-1D.2，3【答案】D【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式y=2x-1，进行计算即可得到答案．【详解】解：∵一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式y=2x-1，A.当x=-1时，y=-3，故本选项错误，不符合题意；B.当x=0时，y=-1，故本选项错误，不符合题意；C.当x=1时，y=1，故本选项错误，不符合题意；D.当x=2时，y=3，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．2(2023·内蒙古·统考中考真题)在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为()A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=-2x-3D.y=-2x-6【答案】B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得：y=-2(x-3)=-2x+6，故选：B．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．3(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3的图象是()A.B.C.D.【答案】D·1· 3【分析】依据一次函数y=2x-3的图象经过点0，-3和，0，即可得到一次函数y=2x-3的图象2经过一、三、四象限．3【详解】解：一次函数y=2x-3中，令x=0，则y=-3；令y=0，则x=，23∴一次函数y=2x-3的图象经过点0，-3和，0，2∴一次函数y=2x-3的图象经过一、三、四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4(2023·新疆·统考中考真题)一次函数y=x+1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】根据k=1>0,b=1>0即可求解．【详解】解：∵一次函数y=x+1中k=1>0,b=1>0，∴一次函数y=x+1的图象不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．5(2023·甘肃武威·统考中考真题)若直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，则k的值可为()1A.-2B.-1C.-D.22【答案】D【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，∴k>0，∴k的值可为2，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．6(2023·甘肃兰州·统考中考真题)一次函数y=kx-1的函数值y随x的增大而减小，当x=2时，y的值可以是()A.2B.1C.-1D.-2【答案】D【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把x=2代入函数y=kx-1，从而判断函数值y的取值．【详解】∵一次函数y=kx-1的函数值y随x的增大而减小∴k<0∴当x=2时，y=2k-1<-1故选：D.【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．7(2023·山东临沂·统考中考真题)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是()·2· 1A.k>0B.kb<0C.k+b>0D.k=-b2【答案】C【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数y=kx+b(k≠0)系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k>0，b<0，故选项A正确，不符合题意；∴kb<0，故选项B正确，不符合题意；∵一次函数y=kx+b的图象经过点2，0，∴2k+b=0，则b=-2k，∴k+b=k-2k=-k<0，故选项C错误，符合题意；∵b=-2k，1∴k=-b，故选项D正确，不符合题意；2故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．8(2023·山东聊城·统考中考真题)甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为()A.8:28B.8:30C.8:32D.8:35【答案】A【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，设小亮对应函数图象的解析式为y1=k1t，·3· a将70,a代入解析式得a=70k1，解得k1=，70a∴小亮对应函数图象的解析式为y1=t，70设小莹对应函数图象的解析式为y2=k2t+b，a=10k2+b将10,a，40,0代入解析式，得，0=40k2+bk=-a230解得，b=4a3a4∴小莹对应函数图象的解析式为y2=-t+a，303aa4令y1=y2，得t=-t+a，70303解得t=28，∴小亮与小莹相遇的时刻为8:28．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．39(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，直线y=-x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB2绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是()A.2,5B.3,5C.5,2D.13,2【答案】C【分析】先根据一次函数解析式求得点A,B的坐标，进而根据旋转的性质可得AC=OA=2,CD=OB=3，∠OAC=90°，∠ACD=90°，进而得出CD∥OA，结合坐标系，即可求解．3【详解】解：∵直线y=-x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，2∴当x=0时，y=3，即B0,3，则OB=3，当y=0时，x=2，即A2,0，则OA=2，∵将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，又∵∠AOB=90°∴AC=OA=2,CD=OB=3，∠OAC=90°，∠ACD=90°，∴CD∥OA，延长DC交y轴于点E，则E0,2，DE=EC+CD=2+3=5，·4· ∴D5,2，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．10(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知点P0,1，点A4,1，以点P3为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1-1,-3，M2-3,0，M31,3-1，M42,23四个点中，直线PB经过的点是()A.M1B.M2C.M3D.M4【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B2，1+23，利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=3x+1中可解答．【详解】解：∵点A4,1，点P0,1，∴PA⊥y轴，PA=4，·5· 由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC=30°，∴BC=2，PC=23，∴B2，1+23，设直线PB的解析式为：y=kx+b，2k+b=1+23则，b=1k=3∴，b=1∴直线PB的解析式为：y=3x+1，当x=-1时，y=-3+1，∴点M1-1,-3不在直线PB上，33当x=-3时，y=3×-3+1=0，3∴M2-3,0在直线PB上，当x=1时y=3+1，∴M31,3-1不在直线PB上，当x=2时，y=23+1，∴M42,23不在直线PB上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．