2023中考数学真题分项汇报7一元二次方程及其应用(解析版)

专题07一元二次方程及其应用一、单选题1．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．【详解】解：∵，∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．2．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：方程中的，是方程的两个根，，，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．学科网（北京）股份有限公司 3．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）  A．B．C．或D．【答案】A【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，依题意得：解得：，（不合题意，舍去），∴小路宽为．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）学科网（北京）股份有限公司 A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】对于，当,方程有两个不相等的实根，当,方程有两个相等的实根，,方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵，∴，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．6．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．7．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．【详解】∵，学科网（北京）股份有限公司 ∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．8．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ）A．4B．8C．12D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．9．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定【答案】A【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程中，，∴，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：A．学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．10．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ）A．33B．23C．17D．【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．【详解】解：∵，，，∴．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．11．（2023·四川·统考中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：，其中，，，∴，∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．12．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ）A．B．C．且D．且【答案】D【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知学科网（北京）股份有限公司 ，且，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，且，解得，，且.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．13．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ）A．B．C．3D．【答案】C【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．【详解】解：移项得，学科网（北京）股份有限公司 两边同时加上，即∴，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．二、填空题15．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，解得．故答案为：．【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．【答案】【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．【详解】解：由题意得，学科网（北京）股份有限公司 原式．故答案：．【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．17．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________．【答案】m＞-1【分析】根据有两个不相等的实数根得到＞0，解不等式即可．【详解】解：根据题意，得＞0，解得m＞-1；故答案为m＞-1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，当=0时，原方程有两个相等的实数根，当＜0时，原方程无实数根．18．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，由题意得：，，∴，∴，解得：，经检验：是分式方程的解，检验：，∴符合题意，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 19．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．【答案】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．21．（2023·四川达州·统考中考真题）已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可．【详解】∵是方程的两个实数根，学科网（北京）股份有限公司 ∴，，∵，∴，，，∴解得．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．23．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程的根为，则的值为____________．【答案】6【分析】解方程，将解得的代入即可解答．【详解】解：，对左边式子因式分解，可得解得，，学科网（北京）股份有限公司 将，代入，可得原式，故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．24．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．【答案】；【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，∴解得：，设原方程的另一个根为，则，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25．（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）．【答案】（答案不唯一，合理即可）【分析】先根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，根据的取值范围，选取合适的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，当时，满足题意，学科网（北京）股份有限公司 故答案为：（答案不唯一，合理即可）.【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．26．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，解得：；故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．27．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．【答案】5【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意可得：，∴，∵该方程一个根为，令，∴，解得：．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．28．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．【答案】2019【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵是关x的方程的解，∴，即：，∴；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．29．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．【答案】2【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝3，x1x2＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．30．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程的两根，则___________．【答案】【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程的两根，∴，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．【答案】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，∴∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．【答案】【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 33．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】k＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.34．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合题意，舍去），∴故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 三、解答题35．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．【答案】，【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：∴或∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．【答案】【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：年买书资金的平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．37．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．【答案】(1)见解析；(2)的值为1或【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；学科网（北京）股份有限公司 （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）解：∵的两个实数根为，∴．∵，∴，．∴．即．解得或．∴的值为1或．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．38．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．【答案】(1)见解析；(2)或【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不论为何值，方程总有实数根；学科网（北京）股份有限公司 （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．39．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①；②；③；④．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，，；选③，，【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：中，①时，，方程有两个相等的实数根；②时，，方程有两个不相等的实数根；③时，，方程有两个不相等的实数根；④时，，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②时，，，，，；学科网（北京）股份有限公司 选择③时，，，，，．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得：（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 41．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程．【答案】(1)且；(2)，【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将代入，利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：依题意得：，解得且；（2）解：当时，原方程变为：，则有：，，，方程的根为，．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司