2024中考数学第一轮专题复习： 分式与分式方程（解析版）

专题04分式与分式方程一、单选题311(2023·湖南·统考中考真题)将关于x的分式方程=去分母可得()2xx-1A.3x-3=2xB.3x-1=2xC.3x-1=xD.3x-3=x【答案】A【分析】方程两边都乘以2xx-1，从而可得答案．31【详解】解：∵=，2xx-1去分母得：3x-1=2x，整理得：3x-3=2x，故选：A．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．2(2023·湖南郴州·统考中考真题)小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为()240240240240240240A.-=1B.-=1C.-=1D.x+1.5x=2400.5xxx1.5x1.5xx【答案】B【分析】设原计划平均速度为xkm/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．【详解】解：设原计划平均速度为xkm/h，由题意，得：240240240240-=1，即：-=1；x1+50%xx1.5x故选：B.【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．13(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲41车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送2这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是()111111A.+=1B.++=142x424x1111111C.41+2+x=1D.4+4+2x=1【答案】B【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程1111++=1，424x故选：B．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．4(2023·广东深圳·统考中考真题)某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货·1· 物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是()7550755075507550A.=B.=C.=D.=x-5xxx-5x+5xxx+5【答案】B【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输x-5吨，7550则=．xx-5故选：B.【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．5(2023·云南·统考中考真题)阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是()x1.2x1.2xx400800800400A.-=4B.-=4C.-=4D.-=48004008004001.2xx1.2xx【答案】D【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：800400-=41.2xx故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．216(2023·甘肃武威·统考中考真题)方程=的解为()xx+1A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4【答案】A【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．【详解】去分母得2x+1=x，解方程得x=-2，检验:x=-2是原方程的解，故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．22x-1x2x-17(2023·上海·统考中考真题)在分式方程+=5中，设=y，可得到关于y的整x22x-1x2式方程为()2222A.y+5y+5=0B.y-5y+5=0C.y+5y+1=0D.y-5y+1=0·2· 【答案】D2x-11【分析】设=y，则原方程可变形为y+=5，再化为整式方程即可得出答案.x2y2x-11【详解】解：设=y，则原方程可变形为y+=5，x2y2即y-5y+1=0；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.128(2023·天津·统考中考真题)计算-的结果等于()x-1x2-111A.-1B.x-1C.D.x+1x2-1【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．12x+12【详解】解：-=-x-1x2-1x-1x+1x-1x+1x+1-2=x-1x+1x-1=x-1x+11=；x+1故选：C．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．9(2023·湖北随州·统考中考真题)甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为()9121129191211291A.-=B.-=C.-=D.-=xx+12x+1x2x+1x2xx+12【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修x+1千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修x+1千米，9121依题意得-=，xx+12故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．10(2023·四川内江·统考中考真题)用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是()·3· 2640264026402640A.=+2B.=-22xx2xx2640264026402640C.=+2×60D.=-2×602xx2xx【答案】D【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，26402640由题意得=-2×60，2xx故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．11(2023·湖北十堰·统考中考真题)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为()1500800150080080015008001500A.-=5B.-=5C.-=5D.-=5x+20xx-20xxx+20xx-20【答案】A【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为x+20元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为x+20元，1500800由题意可得：-=5，x+20x故选：A．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．12(2023·湖南·统考中考真题)某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为()505015050505050150A.=+B.+10=C.=+10D.