二、填空题11(2023·山东·统考中考真题)一个函数过点1,3，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式．【答案】y=3x(答案不唯一)【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．【详解】解：由一个函数过点1,3，且y随x增大而增大，可知该函数可以为y=3x(答案不唯一)；故答案为y=3x(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．2212(2023·江苏苏州·统考中考真题)已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-1,2，则k-b=．【答案】-6k+b=3【分析】把点1,3和-1,2代入y=kx+b，可得，再整体代入求值即可．k-b=-2【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-1,2，k+b=3k+b=3∴，即，-k+b=2k-b=-222∴k-b=k+bk-b=3×-2=-6；故答案为：-6【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因·6· 式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．13(2023·天津·统考中考真题)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点2,m，则m的值为．【答案】5【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点2,m代入即可求得m的值．【详解】解：∵直线y=x向上平移3个单位长度，∴平移后的直线解析式为：y=x+3．∵平移后经过2,m，∴m=2+3=5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14(2023·湖南郴州·统考中考真题)在一次函数y=k-2x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是(任写一个符合条件的数即可)．【答案】3(答案不唯一)【分析】根据一次函数的性质可知“当k-2>0时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=(k-2)x+3中，y随x的值增大而增大，∴k-2>0．解得：k>2，故答案为：3(答案不唯一)．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．15(2023·广西·统考中考真题)函数y=kx+3的图象经过点2,5，则k=．【答案】1【分析】把点2,5代入函数解析式进行求解即可．【详解】解：由题意可把点2,5代入函数解析式得：2k+3=5，解得：k=1；故答案为：1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．16(2023·浙江杭州·统考中考真题)在““探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A0,2,B2,3,C3,1．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2,k3+b3的值，其中最大的值等于．【答案】5·7· 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出k1+b1，k2+b2,k3+b3进行比较即可解答．【详解】解：设y1=k1x+b1过A0,2,B2,3，则有：k=12=b11215，解得：，则k1+b1=+2=；3=2k1+b1b1=22215同理：k2+b2=-2+7=5，k3+b3=-+2=33则分别计算k1+b1，k2+b2,k3+b3的最大值为值k2+b2=-2+7=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．三、解答题517(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，点A2,m在直线y=2x-上，过点A2的直线交y轴于点B0,3．(1)求m的值和直线AB的函数表达式．5(2)若点Pt,y1在线段AB上，点Qt-1,y2在直线y=2x-上，求y1-y2的最大值．23315【答案】(1)m=，y=-x+3；(2)242【分析】(1)把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线AB的函数解析式为y=kx+b，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；3593(2)由(1)及题意易得y1=-t+30≤t≤2，y2=2t-1-=2t-，则有y1-y2=-t+3-4224911152t-=-t+，然后根据一次函数的性质可进行求解．24253【详解】(1)解：把点A2,m代入y=2x-，得m=．223设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A2,，B0,3代入得22k+b=3k=-32，解得4，b=3.b=3.3∴直线AB的函数表达式为y=-x+3．45(2)解：∵点Pt,y1在线段AB上，点Qt-1,y2在直线y=2x-上，2359∴y1=-t+30≤t≤2，y2=2t-1-=2t-，422391115∴y1-y2=-4t+3-2t-2=-4t+2．11∵k=-<0，4·8· ∴y1-y2的值随x的增大而减小，15∴当t=0时，y1-y2的最大值为．2【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．18(2023·吉林长春·统考中考真题)甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】(1)y=12x-180；(2)180【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；(2)求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=4x+6025≤x≤60，联立y=12x-18015≤x≤40，即可求解．【详解】(1)解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将15,0，40,300代入得，15k+b=0，40k+b=300k=12解得：，b=-180∴y=12x-18015≤x≤40；(2)设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=k1x+b125≤x≤60将点25,160，60,300代入得，25k1+b1=16060k1+b1=300k1=4解得：，b1=60∴y=4x+6025≤x≤60；y=12x-180联立y=4x+60x=30解得：y=180∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．19(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，·9· 2小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物5耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y(千米)与货车出发时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)A，B两地之间的距离是千米，a=；(2)求线段FG所在直线的函数解析式；(3)货车出发多少小时两车相距15千米？(直接写出答案即可)51925【答案】(1)60，1；(2)y=-60x+120；(3)小时或小时或小时1117173【分析】(1)根据货车从A地到B地花了小时结合路程=速度×时间即可求出A、B两地的距离；根据4货车装货花了15分钟即可求出a的值；(2)利用待定系数法求解即可；(3)分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．