2024中考数学第一轮专题复习： 一元二次方程及其应用（解析版）

一元二次方程及其应用一、单选题221(2023·四川泸州·统考中考真题)关于x的一元二次方程x+2ax+a-1=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数a的取值有关【答案】C2222【分析】根据一元二次方程根的判别式求出Δ=2a-4a-1=4a-4a+4=4>0，即可得出答案．2222【详解】解：∵Δ=2a-4a-1=4a-4a+4=4>0，22∴关于x的一元二次方程x+2ax+a-1=0有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．22【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax+bx+c=0a≠0的根与Δ=b-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．22(2023·天津·统考中考真题)若x1,x2是方程x-6x-7=0的两个根，则()7A.x1+x2=6B.x1+x2=-6C.x1·x2=D.x1·x2=76【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．2【详解】解：方程x-6x-7=0中的a=1,b=-6,c=-7，2∵x1,x2是方程x-6x-7=0的两个根，bc∴x1+x2=-=6，x1·x2==-7，aa故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．3(2023·广西·统考中考真题)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为()2222A.3.2(1-x)=3.7B.3.2(1+x)=3.7C.3.7(1-x)=3.2D.3.7(1+x)=3.2【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，2根据题意得，3.2(1+x)=3.7．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小2路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m，则小路的宽是()·1· A.5mB.70mC.5m或70mD.10m【答案】A【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为100-2xm，宽为50-2xm的矩形的面2积，根据花草的种植面积为3600m，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为100-2xm，宽为50-2xm的矩形的面积，依题意得：100-2x50-2x=3600解得：x1=5，x2=70(不合题意，舍去)，∴小路宽为5m．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25(2023·河南·统考中考真题)关于x的一元二次方程x+mx-8=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A2【分析】对于ax+bx+c=0(a≠0)，当Δ>0,方程有两个不相等的实根，当Δ=0,方程有两个相等的实根，Δ<0,方程没有实根，根据原理作答即可．2【详解】解：∵x+mx-8=0，22∴Δ=m-4×-8=m+32>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x的一元二次方程x-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()3A.m<B.m>3C.m≤3D.m<32【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，2∴Δ=-2-4m-2>0，∴m<3，故选：D．·2· 2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax+bx+c=0a≠0，若Δ=22b-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=2b-4ac<0，则方程没有实数根．27(2023·新疆·统考中考真题)用配方法解一元二次方程x-6x+8=0，配方后得到的方程是()2222A.x+6=28B.x-6=28C.x+3=1D.x-3=1【答案】D-62【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．22【详解】∵x-6x+8=0，2-62-62∴x-6x+8+2=2，22∴x-6x+-3=9-8，2∴x-3=1，故选：D．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．28(2023·四川乐山·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x-8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为()A.4B.8C.12D.16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x-8x+m=0两根为x1、x2，∴x1+x2=8，∵x1=3x2，∴x2=2,x1=6，∴m=x1x2=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．29(2023·山东滨州·统考中考真题)一元二次方程x+3x-2=0根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定【答案】A2【分析】根据题意，求得Δ=b-4ac=9+8=17>0，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．2【详解】解：∵一元二次方程x+3x-2=0中，a-1,b=3,c=-2，2∴Δ=b-4ac=9+8=17>0，2∴一元二次方程x+3x-2=0有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是·3· 解题的关键．210(2023·全国·统考中考真题)一元二次方程x-5x+2=0根的判别式的值是()A.33B.23C.17D.17【答案】C2【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=b-4ac求出答案．【详解】解：∵a=1，b=-5，c=2，22∴△=b-4ac=-5-4×1×2=17．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．2311(2023·四川·统考中考真题)关于x的一元二次方程2x-3x+=0根的情况，下列说法中正确的2是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．23【详解】解：2x-3x+=0，23其中a=2，b=-3，c=，223∴Δ=-3-4×2×=-3<0，2∴方程没有实数根．故选：C．2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax+bx+c=0a≠0，若Δ=22b-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=2b-4ac<0，则方程没有实数根．212(2023·山东聊城·统考中考真题)若一元二次方程mx+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤1C.m≥-1且m≠0D.m≤1且m≠0【答案】D2【分析】由于关于x的一元二次方程mx+2x+1=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知Δ≥0，且m≠0，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，4-4m≥0，且m≠0，解得，m≤1，且m≠0.