+=x1.2x6x1.2xx1.2xx61.2x【答案】A【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，50501根据题意列方程为：=+，x1.2x6故答案为：A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．13(2023·四川·统考中考真题)近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为()·4· 10710107A.-=B.-=10x1+40%x60x1+40%x71010710C.-=D.-=101+40%xx601+40%xx【答案】A【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为1+40%x千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为1+40%x千米/小时，10710∴-=，x1+40%x60故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．3214(2023·广东·统考中考真题)计算+的结果为()aa1656A.B.C.D.aa2aa【答案】C【分析】根据分式的加法运算可进行求解．5【详解】解：原式=；a故选：C．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．13x15(2023·辽宁大连·统考中考真题)将方程+3=去分母，两边同乘x-1后的式子为x-11-x()A.1+3=3x1-xB.1+3x-1=-3xC.x-1+3=-3xD.1+3x-1=3x【答案】B【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．13x【详解】解：+3=，x-11-x两边同乘x-1去分母，得1+3x-1=-3x，故选：B．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．16(2023·湖南张家界·统考中考真题)《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是()．621062106210A.=3xB.3x-1=6210C.3x-1=D.3x-1=x-1xx-1【答案】C·5· 6210【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价=总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据x少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．6210【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，x6210由题意得：3x-1=，x故选：C．【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．mx17(2023·黑龙江·统考中考真题)已知关于x的分式方程+1=的解是非负数，则m的取x-22-x值范围是()A.m≤2B.m≥2C.m≤2且m≠-2D.m<2且m≠-2【答案】C2-m【分析】解分式方程求出x=，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，2求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x，2-m解得：x=，2mx∵分式方程+1=的解是非负数，x-22-x2-m2-m∴≥0，且x=≠2，22∴m≤2且m≠-2，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．a-1118(2023·河南·统考中考真题)化简+的结果是()aaA.0B.1C.aD.a-2【答案】B【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．a-11a-1+1a【详解】解：+===1，aaaa故选：B．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．419(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)化简+x-2的结果是()x+222xxxA.1B.C.D.x2-4x+2x+2【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.4【详解】解：+x-2x+2·6· 4+x+2x-2=x+22x=.x+2故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.2221x-x20(2023·湖北武汉·统考中考真题)已知x-x-1=0，计算-÷的值是x+1xx2+2x+1()A.1B.-1C.2D.-2【答案】A2【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把x=x+1代入原式即可求出答案．221x-x【详解】解：-÷x+1xx2+2x+12xx+1xx-1=-÷2xx+1xx+1x+12x-1x+1=⋅xx+1xx-1x+1=，2x2∵x-x-1=0，2∴x=x+1，x+1∴原式==1，2x故选：A.【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．xm21(2023·山东聊城·统考中考真题)若关于x的分式方程+1=的解为非负数，则m的取x-11-x值范围是()A.m≤1且m≠-1B.m≥-1且m≠1C.m<1且m≠-1D.m>-1且m≠1【答案】A【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．【详解】解：方程两边都乘以x-1，得：x+x-1=-m，1-m解得：x=，21-m∵x-1≠0，即：≠1，2∴m≠-1，又∵分式方程的解为非负数，1-m∴≥0，2·7· ∴m≤1，∴m的取值范围是m≤1且m≠-1，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．二、填空题22(2023·浙江台州·统考中考真题)3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有人．【答案】3【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数=第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．【详解】设第一组有x人，则第二组有(x+6)人，根据题意，得1236=xx+6去分母，得12(x+6)=36x解得，x=3经检验，x=3是原方程的根．故答案为：3.【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．3x923(2023·浙江绍兴·统考中考真题)方程=的解是．x+1x+1【答案】x=3【分析】先去分母，左右两边同时乘以x+1，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．【详解】解：去分母，得：3x=9，化系数为1，得：x=3．检验：当x=3时，x+1≠0，∴x=3是原分式方程的解．故答案为：x=3．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．22x24(2023·上海·统考中考真题)化简：-的结果为．1-x1-x【答案】2【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．