3【详解】(1)解：80×=60千米，4∴A，B两地之间的距离是60千米，∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，315∴a=+=1，460故答案为：60，1(2)解：设线段FG所在直线的解析式为y=kx+bk≠0将F1,60，G2,0代入y=kx+b，得k+b=602k+b=0k=-60解得，b=120∴线段FG所在直线的函数解析式为y=-60x+120(3)解：设货车出发x小时两车相距15千米，2由题意得，巡逻车的速度为60÷2+=25千米/小时52当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则25x+-15=80x，51解得x=-(所去)；112当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则25x++15=80x，55解得x=；11·10· 2∵25×1+=35<60-15=45，5∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，260当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则25x++15+x-1=60，52-119解得x=；172当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则25x+--60x+120=15，525解得x=；1751925综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米．111717【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．20(2023·全国·统考中考真题)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和ym与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示．(1)甲组比乙组多挖掘了天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】(1)30；(2)y=3x+12030<x≤60；(3)10天【分析】(1)由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；(2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；(3)先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【详解】(1)解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，60-30=30(天)∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；(2)解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，210=30k+b将30,210和60,300两个点代入，可得，300=60k+b·11· k=3解得，b=120∴y=3x+12030<x≤60300-210(3)解：甲组每天挖=3(千米)60-30210甲乙合作每天挖=7(千米)30∴乙组每天挖7-3=4(千米)，乙组挖掘的总长度为30×4=120(千米)设乙组己停工的天数为a，则330+a=120，解得a=10，答：乙组己停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．21(2023·四川泸州·统考中考真题)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元；(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元【分析】(1)设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为x+2元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；(2)设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400-m千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润=售价-进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．【详解】(1)解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为x+2元，根据题意得：240240-4=，xx+2解得：x1=10，x2=-12，经检验x1=10，x2=-12都是原方程的解，但x2=-12不符合实际舍去，答：节后每千克A粽子的进价为10元．(2)解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400-m千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：w=20-12m+16-10400-m=2m+2400，12m+10400-m≤4600∵，m>0∴0<m≤300，∵2>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w=2×300+2400=3000，最大·12· 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．22(2023·四川成都·统考中考真题)2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；(2)A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元【分析】(1)设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；(2)设A种食材购买x千克，则B种食材购买36-x千克，根据题意列出不等式，得出x≤24，进而设总费用为y元，根据题意，y=38x+3036-x=8x+1080，根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意得，a+b=68，5a+3b=280a=38解得：，b=30答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；(2)解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买36-x千克，根据题意，x≥236-x解得：x≥24，设总费用为y元，根据题意，y=38x+3036-x=8x+1080∵8>0，y随x的增大而增大，∴当x=24时，y最小，∴最少总费用为8×24+1080=1272(元)【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．23(2023·浙江·统考中考真题)我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：·13· (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y关于x的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．【答案】(1)30件；(2)y=20x+600；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一【分析】(1)由图象的交点坐标即可得到解答；(2)由图象可得点0,600,30,1200，设方案二的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式；(3)利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．