故选：D．22【点睛】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．·4· 21113(2023·山东·统考中考真题)一元二次方程x+3x-1=0的两根为x1，x2，则+的值为x1x2()33A.B.-3C.3D.-22【答案】C11【分析】先求得x1+x2=-3，x1⋅x2=-1，再将+变形，代入x1+x2与x1⋅x2的值求解即可．x1x22【详解】解：∵一元二次方程x+3x-1=0的两根为x1、x2，∴x1+x2=-3，x1⋅x2=-111∴+x1x2x1+x2=x1x2-3=-1=3．故选：C．bc【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记x1+x2=-，x1⋅x2=是解决本题的关aa键．214(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)用配方法解方程x-4x-1=0时，配方后正确的是()2222A.(x+2)=3B.(x+2)=17C.(x-2)=5D.(x-2)=17【答案】C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．2【详解】解：x-4x-1=02移项得，x-4x=12两边同时加上4，即x-4x+4=52∴(x-2)=5，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．二、填空题215(2023·湖南常德·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k<12【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ=b-4ac>0，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．2【详解】解：∵关于x的方程x-2x+k=0有两个不相等的实数根，22∴Δ=b-4ac=-2-4k>0，解得k<1．故答案为：k<1．·5· 22【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax+bx+c=0a≠0的根与Δ=b-4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．2x1+x216(2023·湖北宜昌·统考中考真题)已知x1、x2是方程2x-3x+1=0的两根，则代数式的1+x1x2值为．【答案】1x+x=-b212a【分析】根据x1、x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两个根，则有c，求解即可．x1·x2=a【详解】解：由题意得x+x=3122，x·x=112232原式==1．1+12故答案：1．【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．217(2022秋·河南新乡·九年级统考期中)关于x的一元二次方程x-2x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【答案】m>-12【分析】根据有两个不相等的实数根得到Δ=-2-4×1×-m>0，解不等式即可．2【详解】解：根据题意，得Δ=-2-4×1×-m>0，解得m>-1；故答案为m>-1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，原方程无实数根．218(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x的方程x-2m+1x+m+4=0两根的倒数和为1，则m的值为．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，由题意得：a+b=2m+1，ab=m+4，11a+b2m+1∴+==，ababm+42m+1∴=1，解得：m=2，m+4经检验：m=2是分式方程的解，22检验：Δ=-2m+1-4m+4=4×2+1-4×2+4=12>0，∴m=2符合题意，·6· ∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．2119(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知一元二次方程x+x=5x+6的两根为x1与x2，则+x11的值为．x22【答案】-3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=4，x1x2=-6，将分式通分，代入即可求解．22【详解】解：∵一元二次方程x+x=5x+6，即x-4x-6=0，的两根为x1与x2，∴x1+x2=4，x1x2=-6，11x1+x242∴+===-，x1x2x1x2-632故答案为：-．3【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20(2023·重庆·统考中考真题)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．2【答案】15011+x=1815【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意得，215011+x=1815，2故答案为：15011+x=1815．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．221(2023·四川达州·统考中考真题)已知x1,x2是方程2x+kx-2=0的两个实数根，且x1-2x2-2=10，则k的值为．【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后整体代入求值即可．2【详解】∵x1,x2是方程2x+kx-2=0的两个实数根，bkc-2∴x1+x2=-=-，x1x2===-1，a2a2∵x1-2x2-2=10，∴x1x2-2x1-2x2+4=10，x1x2-2(x1+x2)-6=0，k-1-2×--6=0，2∴解得k=7．·7· 故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：bcx1+x2=-和x1⋅x2=是解题关键．aa222(2023·四川遂宁·统考中考真题)若a、b是一元二次方程x-3x+1=0的两个实数根，则代数式a+b-ab的值为．【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=1，由此即可得到答案．2【详解】解：∵a、b是一元二次方程x-3x+1=0的两个实数根，∴a+b=3，ab=1，∴a+b-ab=3-1=3-1=2，故答案为：2．2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax+bx+c=0a≠0，bc若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2=．aa223(2023·四川眉山·统考中考真题)已知方程x-3x-4=0的根为x1,x2，则x1+2⋅x2+2的值为．【答案】6【分析】解方程，将解得的x1,x2代入x1+2⋅x2+2即可解答．2【详解】解：x-3x-4=0，对左边式子因式分解，可得x-4x+1=0解得x1=4，x2=-1，将x1=4，x2=-1代入x1+2⋅x2+2，可得原式=4+2×-1+2=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．224(2023·湖南怀化·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程x+mx-2=0的一个根为-1，则m的值为，另一个根为．【答案】-1；2【分析】将x=-1代入原方程，解得m，根据一元二次方程根与系数的关系，得出x1×x2=-2，即可求解．