22x2-2x21-x【详解】解：-===2；1-x1-x1-x1-x故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．32425(2023·湖南·统考中考真题)已知x=5，则代数式-的值为．x-4x2-16·8· 1【答案】3【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．3x+424【详解】解：原式=-x-4x+4x-4x+43x-12=x-4x+43=x+4∵x=53331∴===x+45+4931故答案为：.3【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．x+1226(2023·江苏苏州·统考中考真题)分式方程=的解为x=．x3【答案】-3【分析】方程两边同时乘以3x，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x，3x+1=2x解得：x=-3，经检验，x=-3是原方程的解，故答案为：-3．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．1m27(2023·湖南永州·统考中考真题)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根，则增x-44-x根是．【答案】x=4【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．1m【详解】∵关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根，x-44-x∴x-4=0，解得x=4，故答案为：x=4．【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．x+2x-1x-428(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)化简：-÷=．x2-2xx2-4x+4x2-2x1【答案】x-2【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．x+2x-1x-4【详解】解：-÷x2-2xx2-4x+4x2-2xx+2x-2-xx-1xx-2=×xx-22x-4·9· x2-4-x2+xxx-2=×xx-22x-41=；x-21故答案为：．x-2【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．2129(2017·江西·南昌市育新学校校联考一模)分式方程-=0的解是．xx-2【答案】x=4【分析】根据解分式方程的步骤计算即可．【详解】去分母得：2x-2-x=0，解得：x=4，经检验x=4是方程的解，故答案为：x=4．【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．1x+630(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)方程+=1的解为．x+2x2-4【答案】x=4【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值．1x+6【详解】解：∵+=1，x+2x2-4方程两边同时乘以x+2x-2得，x-2+x+6=x+2x-2，2∴2x+4=x-4，2∴x-2x-8=0，∴x-4x+2=0，∴x=4或x=-2．2经检验x=-2时，x-4=0，故舍去．∴原方程的解为：x=4．故答案为：x=4．【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．三、解答题2x+12x31(2023·湖北黄冈·统考中考真题)化简：-．x-1x-1【答案】x-1【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简．2x+12x【详解】解：-x-1x-12x-2x+1=x-12x-1=x-1·10· =x-1【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则．11a-232(2023·辽宁大连·统考中考真题)计算：+÷．a+3a2-92a+62【答案】a-3【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．11a-2【详解】解：+÷a+3a2-92a+6a-31a-2=+÷a+3a-3a+3a-32a+3a-2a-2=÷a+3a-32a+3a-22a+3=⋅a+3a-3a-22=a-3【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．21x-133(2023·广东深圳·统考中考真题)先化简，再求值：1+÷，其中x=3．x-1x2-2x+1x3【答案】，x+14【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．21x-1【详解】1+÷x-1x2-2x+1xx+1x-1=÷x-1x-12xx-1=×x-1x+1x=x+1∵x=333∴原式==．3+14【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2x-53x-334(2022·江苏南京·模拟预测)解方程：=-3．x-2x-2【答案】x=4【分析】方程两边同时乘以x-2，再解整式方程得x=4，经检验x=4是原方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以x-2得，2x-5=3x-3-3(x-2)，解得：x=4检验：当x=4时，x-2≠0，∴x=4是原方程的解，∴原方程的解为x=4．·11· 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．21x-435(2023·四川眉山·统考中考真题)先化简：1-÷，再从-2,-1,1,2选择中一个合适的x-1x-1数作为x的值代入求值．1【答案】；1x+2【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．21x-4【详解】解：1-÷x-1x-1x-11x+2x-2=-÷x-1x-1x-1x-2x-1=⋅x-1x+2x-21=，x+2∵x≠1，±2，1∴把x=-1代入得：原式==1．-1+2【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．2a-b2ab-b36(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)以下是某同学化简分式a÷a-a的部分运算过程：2a-ba-b2ab-b解：原式=÷a-+⋯⋯⋯⋯第一步aaaa-b1a-ba=⋅-⋅⋯⋯⋯⋯第二步aaa2ab-b2a-ba-b==⋯⋯⋯⋯第三步22a2ab-b⋯⋯(1)上面的运算过程中第步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．【答案】(1)一；(2)见解析【分析】(1)根据解答过程逐步分析即可解答；(2)根据分式混合运算法则进行计算即可．2a-b2ab-b【详解】(1)解：a÷a-a22a-ba2ab-b=a÷a-a22a-ba-2ab+b=a÷a故第一步错误．故答案为：一．2a-b2ab-b(2)解：a÷a-a·12· 22a-ba2ab-b=a÷a-a22a-ba-2ab+b=÷aa2a-ba-b=÷aaa-ba=×aa-b21=．a-b【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．23a-437(2023·湖南怀化·统考中考真题)先化简1+÷，再从-1，0，1，2中选择一个适当的a-1a-1数作为a的值代入求值．