【详解】(1)解：由图象可知交点坐标为30,1200，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)由图象可得点0,600,30,1200，设方案二的函数表达式为y=kx+b，把0,600,30,1200代入上式，得b=600,k=20,解得30k+b=1200.b=600.∴方案二的函数表达式为y=20x+600．(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键．24(2023·浙江金华·统考中考真题)兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系．(1)求哥哥步行的速度．(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a的值；②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．·14· 【答案】(1)v=100；(2)①a=6；②能追上，理由见解析【分析】(1)结合图表可得A8,800，根据速度等于路程除以时间，即可解答；(2)①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE的解析式的k为200，设DE的解析式为s=200t+b，根据妺妺比哥哥迟2分钟到书吧可得E12,800，将E12,800代入s=200t+b，即可得到一次函数解析式，把s=0代入一次函数即可得到a的值；②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将BC和FG的解析式求出，求两个函数的交点即可．【详解】(1)解：由图可得A8,800，800∴v==100(米/分)，8∴哥哥步行速度为100米/分．(2)①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE的解析式的k为200，设DE所在直线为s=200t+b，将10,800代入，得800=200×10+b，解得b=-1200．∴DE所在直线为s=200t-1200，当s=0时，200t-1200=0，解得t=6．∴a=6．②能追上．如图，根据哥哥的速度没变，可得BC,OA的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，设BC所在直线为s=100t+b1，将B17,800代入，得800=100×17+b1，解得b1=-900，∴s=100t-900．∵妺妺的速度是160米/分．设FG所在直线为s=160t+b2，将F20,800代入，得800=160×20+b2，解得b2=-2400，∴s=160t-2400．s=100t-900联立方程，s=160t-2400t=25解得，s=1600∴1900-1600=300米，即追上时兄妺俩离家300米远．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用(行程问题)，从图像中获得正确的信息是解题的关键．25(2023·四川遂宁·统考中考真题)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，·15· 经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；1(2)①w与m的函数关系式为w=-m+600m≥133；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最3大利润，最大利润为466元【分析】(1)设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为x+2元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；(2)①设购进甲粽子m个，则乙粽子200-m个，，由题意得w=-m+600，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得m≥2200-m；②由一次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为x+2元，10001200由题意得：=，xx+2解得：x=10，经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，则x+2=12，答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；(2)解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子200-m个，利润为w元，由题意得：w=12-10m+15-12200-m=-m+600，∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2200-m，1解得：m≥133，31∴w与m的函数关系式为w=-m+600m≥133；31②∵-1<0，则w随m的增大而减小，m≥133，即m的最小整数为134，3∴当m=134时，w最大，最大值=-134+600=466，则200-m=66，答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．26(2023·江苏连云港·统考中考真题)目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：销售价阶梯年用气量备注格·16· 3第一0∼400m(含400)的部2.67元3阶梯分/m3第二400∼1200m(含3.15元若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的333阶梯1200)的部分/m上限分别增加100m、200m．第三3.63元31200m以上的部分3阶梯/m3(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m，则该年此户需缴纳燃气费用为元；3(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户3比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精确到1m)【答案】(1)534；(2)y=3.63x-768(x>1200)；(3)26立方米【分析】(1)根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；(2)根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；(3)根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．33【详解】(1)∵200m<400m，∴该年此户需缴纳燃气费用为：2.67×200=534(元)，故答案为：534；(2)y关于x的表达式为y=400×2.67+1200-400×3.15+3.63x-1200=3.63x-768(x>1200)(3)∵400×2.67+1200-400×3.15=3588<3855，∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．由(2)知，当y=3855时，3.63x-768=3855，解得x≈1273.6．又∵2.67×100+400+3.15×1200+200-500=4170>3855，且2.67×100+400=1335<3855，∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．3设乙户年用气量为am．则有2.67×500+3.15a-500=3855，解得a=1300.0，3∴1300.0-1273.6=26.4≈26m．答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．27(2023·浙江宁波·统考中考真题)某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示．