2024中考数学第一轮专题复习： 不等式（组）及其应用（解析版）

不等式(组)及其应用一、单选题1(2023·内蒙古·统考中考真题)关于x的一元一次不等式x-1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为()A.3B.2C.1D.0【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．【详解】解：x-1≤m解得x≤m+1，由数轴得：m+1=3，解得：m=2，故选：B．【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．x-3<22(2023·湖南常德·统考中考真题)不等式组的解集是()3x+1≥2xA.x<5B.1≤x<5C.-1≤x<5D.x≤-1【答案】C【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．x-3<2①【详解】3x+1≥2x②解不等式①，移项，合并同类项得，x<5；解不等式②，移项，合并同类项得，x≥-1故不等式组的解集为：-1≤x<5．故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3x-1≥x+13(2023·湖北·统考中考真题)不等式组的解集是()x+4>4x-2A.1≤x<2B.x≤1C.x>2D.1<x≤2【答案】A【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集．3x-1≥x+1①【详解】解：x+4>4x-2②解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x<2，∴不等式组的解集为1≤x<2，·1· 故选：A．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．x-2>14(2023·广东·统考中考真题)一元一次不等式组的解集为()x<4A.-1<x<4B.x<4C.x<3D.3<x<4【答案】D【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.x-2>1①【详解】解：x<4②解不等式①得：x>3结合②得：不等式组的解集是3<x<4，故选：D．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．1+4x5(2023·湖北宜昌·统考中考真题)解不等式>x-1，下列在数轴上表示的解集正确的是3()．A.B.C.D.【答案】D【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解．【详解】解：1+4x>3x-34x-3x>-3-1x>-4，解集在数轴上表示为故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关键．x+1>06(2023·浙江宁波·统考中考真题)不等式组的解在数轴上表示正确的是()x-1≤0A.B.C.D.·2· 【答案】C【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．x+1>0①【详解】解：，x-1≤0②由①得x>-1；由②得x≤1；∴原不等式组的解集为-1<x≤1，在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：，故选：C．【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．x>m+37(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取5x-2<4x+1值范围是()A.-5≤m<-4B.-5<m≤-4C.-4≤m<-3D.-4<m≤-3【答案】A【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．x>m+3①【详解】解：，5x-2<4x+1②由②得：x<3，解集为m+3<x<3，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1，∴-2≤m+3<-1，∴-5≤m<-4；故选：A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2≤m+3<-1是解此题的关键．4x-1>3x-18(2023·四川遂宁·统考中考真题)若关于x的不等式组的解集为x>3，则a的取5x>3x+2a值范围是()A.a>3B.a<3C.a≥3D.a≤3【答案】D【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x>3求出a的取值范围即可．4x-1>3x-1①【详解】解：5x>3x+2a②解不等式①得：x>3，解不等式②得：x>a，·3· 4x-1>3x-1∵关于x的不等式组的解集为x>3，5x>3x+2a∴a≤3，故选：D．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．二、填空题9(2023·全国·统考中考真题)不等式4x-8>0的解集为．【答案】x>2【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：4x-8>04x>8解得：x>2，故答案为：x>2．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．10(2023·辽宁大连·统考中考真题)9>-3x的解集为．【答案】x>-3【分析】根据不等式的性质解不等式即可求解．【详解】解：9>-3x，解得：x>-3，故答案为：x>-3．【点睛】本题考查了求不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．11(2023·四川乐山·统考中考真题)不等式x-1>0的解集是．【答案】x>1【分析】直接移项即可得解．【详解】解：∵x-1>0，∴x>1，故答案为：x>1．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．x+5>012(2023·黑龙江·统考中考真题)关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围x-m≤1是．【答案】-3≤m<-2/-2>m≥-3【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得m的取值范围．x+5>0【详解】解：解不等式组得：-5<x≤m+1，x-m≤1x+5>0∵关于x的不等式组有3个整数解，x-m≤1·4· ∴这3个整数解为-4，-3，-2，∴-2≤m+1<-1，解得：-3≤m<-2，故答案为：-3≤m<-2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．13(2023·广东·统考中考真题)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．【答案】8.8x【分析】设打x折，由题意可得5×-4≥4×10％，然后求解即可．10x【详解】解：设打x折，由题意得5×-4≥4×10％，10解得：x≥8.8；故答案为：8.8．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．x-1≥x-214(2023·山东聊城·统考中考真题)若不等式组23的解集为x≥m，则m的取值范围是2x-m≥x．【答案】m≥-1【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．x-1≥x-2①【详解】解：23，2x-m≥x②解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x≥m，∵不等式组的解集为：x≥m，∴m≥-1．故答案为：m≥-1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到(无解)是解题的关键．115(2023·湖南·统考中考真题)关于x的不等式x-1>0的解集为．2【答案】x>2【分析】根据一元一次不等式的解法即可得出结果．1【详解】解：x-1>0，21移项，得x>1，2系数化为1，得x>2．故答案为：x>2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．·5· 2x-4≥2,16(2023·山东滨州·统考中考真题)不等式组的解集为．3x-7<8【答案】3≤x<5【分析】分别解两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．2x-4≥2①【详解】解：，3x-7<8②由①得：x≥3，由②得：x<5，∴不等式组的解集为：3≤x<5；故答案为：3≤x<5【点睛】本题考查的是一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法步骤与方法是解本题的关键．x+3≥217(2023·浙江温州·统考中考真题)不等式组3x-1的解是．<42【答案】-1≤x<3【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．x+3≥2①【详解】解不等式组：3x-1<4②2解：由①得，x≥-1；由②得，x<3所以，-1≤x<3．故答案为：-1≤x<3．