2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x+mx-2=0的一个根为-1，∴1-m-2=0解得：m=-1，设原方程的另一个根为x2，则x1·x2=-2，∵x1=-1∴x2=2故答案为：-1，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．·8· 225(2023·甘肃武威·统考中考真题)关于x的一元二次方程x+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c=(写出一个满足条件的值)．【答案】-2(答案不唯一，合理即可)2【分析】先根据关于x的一元二次方程x+2x+4c=0有两个不相等的实数根得到Δ=4-16c>0，1解得c<，根据c的取值范围，选取合适的值即可．42【详解】解：∵关于x的一元二次方程x+2x+4c=0有两个不相等的实数根，2∴Δ=2-4×1×4c=4-16c>0，1解得c<，4当c=-2时，满足题意，故答案为：-2(答案不唯一，合理即可).22【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当Δ=b-4ac>0时，一元二次方程ax+bx+c=0a≠0有两个不相等的实数根是解题的关键．226(2023·上海·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程ax+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是．【答案】a>9【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．2【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax+6x+1=0没有实数根，2∴Δ=b-4ac=36-4a<0，解得：a>9；故答案为：a>9．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．227(2023·湖南·统考中考真题)已知关于x的方程x+mx-20=0的一个根是-4，则它的另一个根是．【答案】5c【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1⋅x2==-20，根据该方程一个根为-4，即可求出a另一个根．【详解】解：根据题意可得：a=1,b=m,c=-20，c∴x1⋅x2==-20，a∵该方程一个根为-4，令x1=-4，∴-4x2=-20，解得：x2=5．故答案为：5．2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax+bx+ccb=0a≠0有两根为x1，x2，则x1⋅x2=，x1+x2=-．aa228(2023·山东枣庄·统考中考真题)若x=3是关x的方程ax-bx=6的解，则2023-6a+2b的值为．【答案】2019【分析】将x=3代入方程，得到3a-b=2，利用整体思想代入求值即可．·9· 2【详解】解：∵x=3是关x的方程ax-bx=6的解，2∴a⋅3-3b=6，即：3a-b=2，∴2023-6a+2b=2023-23a-b=2023-2×2=2023-4=2019；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．229(2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习)已知一元二次方程x-3x+1=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2-x1x2的值等于．【答案】2【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得：x1+x2=3，x1x2=1，∴x1+x2-x1x2=3-1=2．故答案为：2．2【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1bc+x2=-，x1x2=．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．aa2230(2023·四川内江·统考中考真题)已知a、b是方程x+3x-4=0的两根，则a+4a+b-3=．【答案】-22【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=-3,a+3a-4=0，从而得到2a+3a=4，然后代入，即可求解．2【详解】解：∵a，b是方程x+3x-4=0的两根，2∴a+b=-3,a+3a-4=0，2∴a+3a=4，2∴a+4a+b-32=a+3a+a+b-3=4+-3-3=-2．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．231(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知一元二次方程x-3x+k=0的两个实数根为x1,x2，若x1x2+2x1+2x2=1，则实数k=．【答案】-5【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出x1+x2=3,x1x2=k，代入已知等式，即可求解．·10· 2【详解】解：∵一元二次方程x-3x+k=0的两个实数根为x1,x2，∴x1+x2=3,x1x2=k∵x1x2+2x1+2x2=1，∴k+6=1，解得：k=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32(2023·湖南·统考中考真题)某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为．2【答案】10001+x=1440【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x，依题意列出一元二次方程即可求解．2【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为10001+x=1440，2故答案为：10001+x=1440．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．233(2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程x+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k<1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．2【详解】∵关于x的一元二次方程x+2x+k=0有两个不相等的实数根，2∴△=2-4×1×k>0，解得：k<1，故答案为：k<1.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等22式．熟知“在一元二次方程ax+bx+c=0a≠0中，若方程有两个不相等的实数根，则△=b-4ac>0”是解答本题的关键.2234(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程x+2mx+m-m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m=．【答案】322【分析】利用一元二次方程x+2mx+m-m+2=0有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由2根与系数关系得到x1+x2=-2m,x1x2=m-m+2，代入x1+x2+x1⋅x2=2，解得m的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．