·17· (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．1【答案】(1)s=40t+20，a=2；(2)h3【分析】(1)设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s=100，代入解析式求出a的值即可；(2)先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．【详解】(1)解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b，由图象可知，直线过点0,20，1,60，b=20b=20∴，解得：，k+b=60k=40∴s=40t+20；当s=100时：100=40t+20，解得：t=2，∴a=2；(2)由图象可知，军车的速度为：60÷1=60km/h，4∴军车到达仓库所用时间为：80÷60=h，31从仓库到达基地所用时间为：100-80÷60=h，3411∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2--=h．333【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．28(2023·云南·统考中考真题)蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，购买A种型号帐篷数量1不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷3各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】(1)每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元(2)当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元【分析】(1)根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；1(2)根据购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出A种型3号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．·18· 【详解】(1)解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元．2x+4y=5200根据题意列方程组为：，3x+y=2800x=600解得，y=1000答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元．(2)解：设A种型号帐篷购买m顶，总费用为w元，则B种型号帐篷为(20-m)顶，由题意得w=600m+1000(20-m)=-400m+20000，1其中m≤20-m，得m≤5，3故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为w=600×5+1000×20-5=18000，答：当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键．29(2023·浙江绍兴·统考中考真题)一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发，去目的地N,M，匀速而行．图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象．(1)求OA所在直线的表达式．(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离．10【答案】(1)y=200x；(2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇；(3)P,M两地间的距离为600米3【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)利用待定系数法求出BC所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；(3)列出方程即可解决．【详解】(1)∵O0,0,A5,1000，∴OA所在直线的表达式为y=200x．(2)设BC所在直线的表达式为y=kx+b，∵B0,1000,C10,0，1000=0+b,k=-100,∴解得0=10k+b,b=1000．∴y=-100x+1000．10甲、乙机器人相遇时，即200x=-100x+1000，解得x=，310∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．3(3)设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离y=200t，·19· 则乙机器人t+1分钟后到P地，P地与M地距离y=-100t+1+1000，由200t=-100t+1+1000，得t=3．∴y=600．答：P,M两地间的距离为600米．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．30(2023·上海·统考中考真题)“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．(1)他实际花了多少钱购买会员卡？(2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式(不用写出定义域)(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？【答案】(1)900；(2)y=0.9x-0.27；(3)1.00【分析】(1)根据1000×0.9，计算求解即可；(2)由题意知，y=0.9x-0.30，整理求解即可；(3)当x=7.30，则y=6.30，根据优惠后油的单价比原价便宜x-y元，计算求解即可．【详解】(1)解：由题意知，1000×0.9=900(元)，答：实际花了900元购买会员卡；(2)解：由题意知，y=0.9x-0.30，整理得y=0.9x-0.27，∴y关于x的函数解析式为y=0.9x-0.27；(3)解：当x=7.30，则y=6.30，∵7.30-6.30=1.00，∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．31(2023·江苏扬州·统考中考真题)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元【分析】(1)设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得20(x+11)+30x=2920，求解；11(2)设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥(40-m)，解得m≥13，23故最小整数解为m=14，w=4m+1920，根据一次函数增减性，求得最小值=4×14+1920=1976．【详解】(1)解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得20(x+11)+30x=2920解得，x=54，x+11=65，·20· 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元．(2)解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,11则m≥(40-m)，解得m≥13，故最小整数解为m=14，23w=0.8×65m+(54-6)(40-m)=4m+1920，∵4>0，则w随m的增大而增大，∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．32(2023·湖南永州·统考中考真题)小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：时间t(单位：分钟)12345⋯总水量y(单位：毫升)712172227⋯k(1)探究：根据上表中的数据，请判断y=和y=kt+b(k，b为常数)哪一个能正确反映总水量y与时间tt的函数关系?