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键．x+3≤418(2023·重庆·统考中考真题)若关于x的一元一次不等式组2，至少有2个整数解，且关2x-a≥2a-14于y的分式方程+=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．y-22-y【答案】4【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a-1，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．2x+3≤4①【详解】解：22x-a≥2②解不等式①得：x≤5，a解不等式②得：x≥1+，2a∴不等式的解集为1+≤x≤5，2∵不等式组至少有2个整数解，a∴1+≤4，2·6· 解得：a≤6；a-14∵关于y的分式方程+=2有非负整数解，y-22-y∴a-1-4=2y-2a-1解得：y=，2a-1a-1即≥0且≠2，22解得：a≥1且a≠5∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．2x+3y=3+a19(2023·四川泸州·统考中考真题)关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y>x+2y=622，写出a的一个整数值．【答案】7(答案不唯一)【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+y>22代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．【详解】将两个方程相减得x+y=a-3，∵x+y>22，∴a-3>22，∴a>3+22，∵4<8<9，∴2<22<3，∴5<22+3<6，∴a的一个整数值可以是7．故答案为：7(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．5x+2>3x-120(2023·四川凉山·统考中考真题)不等式组13的所有整数解的和是．x-1≤7-x22【答案】7【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可．5x+2>3x-1①【详解】解：13，x-1≤7-x②22由①得：5x-3x>-3-2，∴2x>-5，5解得：x>-；2由②得：x-2≤14-3x，·7· 整理得：4x≤16，解得：x≤4，5∴不等式组的解集为：-<x≤4，2∴不等式组的整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4；∴-2+-1+0+1+2+3+4=7，故答案为：7【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．2x+1>x+a①21(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x的不等式组x5所有整数解的和为14，+1≥x-9②22则整数a的值为．【答案】2或-1【分析】根据题意可求不等式组的解集为a-1<x≤5，再分情况判断出a的取值范围，即可求解．【详解】解：由①得：x>a-1，由②得：x≤5，∴不等式组的解集为：a-1<x≤5，∵所有整数解的和为14，①整数解为：2、3、4、5，∴1≤a-1<2，解得：2≤a<3，∵a为整数，∴a=2．②整数解为：-1，0，1，2、3、4、5，∴-2≤a-1<-1，解得：-1≤a<0，∵a为整数，∴a=-1．综上，整数a的值为2或-1故答案为：2或-1．【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．三、解答题7x-14≤0①22(2023·湖南·统考中考真题)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．2x+3>x+4②【答案】不等式组的解集为：-2<x≤2．画图见解析【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．·8· 7x-14≤0①【详解】解：，2x+3>x+4②由①得：x≤2，由②得：2x+6>x+4，∴x>-2，在数轴上表示其解集如下：∴不等式组的解集为：-2<x≤2．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键．5x-2<3x+1,23(2023·山东·统考中考真题)解不等式组：3x-2x-2．≥x+322【答案】x≤3【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．5【详解】解：解5x-2<3x+1得：x<，23x-2x-22解≥x+得：x≤，3232∴不等式组的解集为x≤．3【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．2x+1<3,①24(2023·福建·统考中考真题)解不等式组：x1-3x+≤1.②24【答案】-3≤x<1【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．2x+1<3,①【详解】解：x1-3x+≤1.②24解不等式①，得x<1．解不等式②，得x≥-3．所以原不等式组的解集为-3≤x<1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．2x-4<2①25(2023·湖北武汉·统考中考真题)解不等式组请按下列步骤完成解答．3x+2≥x②(1)解不等式①，得；(2)解不等式②，得；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；·9· (4)原不等式组的解集是．【答案】(1)x<3(2)x≥-1(3)见解析(4)-1≤x<3【分析】(1)直接解不等式①即可解答；(2)直接解不等式①即可解答；(3)在数轴上表示出①、②的解集即可；(3)数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．【详解】(1)解：2x-4<2，2x<6x<3．故答案为：x<3．(2)解：3x+2≥x，2x≥-2x≥-1．故答案为：x≥-1．(3)解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)解：由图可知原不等式组的解集是-1≤x<3．故答案为：-1≤x<3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是解答本题的关键．x+2>326(2023·浙江·统考中考真题)解一元一次不等式组：．2x-1<5【答案】1<x<3【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．x+2>3①【详解】解：2x-1<5②解不等式①，得x>1，解不等式②，得x<3，∴原不等式组的解是1<x<3．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键．2x-2>027(2023·湖南永州·统考中考真题)解关于x的不等式组3x-1-7<-2x【答案】1<x<2【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．·10· 2x-2>0①【详解】解：，3x-1-7<-2x②解①得，x>1，解②得，x<2，∴原不等式组的解集为1<x<2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．2x+1>0,28(2023·江苏苏州·统考中考真题)解不等式组：x+1>x-1.31【答案】-<x<22【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．2x+1>0①【详解】解：x+1>x-1②31解不等式①得：x>-2解不等式②得：x<21∴不等式组的解集为：-<x<22【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．x-4≤0①29(2023·湖南·统考中考真题)解不等式组：2x+1<3x②【答案】2<x≤4【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．x-4≤0①【详解】解：2x+1<3x②解不等式①得：x≤4解不等式②得：x>2∴不等式组的解集为：2<x≤4.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．2x+1>x+3,①30(2023·湖南岳阳·统考中考真题)解不等式组：2x-4<x.②【答案】2<x<4【分析】按照解不等式组的基本步骤求解即可．2x+1>x+3,①【详解】∵，2x-4<x.②解①的解集为x>2；解②的解集为x<4，∴原不等式组的解集为2<x<4．【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．·11· 2x-1+1>-3,31(2023·江苏扬州·统考中考真题)解不等式组1+x并把它的解集在数轴上表示出x-1≤,3来．【答案】-1<x≤2，数轴表示见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．