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2023中考数学真题分项汇报7一元二次方程及其应用(解析版)
2023中考数学真题分项汇报7一元二次方程及其应用(解析版)
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专题07一元二次方程及其应用一、单选题1.(2023·四川泸州·统考中考真题)关于的一元二次方程的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出,即可得出答案.【详解】解:∵,∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,故C正确.故选:C.【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.2.(2023·天津·统考中考真题)若是方程的两个根,则( )A.B.C.D.【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得.【详解】解:方程中的,是方程的两个根,,,故选:A.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键.学科网(北京)股份有限公司 3.(2023·广西·统考中考真题)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为( )A.B.C.D.【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程即可.【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,根据题意得,.故选:B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出一元二次方程是解题的关键.4.(2023·黑龙江·统考中考真题)如图,在长为,宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是,则小路的宽是( ) A.B.C.或D.【答案】A【分析】设小路宽为,则种植花草部分的面积等于长为,宽为的矩形的面积,根据花草的种植面积为,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论.【详解】解:设小路宽为,则种植花草部分的面积等于长为,宽为的矩形的面积,依题意得:解得:,(不合题意,舍去),∴小路宽为.故选:A.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.5.(2023·河南·统考中考真题)关于x的一元二次方程的根的情况是( )学科网(北京)股份有限公司 A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A【分析】对于,当,方程有两个不相等的实根,当,方程有两个相等的实根,,方程没有实根,根据原理作答即可.【详解】解:∵,∴,所以原方程有两个不相等的实数根,故选:A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键.6.(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴,∴,故选:D.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程,若,则方程有两个不相等的实数根,若,则方程有两个相等的实数根,若,则方程没有实数根.7.(2023·新疆·统考中考真题)用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是( )A.B.C.D.【答案】D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可.【详解】∵,学科网(北京)股份有限公司 ∴,∴,∴,故选:D.【点睛】本题考查了配方法,熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键.8.(2023·四川乐山·统考中考真题)若关于x的一元二次方程两根为,且,则m的值为( )A.4B.8C.12D.16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出,然后即可确定两个根,再由根与系数的关系求解即可.【详解】解:∵关于x的一元二次方程两根为,∴,∵,∴,∴,故选:C.【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握此关系是解题关键.9.(2023·山东滨州·统考中考真题)一元二次方程根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定【答案】A【分析】根据题意,求得,根据一元二次方程根的判别式的意义,即可求解.【详解】解:∵一元二次方程中,,∴,∴一元二次方程有两个不相等的实数根,故选:A.学科网(北京)股份有限公司 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义,熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键.10.(2023·全国·统考中考真题)一元二次方程根的判别式的值是( )A.33B.23C.17D.【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案.【详解】解:∵,,,∴.故选:C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式,正确记忆公式是解题关键.11.(2023·四川·统考中考真题)关于x的一元二次方程根的情况,下列说法中正确的是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得.【详解】解:,其中,,,∴,∴方程没有实数根.故选:C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程,若,则方程有两个不相等的实数根,若,则方程有两个相等的实数根,若,则方程没有实数根.12.(2023·山东聊城·统考中考真题)若一元二次方程有实数解,则m的取值范围是( )A.B.C.且D.且【答案】D【分析】由于关于的一元二次方程有实数根,根据一元二次方程根与系数的关系可知学科网(北京)股份有限公司 ,且,据此列不等式求解即可.【详解】解:由题意得,,且,解得,,且.故选:D.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系,熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当时,一元二次方程有两个相等的实数根;当时,一元二次方程没有实数根.13.(2023·山东·统考中考真题)一元二次方程的两根为,则的值为( )A.B.C.3D.【答案】C【分析】先求得,,再将变形,代入与的值求解即可.【详解】解:∵一元二次方程的两根为,∴,∴.故选:C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,牢记,是解决本题的关键.14.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)用配方法解方程时,配方后正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】根据配方法,先将常数项移到右边,然后两边同时加上,即可求解.【详解】解:移项得,学科网(北京)股份有限公司 两边同时加上,即∴,故选:C.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法是解题的关键.二、填空题15.(2023·湖南常德·统考中考真题)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_________.【答案】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根,则根的判别式,建立关于k的不等式,解不等式即可得出答案.【详解】解:∵关于x的方程有两个不相等的实数根,∴,解得.故答案为:.【点睛】此题考查了根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系:(1)⇔方程有两个不相等的实数根;(2)⇔方程有两个相等的实数根;(3)⇔方程没有实数根.16.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)已知、是方程的两根,则代数式的值为_________.【答案】【分析】根据、是一元二次方程的两个根,则有,求解即可.