并求出y关于t的表达式；(2)应用：①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天．【答案】(1)y=kt+b能正确反映总水量y与时间t的函数关系；y=5t+2；(2)①102毫升；②144天【分析】(1)观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得y=kt+b能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；(2)①将t=20代入函数，即可解答；②由解析式可知，每分钟滴水量为5毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．【详解】(1)解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得y=kt+b能正确反映总水量y与时间t的函数关系，t=1t=2把，代入y=kt+b，y=7y=127=k+b可得，12=2k+bk=5解得，b=2∴y关于t的表达式y=5t+2；(2)①当t=20时，y=5×20+2=102，故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．②由解析式可知，每分钟的滴水量为5毫升，30天=30×24×60分钟=43200分钟，·21· 43200×5可供一人饮水天数=144天，1500答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用144天．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．33(2023·天津·统考中考真题)已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张强离开宿舍的时间1102060/min张强离宿舍的距离/km1.2②填空：张强从体育场到文具店的速度为km/min；③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；(2)当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？(直接写出结果即可)y=0.650≤x≤60【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③；(2)0.3kmy=-0.03x+2.460<x≤80【分析】(1)①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当50≤x≤60时，直接根据图象写出解析式即可；当60<x≤80时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法求函数解析式即可；(2)当张强离开体育场15min时，即x=55时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为-0.03x+2.4=1.2-0.06x-55，求解即可．【详解】(1)①1.2÷10×1=0.12km，由图填表：张强离开宿舍的时间1102060/min0.张强离宿舍的距离/km0.121.21.26·22· 故答案为：0.12，1.2，0.6；②张强从体育场到文具店的速度为0.6÷50-40=0.06km/min，故答案为：0.06；当50≤x≤60时，y=0.6；当60<x≤80时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，0.6=60k+b把60,0.6,80,0代入，得，0=80k+bk=-0.03解得，b=2.4∴y=-0.03x+2.4；y=0.650≤x≤60综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为；y=-0.03x+2.460<x≤80(2)当张强离开体育场15min时，即x=55时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，∴-0.03x+2.4=1.2-0.06x-55解得x=70，当x=70时，1.2-0.06×70-55=0.3km，所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3km．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．34(2023·四川内江·统考中考真题)某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：水果种类进价(元千克)售价(元)千克)甲a20乙b23该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润y(元)取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙利润种水果每千克降价m元，若要保证利润率(利润率=)不低于16%，求m的最大值．本金a=142x+40030≤x≤60【答案】(1)；(2)y=；(3)1.2b=19-x+58060<x≤80【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组求解即可；(2)设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为100-x千克，根据题意分两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；·23· 利润(3)首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率(利润率=)不低于16%列出不等式求解即本金可．15a+5b=305【详解】(1)由题意列方程组为：，20a+10b=470a=14解得；b=19(2)设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为100-x千克，∴当30≤x≤60时，y=20-14x+23-19100-x=2x+400；当60<x≤80时，y=20-14×60+20-3-14x-60+23-19100-x=-x+580；2x+40030≤x≤60综上所述，y=；-x+58060<x≤80(3)当30≤x≤60时，y=2x+400，∴当x=60时，y取最大值，此时y=2×60+400=520(元)，当60<x≤80时，y=-x+580，∴y<-60+580=520(元)，∴由上可得：当x=60时，y取最大值520(元)，520-3m×60-40m∴由题意可得，≥16%，60×14+40×19∴解得m≤1.2．∴m的最大值为1.2．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．35(2023·湖北宜昌·统考中考真题)某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100°C的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：时间t/s010203040油温y/°C1030507090(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y(单位：°C)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是函数关系(请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”)；·24· (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式；(3)当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．