22【详解】解：∵关于x的一元二次方程x+2mx+m-m+2=0有两个不相等的实数根，22∴Δ=2m-4m-m+2=4m-8>0，解得m>2，2∵x1+x2=-2m,x1x2=m-m+2，x1+x2+x1⋅x2=2，2∴-2m+m-m+2=2，解得m1=3,m2=0(不合题意，舍去)，·11· ∴m=3故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．三、解答题235(2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)解方程：x-3x+2=0．【答案】x1=1，x2=2【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．2【详解】解：x-3x+2=0(x-1)(x-2)=0∴x-1=0或x-2=0∴x1=1，x2=2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36(2023·辽宁大连·统考中考真题)为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020-2022年买书资金的平均增长率．【答案】20%【分析】设2020-2022年买书资金的平均增长率为x，根据2022年买书资金=2020年买书资金×21+x建立方程，解方程即可得．【详解】解：设2020-2022年买书资金的平均增长率为x，2由题意得：50001+x=7200，解得x=0.2=20%或x=-2.2<0(不符合题意，舍去)，答：2020-2022年买书资金的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2237(2023·湖北·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程x-2m+1x+m+m=0．(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．【答案】(1)见解析；(2)m的值为1或-2【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式可进行求解；(2)根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．22【详解】(1)证明：∵Δ=-2m+1-4×m+m=1>0，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．22(2)解：∵x-2m+1x+m+m=0的两个实数根为a,b，2∴a+b=2m+1,ab=m+m．∵2a+ba+2b=20，222∴2a+4ab+2b+ab=20，2(a+b)+ab=20．22∴2(2m+1)+m+m=20．·12· 2即m+m-2=0．解得m=1或m=-2．∴m的值为1或-2．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．2238(2023·四川南充·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程x-(2m-1)x-3m+m=0(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；x2x15(2)若x1，x2是方程的两个实数根，且+=-，求m的值．x1x222【答案】(1)见解析；(2)或15【分析】(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；22(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m-1，x1x2=-3m+m，整体代入得到m+2m-3=0求解即可得到答案．22【详解】(1)证明：∵关于x的一元二次方程x-(2m-1)x-3m+m=0，2∴a=1，b=-2m-1，c=-3m+m，2222∴Δ=b-4ac=-2m-1-4×1×-3m+m=4m-1，2∵4m-1≥0，即Δ≥0，∴不论m为何值，方程总有实数根；22(2)解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x-(2m-1)x-3m+m=0的两个实数根，2∴x1+x2=2m-1，x1x2=-3m+m，222x2x1x1+x2x1+x2-2x1x25∵+===-，x1x2x1x2x1x222x1+x21∴=-，x1x222(2m-1)122∴2=-，整理，得5m-7m+2=0，解得m1=，m2=1，-3m+m252∴m的值为或1．5【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．239(2023·浙江杭州·统考中考真题)设一元二次方程x+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=-1；④b=2,c=2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．-3+5-3-5-3+13-3-13【答案】选②，x1=，x2=；选③，x1=，x2=2222【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．2【详解】解：x+bx+c=0中a=1，22①b=2,c=1时，Δ=b-4ac=2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；22②b=3,c=1时，Δ=b-4ac=3-4×1×1=5>0，方程有两个不相等的实数根；22③b=3,c=-1时，Δ=b-4ac=3-4×1×-1=13>0，方程有两个不相等的实数根；·13· 22④b=2,c=2时，Δ=b-4ac=2-4×1×2=-4<0，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②b=3,c=1时，2x+3x+1=0，22Δ=b-4ac=3-4×1×1=5>0，2-b±b-4ac-3±5x==，2a2-3+5-3-5x1=，x2=；22选择③b=3,c=-1时，2x+3x-1=0，22Δ=b-4ac=3-4×1×-1=13>0，2-b±b-4ac-3±13x==，2a2-3+13-3-13x1=，x2=．22【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于2一元二次方程ax+bx+c=0，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．40(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】(1)解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得：21.61+x=2.5，解得：x=0.25=25%(负值已舍掉)；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：2.125+y≤2.51+25%，解得：y≤1；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．241(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程kx-2k+4x+k-6=0有两个不相等的实数根．·14· (1)求k的取值范围；(2)当k=1时，用配方法解方程．2【答案】(1)k>-且k≠0；(2)x1=3+14，x2=3-1452【分析】(1)根据题意，可得2k+4-4kk-6>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，2(2)将k=1代入kx-2k+4x+k-6=0，利用配方法解方程即可．k≠0【详解】(1)解：依题意得：Δ=2k+42-4kk-6=40k+16>0，2解得k>-且k≠0；52(2)解：当k=1时，原方程变为：x-6x-5=0，2则有：x-6x+9=5+9，2∴x-3=14，∴x-3=±14，∴方程的根为x1=3+14，x2=3-14．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．·15·