111【答案】，当a=-1时，原式为-；当a=0时，原式为-．a-232【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．23a-4【详解】解：1+÷a-1a-1a-13a+2a-2=+÷a-1a-1a-1a+2a-1=⋅a-1a+2a-21=，a-2当a取-2，1，2时分式没有意义，所以a=-1或0，11当a=-1时，原式==-；-1-2311当a=0时，原式==-．0-22【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．22a+2ba-ba-b38(2023·甘肃武威·统考中考真题)化简：-÷．a+ba-2b22a-4ab+4b4b【答案】a+b【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．2a+2ba-b(a-2b)【详解】解：原式=-⋅a+ba-2b(a+b)(a-b)a+2ba-2b=-a+ba+b4b=．a+b【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．2a-6a+9539(2023·山东烟台·统考中考真题)先化简，再求值：÷a+2+，其中a是使不等a-22-a·13· a-1式≤1成立的正整数．2a-31【答案】；-a+32【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．2a-6a+95【详解】解：÷a+2+a-22-a2a-32+a2-a5=÷+a-22-a2-aa-3224-a+5=÷a-22-a2a-32-a=⋅a-23+a3-aa-3=，a+3a-1解不等式≤1得：a≤3，2∵a为正整数，∴a=1，2，3，∵要使分式有意义a-2≠0，∴a≠2，55∵当a=3时，a+2+=3+2+=0，2-a2-3∴a≠3，1-31∴把a=1代入得：原式==-．1+32【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．2a-1a-42140(2023·江苏苏州·统考中考真题)先化简，再求值：⋅-，其中a=．a-2a2-2a+1a-12a【答案】；-1a-1【分析】先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．2a-1a-42【详解】解：⋅-a-2a2-2a+1a-1a-1a+2a-22=⋅-a-2a-12a-1a+22=-a-1a-1a=；a-11当a=时，212原式==-1．1-12·14· 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．1x41(2023·湖南永州·统考中考真题)先化简，再求值：1-÷，其中x=2．x+1x2+2x+1【答案】x+1;3【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．1x【详解】1-÷x+1x2+2x+12xx+1=×x+1x=x+1；当x=2时，原式=2+1=3．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．4242(2023·湖北随州·统考中考真题)先化简，再求值：÷，其中x=1．x2-4x-222【答案】，．x+23【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．42【详解】解：÷x2-4x-24x-2=⋅x+2x-222=，x+222当x=1时，原式==．1+23【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．1x+143(2023·湖南·统考中考真题)先化简，再求值：1+⋅，其中x=3．x+1x2-41【答案】，1x-2【分析】根据分式的加法和乘法法则可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．x+11x+1【详解】解：原式=+⋅x+1x+1x+2x-2x+2x+1=⋅x+1x+2x-21=，x-2当x=3时，·15· 1原式==1．3-2【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．1344(2023·山西·统考中考真题)解方程：+1=．x-12x-23【答案】x=2【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．13【详解】解：原方程可化为+1=．x-12x-1方程两边同乘2x-1，得2+2x-1=3．3解得x=．23检验：当x=时，2x-1≠0．23∴原方程的解是x=．2【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．2a-4a+4a-245(2023·湖北宜昌·统考中考真题)先化简，再求值：÷+3，其中a=3-3．22a-4a+2a【答案】a+3,3【分析】先利用分式除法法则对原式进行化简，再把a=3-3代入化简结果进行计算即可．2a-4a+4a-2【详解】解：÷+322a-4a+2a2(a-2)a(a+2)=×+3(a+2)(a-2)a-2=a+3当a=3-3时，原式=3-3+3=3．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的除法运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．x+3x-1146(2023·湖南郴州·统考中考真题)先化简，再求值：⋅+，其中x=1+3．x2-2x+1x2+3xx13【答案】，x-13【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可．x+3x-11【详解】解：⋅+x2-2x+1x2+3xxx+3x-11=⋅+x-12xx+3x11=+xx-1x1+x-1=xx-1·16· 1=，x-113当x=1+3时，原式==．1+3-13【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．2147(2023·广西·统考中考真题)解分式方程：=．x-1x【答案】x=-1【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．21【详解】解：=x-1x去分母得，2x=x-1移项，合并得，x=-1检验：当x=-1时，xx-1=2≠0，所以原分式方程的解为x=-1．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3x+y2x248(2023·四川·统考中考真题)先化简，再求值：+÷，其中x=3+1，yx2-y2y2-x2x2y-xy2=3．xy3+3【答案】；22【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．3x+y2x2【详解】解：+÷x2-y2y2-x2x2y-xy23x+y-2xxyx-y=×x2-y22x+yxyx-y=×x+yx-y2xy=，2当x=3+1，y=3时，3+1×33+3原式==．22【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．3xxx49(2023·山东·统考中考真题)先化简，再求值：+÷，其中x，y满足2x+y-3x-yx+yx2-y2=0．【答案】4x+2y，6【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将2x+y-3=0变形整体代入计算即可求解．