【答案】(1)一次；(2)y=2t+10；(3)当加热110s时，油沸腾了，推算沸点的温度为230°C【分析】(1)根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可．(2)运用待定系数法求解即可；(3)把t=110代入函数关系式，求出函数值即可．【详解】(1)由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加10s，油的温度就升高20℃，故可知可能是一次函数关系，故答案为：一次；(2)设这个一次函数的解析式为y=kt+b(k≠0)，∵当t=0时，y=10；当t=10时，y=30，10=bk=2∴，解得，30=10k+bb=10∴y关于t的函数解析式为y=2t+10；(3)当t=110时，y=2×110+10=230答：当加热110s时，油沸腾了，推算沸点的温度为230°C．【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．36(2023·河北·统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式．例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3)．(1)设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x,y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C，横坐标依次为a,b,c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．【答案】(1)l1的解析式为y=-x+6；l2的解析式为y=-x+15；(2)①x=m+10,y=20-m；②l3的解析式为y=-x+30，图象见解析；(3)5a+3c=8b·25· 【分析】(1)根据待定系数法即可求出l1的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线l2的解析式；(2)①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为2m,m，再得出点2m,m按照乙方式移动10-m次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线l3的解析式，进而可画出函数图象；(3)先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．【详解】(1)设l1的解析式为y=kx+b，把M(4,2)、N(2,4)代入，得4k+b=2k=-1，解得：，2k+b=4b=6∴l1的解析式为y=-x+6；将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y=-x+15；(2)①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，∴点P按照乙方式移动了10-m次，∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为2m,m；∴点2m,m按照乙方式移动10-m次后得到的点的横坐标为2m+10-m=m+10，纵坐标为m+210-m=20-m，∴x=m+10,y=20-m；②由于x+y=m+10+20-m=30，∴直线l3的解析式为y=-x+30；函数图象如图所示：(3)∵点A,B,C的横坐标依次为a,b,c，且分别在直线l1,l2,l3上，∴Aa,-a+6,Bb,-b+15,Cc,-c+30，设直线AB的解析式为y=mx+n，把A、B两点坐标代入，得m=-1+9ma+n=-a+6b-a，解得：，mb+n=-b+15n=6-9ab-a99a∴直线AB的解析式为y=-1+x+6-，b-ab-a∵A，B，C三点始终在一条直线上，·26· 99a∴c-1++6-=-c+30，b-ab-a整理得：5a+3c=8b；即a，b，c之间的关系式为：5a+3c=8b．【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．37(2023·广西·统考中考真题)【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：m0+m⋅l=M⋅(a+y).其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l和a的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值．任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．1【答案】(1)l=5a；(2)101l-5a=250；(3)l=2.5,a=0.5；(4)y=m；(5)相邻刻线间的距离为5厘米20【分析】(1)根据题意可直接进行求解；(2)根据题意可直接代值求解；(3)由(1)(2)可建立二元一次方程组进行求解；(4)根据(3)可进行求解；(5)分别把m=0，m=100，m=200，m=300，m=400，m=500，m=600，m=700，m=800，m=900，m=1000代入求解，然后问题可求解．【详解】(1)解：由题意得：m=0,y=0，∴10l=50a，∴l=5a；(2)解：由题意得：m=1000,y=50，∴10+1000l=50a+50，∴101l-5a=250；·27· l=5al=2.5(3)解：由(1)(2)可得：，解得：；101l-5a=250a=0.5(4)解：由任务一可知：l=2.5,a=0.5，1∴2.510+m=500.5+y，∴y=m；201(5)解：由(4)可知y=m，20∴当m=0时，则有y=0；当m=100时，则有y=5；当m=200时，则有y=10；当m=300时，则有y=15；当m=400时，则有y=20；当m=500时，则有y=25；当m=600时，则有y=30；当m=700时，则有y=35；当m=800时，则有y=40；当m=900时，则有y=45；当m=1000时，则有y=50；∴相邻刻线间的距离为5厘米．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．38(2023·辽宁大连·统考中考真题)为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：(1)男女跑步的总路程为．(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．【答案】(1)1000m；(2)315m【分析】(1)根据男女同学跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以2，即可求解(2)根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：y=50+4.5x，求得女生的速度，进而得出解析式为y=3.5x+80，联立求得x=30s，进而即可求解．【详解】(1)解：∵开始时男生跑了50m，男生的跑步速度为4.5m/s，从开始匀速跑步到停止跑步共用时100s．∴男生跑步的路程为50+4.5×100=500m，∴男女跑步的总路程为500×2=1000m，故答案为：1000m．(2)解：男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：y=50+4.5x，设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：y=kx+80，依题意，女生匀速跑了500-80=420m，用了120s，则速度为420÷120=3.5m/s，∴y=3.5x+80，y=50+4.5x联立，解得：x=30.y=3.5x+80将x=30代入y=50+4.5x解得：y=185，∴此时男、女同学距离终点的距离为500-185=315m．·28· 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．39(2023·湖北鄂州·统考中考真题)1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)a=，b=；(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？