【详解】解:由题意得,学科网(北京)股份有限公司 原式.故答案:.【点睛】本题考查了韦达定理,掌握定理是解题的关键.17.(2022秋·河南新乡·九年级统考期中)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是_____________.【答案】m>-1【分析】根据有两个不相等的实数根得到>0,解不等式即可.【详解】解:根据题意,得>0,解得m>-1;故答案为m>-1.【点睛】本题考查一元二次方程的判别式,解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系:当>0时,原方程有两个不相等的实数根,当=0时,原方程有两个相等的实数根,当<0时,原方程无实数根.18.(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x的方程两根的倒数和为1,则m的值为___________.【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.【详解】解:设方程的两个根分别为a,b,由题意得:,,∴,∴,解得:,经检验:是分式方程的解,检验:,∴符合题意,∴.故答案为:2.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.学科网(北京)股份有限公司 19.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知一元二次方程的两根为与,则的值为_______.【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出,将分式通分,代入即可求解.【详解】解:∵一元二次方程,即,的两根为与,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了分式的化简求值,一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.20.(2023·重庆·统考中考真题)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为,根据题意,可列方程为___________.【答案】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为,根据题意列出一元二次方程,即可求解.【详解】解:设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为,根据题意得,,故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,增长率问题,根据题意列出方程是解题的关键.21.(2023·四川达州·统考中考真题)已知是方程的两个实数根,且,则的值为___________.【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出与的值,然后整体代入求值即可.【详解】∵是方程的两个实数根,学科网(北京)股份有限公司 ∴,,∵,∴,,,∴解得.故答案为:7.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,代数式求值.熟记一元二次方程根与系数的关系:和是解题关键.22.(2023·四川遂宁·统考中考真题)若a、b是一元二次方程的两个实数根,则代数式的值为_________.【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到,由此即可得到答案.【详解】解:∵a、b是一元二次方程的两个实数根,∴,∴,故答案为:2.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,对于一元二次方程,若是该方程的两个实数根,则.23.(2023·四川眉山·统考中考真题)已知方程的根为,则的值为____________.【答案】6【分析】解方程,将解得的代入即可解答.【详解】解:,对左边式子因式分解,可得解得,,学科网(北京)股份有限公司 将,代入,可得原式,故答案为:6.【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程,熟练掌握计算方法是解题的关键.24.(2023·湖南怀化·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程的一个根为,则m的值为__________,另一个根为__________.【答案】;【分析】将代入原方程,解得,根据一元二次方程根与系数的关系,得出,即可求解.【详解】解:∵关于x的一元二次方程的一个根为,∴解得:,设原方程的另一个根为,则,∵∴故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义,一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.25.(2023·甘肃武威·统考中考真题)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则________(写出一个满足条件的值).【答案】(答案不唯一,合理即可)【分析】先根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到,解得,根据的取值范围,选取合适的值即可.【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴,解得,当时,满足题意,学科网(北京)股份有限公司 故答案为:(答案不唯一,合理即可).【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握当时,一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键.26.(2023·上海·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程没有实数根,那么a的取值范围是________.【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解.【详解】解:∵关于x的一元二次方程没有实数根,∴,解得:;故答案为:.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.27.(2023·湖南·统考中考真题)已知关于x的方程的一个根是,则它的另一个根是________.【答案】5【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得,根据该方程一个根为,即可求出另一个根.【详解】解:根据题意可得:,∴,∵该方程一个根为,令,∴,解得:.故答案为:5.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是掌握一元二次方程有两根为,,则,.28.(2023·山东枣庄·统考中考真题)若是关x的方程的解,则的值为___________.【答案】2019【分析】将代入方程,得到,利用整体思想代入求值即可.学科网(北京)股份有限公司 【详解】解:∵是关x的方程的解,∴,即:,∴;故答案为:2019.【点睛】本题考查方程的解,代数式求值.熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值,是解题的关键.29.(2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习)已知一元二次方程x2﹣3x+1=0有两个实数根x1,x2,则x1+x2﹣x1x2的值等于_____.【答案】2【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=1,然后利用整体代入的方法计算.【详解】解:根据根与系数的关系得:x1+x2=3,x1x2=1,∴x1+x2﹣x1x2=3﹣1=2.故答案为:2.【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2,x1x2.熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键.30.(2023·四川内江·统考中考真题)已知a、b是方程的两根,则___________.【答案】【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系,可得,从而得到,然后代入,即可求解.【详解】解:∵a,b是方程的两根,∴,∴,学科网(北京)股份有限公司 ∴.故答案为:.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键.31.