2x-1+1>-3①【详解】解：1+xx-1≤②3解不等式①得x>-1·，解不等式②，得：x≤2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则不等式组的解集为：-1<x≤2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3x>x+632(2023·上海·统考中考真题)解不等式组1x<-x+5210【答案】3<x<3【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．3x>x+6①【详解】解：1，x<-x+5②2解不等式①得：x>3，10解不等式②得：x<，310则不等式组的解集为3<x<．3【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．x>-6-2x33(2023·甘肃武威·统考中考真题)解不等式组：3+xx≤4【答案】-2<x≤1【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．x>-6-2x①【详解】解：解不等式组：3+x，x≤②4解不等式①，得x>-2．解不等式②，得x≤1．因此，原不等式组的解集为-2<x≤1．·12· 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．34(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1500元．(1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？(2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少件？【答案】(1)甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价为600元；(2)至少销售甲种电子产品2万件【分析】(1)设甲种电子产品的销售单价x元，乙种电子产品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同，②3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1500元，列出方程组求解即可；(2)可设销售甲种电子产品a万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．【详解】(1)解：设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的单价为y元．2x=3y根据题意得：，3x-2y=1500x=900解得：；y=600答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价为600元．(2)解：设销售甲种电子产品a万件，则销售乙种电子产品8-a万件．根据题意得：900a+6008-a≥5400．解得：a≥2．答：至少销售甲种电子产品2万件．【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系及等量关系．35(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨；(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【分析】(1)设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运x-10吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；(2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器30-m台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．【详解】(1)解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运x-10吨,·13· 450500由题意可得：=，解得：x=100x-10x450500经检验，x=100是分式方程=的解x-10x每台A型机器每天搬运x-10=100-10=90吨答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨(2)解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器30-m台90m+10030-m≥2880由题意可得：,解得：4≤m≤12，1.5m+230-m≤55公司采购金额：w=1.5m+230-m=-0.5m+60∵-0.5<0∴w随m的增大而减小∴当m=12时，公司采购金额w有最小值，即w=-0.5×12+60=54，∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．36(2023·广东深圳·统考中考真题)某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．(1)求A，B玩具的单价；(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；(2)最多购置100个A玩具．【分析】(1)设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为x+25元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；(2)设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．【详解】(1)解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为x+25元；由题意得：2x+25+x=200；解得：x=50，则B玩具单价为x+25=75(元)；答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；(2)设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个，由题意可得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，∴最多购置100个A玩具．【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．37(2023·河南·统考中考真题)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所·14· 购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．【答案】(1)活动一更合算；(2)400元；(3)当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算【分析】(1)分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；(2)设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；(3)由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当0<a<300时，所需付款为a元，当300≤a<600时，所需付款为a-80元，当600≤a<900时，所需付款为a-160元，然后根据题意列出不等式即可求解．【详解】(1)解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：450×0.8=360元，活动二需付款：450-80=370元，∴活动一更合算；(2)设这种健身器材的原价是x元，则0.8x=x-80，解得x=400，答：这种健身器材的原价是400元，(3)这种健身器材的原价为a元，则活动一所需付款为：0.8a元，活动二当0<a<300时，所需付款为：a元，当300≤a<600时，所需付款为：a-80元，当600≤a<900时，所需付款为：a-160元，①当0<a<300时，a>0.8a，此时无论a为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300≤a<600时，a-80<0.8a，解得300≤a<400，即：当300≤a<400时，活动二更合算，③当600≤a<900时，a-160<0.8a，解得600≤a<800，即：当600≤a<800时，活动二更合算，综上：当300≤a<400或600≤a<800时，活动二更合算．【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．38(2023·湖北荆州·统考中考真题)荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．(1)求A，B饰品每件的进价分别为多少元？