11【答案】(1)，30；(2)y1=x+10，y2=x+20；(3)10min或30min22【分析】(1)根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；(2)由(1)可得y1与y2函数图象的交点坐标为20,30，分别代入计算即可；(3)由题意可得y1-y2=5或y2-y1=5，分别计算即可．1【详解】(1)解：b=10+20×1=30，a=30-20÷20=，21故答案为：，30；2(2)由(1)可得y1与y2函数图象的交点坐标为20,30，设y1=k1x+10，y2=k2x+20，将20,30分别代入可得：30=20k1+10，30=20k2+201解得：k1=1，k2=，21∴y1=x+10，y2=x+20；2(3)由题意可得y1-y2=5或y2-y1=5，1当y1-y2=5时，x+10-2x+20=5，解得x=30，1当y2-y1=5时，x+20-x+10=5，2解得x=10，∴当上升10min或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m．【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．40(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆)．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．·29· (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？(3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．【答案】(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人；(2)共有4种租车方案，租8辆A型车，2辆B11型车最省钱；(3)在甲乙两车第一次相遇后，当t=3小时或小时时，两车相距25千米3【分析】(1)设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；(2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10-m)辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出m的值，设总租金为w元，根据一次函数的性质即可求解；(3)设s甲=kt，s乙=k1t+b，由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．求出函数解析式，进而即可求解．【详解】(1)解：设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意得5x+2y=3103x+4y=340x=40解得y=55答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人．(2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10-m)辆，由题意得500m+60010-m≤55002解得：5≤m≤840m+5510-m≥4203∵m取正整数，∴m=5，6，7，8∴共有4种租车方案设总租金为w元，则w=500m+600(10-m)=-100m+6000∵-100<0∴w随着m的增大而减小·30· ∴m=8时，w最小∴租8辆A型车，2辆B型车最省钱．(3)设s甲=kt，s乙=k1t+b．由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．∴s甲=75t，s乙=100t-50s乙-s甲=25，即100t-50-75t=25解得t=3或300-75t=2511解得t=311所以，在甲乙两车第一次相遇后，当t=3小时或小时时，两车相距25千米．3【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．41(2023·黑龙江·统考中考真题)已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现2此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结3果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离ykm与货车行驶时间xh之间的函数图象，结合图象回答下列问题：(1)图中a的值是；(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数关系式；(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．125131【答案】(1)120；(2)y=60x；(3)h或h1717【分析】(1)利用待定系数法求得OC的解析式，将1,a代入解析式，解方程即可解答；(2)根据题意可得a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租2车相距120km，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发h后与出租车相遇，求出装完货3后货车的速度，即直线BG的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线BG的解析式，利用待定系数法即可解答；(3)根据(2)中直线BG的解析式求得点F的坐标，结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时；②出租车和货车第二次相遇后，距离12km时，分别进行解答即可．·31· 【详解】(1)解：结合图象，可得C4,480，设直线OC的解析式为y=kx，将C4,480代入解析式，可得480=4k，解得k=120，∴直线OC的解析式为y=120x，把1,a代入y=120x，得a=120，故答案为：120；(2)解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120=240km，∴出租车距离甲地为480-240=240km，把y=240代入y=120x，可得240=120x，解得x=2，∴货车装完货时，x=2，可得B2,120，22根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×(出租车的速度+货车的速度)=120，33根据直线OC的解析式为y=120x，可得出租车的速度为120kmh，2∴相遇时，货车的速度为120÷-120=60kmh，3故可设直线BG的解析式为y=60x+b，将B2,120代入y=60x+b，可得120=120+b，解得b=0，∴直线BG的解析式为y=60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数关系式为y=60x；(3)解：把y=480代入y=60x，可得480=60x，解得x=8，∴G8,480，∴F8,0，151根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得EF==,60431∴E,0，431∴出租车返回时的速度为480÷-4=128kmh，4设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128t-4=128t-512km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时；可得60t1-128t1-512=12，125解得t1=，17②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时；可得128t2-512-60t2=12，131解得t2=，17125131故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．1717【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．·32·