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知一元二次方程的两个实数根为,若,则实数_____________.【答案】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系,得出,代入已知等式,即可求解.【详解】解:∵一元二次方程的两个实数根为,∴∵,∴,解得:,故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.32.(2023·湖南·统考中考真题)某校截止到年底,校园绿化面积为平方米.为美化环境,该校计划年底绿化面积达到平方米.利用方程想想,设这两年绿化面积的年平均增长率为,则依题意列方程为__________.【答案】【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为,依题意列出一元二次方程即可求解.【详解】解:设这两年绿化面积的年平均增长率为,则依题意列方程为,故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出一元二次方程是解题的关键.学科网(北京)股份有限公司 33.(2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是______.【答案】k<1.【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,∴△=,解得:,故答案为:.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式,解题的关键是得出关于k的一元一次不等式.熟知“在一元二次方程中,若方程有两个不相等的实数根,则△=”是解答本题的关键.34.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,且,则实数_________.【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围,由根与系数关系得到,代入,解得的值,根据求得的m的取值范围,确定m的值即可.【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴,解得,∵,,∴,解得(不合题意,舍去),∴故答案为:3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系,熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键.学科网(北京)股份有限公司 三、解答题35.(2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)解方程:.【答案】,【分析】首先将方程进行因式分解,然后根据因式分解的结果求出方程的解.【详解】解:∴或∴,.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是掌握因式分解法求解方程.36.(2023·辽宁大连·统考中考真题)为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元,求年买书资金的平均增长率.【答案】【分析】设年买书资金的平均增长率为,根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程,解方程即可得.【详解】解:设年买书资金的平均增长率为,由题意得:,解得或(不符合题意,舍去),答:年买书资金的平均增长率为.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确建立方程是解题关键.37.(2023·湖北·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程.(1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根;(2)设该方程的两个实数根为a,b,若,求m的值.【答案】(1)见解析;(2)的值为1或【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式可进行求解;学科网(北京)股份有限公司 (2)根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解.【详解】(1)证明:∵,∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根.(2)解:∵的两个实数根为,∴.∵,∴,.∴.即.解得或.∴的值为1或.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键.38.(2023·四川南充·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;(2)若,是方程的两个实数根,且,求m的值.【答案】(1)见解析;(2)或【分析】(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系,只要判定即可得到答案;(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到,,整体代入得到求解即可得到答案.【详解】(1)证明:关于的一元二次方程,∴,,,∴,∵,即,∴不论为何值,方程总有实数根;学科网(北京)股份有限公司 (2)解:∵,是关于x的一元二次方程的两个实数根,∴,,∵,∴,∴,整理,得,解得,,∴m的值为或.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系,一元二次方程根与系数的关系,熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.39.(2023·浙江杭州·统考中考真题)设一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.①;②;③;④.注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.【答案】选②,,;选③,,【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况,再利用公式法解一元二次方程即可.【详解】解:中,①时,,方程有两个相等的实数根;②时,,方程有两个不相等的实数根;③时,,方程有两个不相等的实数根;④时,,方程没有实数根;因此可选择②或③.选择②时,,,,,;学科网(北京)股份有限公司 选择③时,,,,,.【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况,解一元二次方程,解题的关键是掌握:对于一元二次方程,当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程没有实数根.40.(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为;(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为,根据题意,列出一元二次方程,进行求解即可;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,根据题意,列出不等式进行计算即可.【详解】(1)解:设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为,由题意,得:,解得:(负值已舍掉);答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,由题意,得:,解得:;∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人.【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用,找准等量关系,正确的列出方程和不等式,是解题的关键.学科网(北京)股份有限公司 41.(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.(1)求的取值范围;(2)当时,用配方法解方程.【答案】(1)且;(2),【分析】(1)根据题意,可得,注意一元二次方程的系数问题,即可解答,(2)将代入,利用配方法解方程即可.【详解】(1)解:依题意得:,解得且;(2)解:当时,原方程变为:,则有:,,,方程的根为,.【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数,用配方法解一元二次方程,熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键.学科网(北京)股份有限公司
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