(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；·15· ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【答案】(1)A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；(2)①120≤x≤210且x为整数，②当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元【分析】(1)分别设出A，B饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；(2)①依据题意列出不等式即可；②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．【详解】(1)(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为a-1元．1400630由题意得：=×2，解得：a=10，aa-1经检验，a=10是所列方程的根，且符合题意．A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．600-x≥390(2)①根据题意得：，600-x≤4x解得：120≤x≤210且x为整数；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元．当120≤x≤150时，w=15×600-10x-9600-x，即w=-x+3600，∵-1<0，∴w随x的增大而减小．∴当x=120时，w有最大值3480．当150<x≤210时，w=15×600-10×150+10×60%x-150-9600-x整理得：w=3x+3000，∵3>0，∴w随x的增大而增大．∴当x=210时，w有最大值3630．∵3630>3480，∴w的最大值为3630，此时600-x=390．即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值．39(2023·山东聊城·统考中考真题)今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：票的种类ABC购票人数/人1~5051~100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于乙团)，在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．(1)求两个旅游团各有多少人？(2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？【答案】(1)甲团人数有58人，乙团人数有44人；(2)当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购·16· 买A种门票节省【分析】(1)设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可；(2)设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可．【详解】(1)解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人，x+y=102由题意得：，45x+50y=102×40+730x=58解得：，y=44答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；(2)解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，由题意得：45×51<50a，解得：a>45.9，∵a为整数，∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系和不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．40(2023·湖南·统考中考真题)低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？【答案】(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150,100元；(2)最少需要购买甲型自行车10台【分析】(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x,y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；(2)设需要购买甲型自行车a台，则购买乙型自行车20-a台，依题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解．【详解】(1)解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x,y元，根据题意得，3x+2y=650，x+2y=350x=150解得：，y=100答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150,100元；(2)设需要购买甲型自行车a台，则购买乙型自行车20-a台，依题意得，500a+80020-a≤13000，解得：a≥10，∵a为正整数，·17· ∴a的最小值为10，答：最少需要购买甲型自行车10台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组以及不等式是解题的关键．41(2023·山西·统考中考真题)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？【答案】(1)一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨；(2)6套【分析】(1)设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；(2)设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合m为整数求解即可．【详解】(1)解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．x+2y=2.8根据题意，得，2x=3yx=1.2解得．y=0.8答：一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨．(2)解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据题意，得1.2+0.8×3m+8≤30．55解得m≤．9因为m为整数，m取最大值，所以m=6．答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．·18· 2x+1≥x-1①42(2023·天津·统考中考真题)解不等式组4x-1≤x+2②请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得；(2)解不等式②，得；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为．【答案】(1)x≥-2(2)x≤1(3)见解析(4)-2≤x≤1【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可．【详解】(1)解：解不等式①，得x≥-2，故答案为：x≥-2；(2)解：解不等式②，得x≤1，故答案为：x≤1；(3)解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)解：原不等式组的解集为-2≤x≤1，故答案为：-2≤x≤1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．43(2023·湖南怀化·统考中考真题)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？(3)在(2)的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】(1)原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人(2)共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆；方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆；方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，(3)租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算【分析】(1)设原计划租用A种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；(2)设租用A种客车a辆，则租用B种客车25-a辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；(3)分别求得三种方案的费用，进而即可求解．·19· 【详解】(1)解：设原计划租用A种客车x辆，根据题意得，45x+30=60x-6，解得：x=26所以60×26-6=1200(人)答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；(2)解：设租用A种客车a辆，则租用B种客车25-a辆，根据题意，得25-a≤745a+6025-a≥1200解得：18≤a≤20，∵a为正整数，则a=18,19,20，∴共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，(3)∵A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，∴B种客车越少，费用越低，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，费用为18×220+7×300=6060元，方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，费用为19×220+6×300=5980元，方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，费用为20×220+5×300=5900元，∴租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．44(2023·江西·统考中考真题)今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．(1)求该班的学生人数；(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？【答案】(1)该班的学生人数为45人；(2)至少购买了甲树苗80棵【分析】(1)设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；(2)根据(1)所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗155-m棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．【详解】(1)解：设该班的学生人数为x人，由题意得，3x+20=4x-25，解得x=45，∴该班的学生人数为45人；(2)解：由(1)得一共购买了3×45+20=155棵树苗，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗155-m棵树苗，由题意得，30m+40155-m≤5400，解得m≥80，∴m得最小值为80，·20· ∴至少购买了甲树苗80棵，答：至少购买了甲树苗80棵．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．45(2023·云南·统考中考真题)蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，购买A种型号帐篷数量1不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷3各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】(1)每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元；(2)当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．【分析】(1)根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；1(2)根据购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出A3种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．【详解】(1)解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元．2x+4y=5200根据题意列方程组为：，3x+y=2800x=600解得，y=1000答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元．(2)解：设A种型号帐篷购买m顶，总费用为w元，则B种型号帐篷为(20-m)顶，由题意得w=600m+1000(20-m)=-400m+20000，1其中m≤20-m，得m≤5，3故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为w=600×5+1000×20-5=18000，答：当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键．46(2023·四川眉山·统考中考真题)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【答案】(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元；(2)该校最多可以购买甲种书40本【分析】(1)设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格+1本乙种书的价格=100；3本甲种书的价格+2本乙种书的价格=165，列方程解答即可；·21· (2)设购买甲种书a本，则购买乙种书100-a本，根据购买甲种书的总价+购买乙种书的总价≤3200，列不等式解答即可．【详解】(1)解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，2x+y=100可得方程，3x+2y=165x=35解得，y=30x=35∴原方程的解为，y=30答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．(2)解：设购买甲种书a本，则购买乙种书100-a本，根据题意可得35a+30100-a≤3200，解得a≤40，故该校最多可以购买甲种书40本，答：该校最多可以购买甲种书40本．【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．47(2023·四川凉山·统考中考真题)凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？【答案】(1)雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元；(2)最多能购买雷波脐橙40千克．【分析】(1)设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x元，y元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；(2)设最多能购买雷波脐橙m千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可．【详解】(1)解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x元，y元，则3x+2y=78①，2x+3y=72②①+②得；5x+5y=150，则x+y=30③把③代入①得：x=18，把③代入②得：y=12，x=18∴方程组的解为：，y=12答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元．(2)设最多能购买雷波脐橙m千克，则18m+12100-m≤1440，·22· ∴6m≤240，解得：m≤40，答：最多能购买雷波脐橙40千克．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键．48(2023·四川广安·统考中考真题)“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？(2)若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元【分析】(1)设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；(2)设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋30-m箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m的取值范围，再结合m为正整数可得m所有可能的取值，然后根据(1)的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．【详解】(1)解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，9x+6y=390由题意得：，5x+8y=310x=30解得，y=20答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元．(2)解：设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋30-m箱，∵购买A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，m-30-m≥5∴，m≤230-m35解得≤m≤20，2又∵m为正整数，∴m所有可能的取值为18，19，20，①当m=18，30-m=12时，购买总费用为30×18+20×12=780(元)，②当m=19，30-m=11时，购买总费用为30×19+20×11=790(元)，③当m=20，30-m=10时，购买总费用为30×20+20×10=800(元)，所以购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．·23·