·17· 3xx+yxx-yx-yx+y【详解】解：原式=+×x-yx+yx-yx+yx223x+3xy+x-xyx-yx+y=×x-yx+yx24x+2xyx-yx+y=×x-yx+yx=4x+2y；由2x+y-3=0，得到2x+y=3，则原式=22x+y=6．【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．50(2023·广东·统考中考真题)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．【答案】乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x千米/分钟，1212根据题意得：-=10，x1.2x解得：x=0.2．经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意，答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可．23x-451(2023·湖南张家界·统考中考真题)先化简x-1-÷，然后从-1，1，2这三个x+1x2+2x+1数中选一个合适的数代入求值．【答案】x+1，2【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．2(x-1)(x+1)3(x+1)【详解】解：原式=-⋅x+1x+1x2-42(x+1)2x-4=⋅x+1x2-4=x+1，∵x≠-1,x≠2，当x=1时原式=1+1=2．【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．2x-2x+111-152(2023·四川遂宁·统考中考真题)先化简，再求值：⋅1+，其中x=．x2-1x2x-11【答案】，x2·18· 1-1【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将x==22代入化简结果求解即可．2x-2x+11【详解】解：⋅1+x2-1x2x-1x+1=⋅x+1x-1xx-1=，x1-12-11当x==2时，原式==．222【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．2xxx-153(2023·江西·统考中考真题)化简+⋅．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：x+1x-1xxx-1xx+1x2-1解：原式=+⋅x+1x-1x+1x-1x⋯⋯22xx-1xx-1解：原式=⋅+⋅x+1xx-1x⋯⋯(1)甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；(填序号)①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】(1)根据所给的解题过程即可得到答案；(2)甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】(1)解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；(2)解：甲同学的解法：xx-1xx+1x2-1原式=+⋅x+1x-1x+1x-1xx2-x+x2+xx+1x-1=⋅x+1x-1x2x2x+1x-1=⋅x+1x-1x·19· =2x；乙同学的解法：22xx-1xx-1原式=⋅+⋅x+1xx-1xxx+1x-1xx+1x-1=⋅+⋅x+1xx-1x=x-1+x+1=2x．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．x+3x+154(2023·湖南常德·统考中考真题)先化简，再求值：÷2-，其中x=5．x2-4x+211【答案】，x-23【分析】先计算括号内的减法运算，再计算除法，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．x+32x+4-x-1【详解】解：原式=÷x+2x-2x+2x+3x+2=×x+2x-2x+31=，x-211当x=5时，原式==.5-23【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则和混合运算顺序是解题的关键．22aa55(2023·山东枣庄·统考中考真题)先化简，再求值：a-÷，其中a的值从不等式组-1a2-1a2-1<a<5的解集中选取一个合适的整数．2a-a-11【答案】，a2【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．322a-aaa【详解】解：原式=-÷a2-1a2-1a2-1aa2-a-12a-1=⋅22a-1a2a-a-1=；a22∵a≠0,a-1≠0，∴a≠0,a≠±1，∵4=2<5<9=3，∴-1<a<5的整数解有：0,1,2，∵a≠0,a≠±1，22-2-11∴a=2，原式==．22【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．·20· a-4a+2a-1256(2023·山东滨州·统考中考真题)先化简，再求值：÷-，其中a满足aaa2-2aa2-4a+41-1-⋅a+6cos60°=0．42【答案】a-4a+4；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整22数指数幂，特殊角的三角函数值，求得a-4a+3=0的值，最后将a-4a+3=0代入化简结果即可求解．a-4a+2a-1【详解】解：÷-aa2-2aa2-4a+4a-4a+2a-2aa-1=÷-aaa-22aa-22a-4a+2a-2-aa-1=÷aaa-222a-4aa-2=×aa2-4-a2+a2=a-22=a-4a+4；21-1∵a-⋅a+6cos60°=0，42即a-4a+3=0，2∴原式=a-4a+3+1=0+1=1．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．22x+x57(2023·湖南·统考中考真题)先化简，再求值：1+⋅，其中x=6．x+1x2-9x【答案】；2x-3【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．22x+x【详解】解：1+⋅x+1x2-92x+12x+x=+⋅，x+1x+1x2-9x+3xx+1=⋅，x+1x+3x-3x=，x-3当x=6时，原式=2．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．aa+2258(2023·山东聊城·统考中考真题)先化简，再求值：+÷，其中a=2a2-4a+42a-a2a2-2a+2．·21· 2【答案】，2a-2【分析】运用因式分解，约分，通分的技巧化简计算即可．aa+22【详解】+÷a2-4a+42a-a2a2-2aaa+2aa-2=-×a-22aa-22aaa-2a+2aa-2=×-×a-222aa-222aa+22=-=；2a-22a-2当a=2+2时，22==2．a-22+2-2【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分的技巧是解题的关键．222x-yx-2xy+yx-y59(2023·湖北荆州·统考中考真题)先化简，再求值：-÷，其中x=x+yx2-y2x+y1-10，y=(-2023)．2x【答案】，2x-y【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x和y的值代入即可求出答案．222x-yx-2xy+yx-y【详解】解：-÷x+yx2-y2x+y22x-yx-yx+y=-⋅x+yx+yx-yx-y2x-yx-yx+y=-⋅x+yx+yx-yxx+y=⋅x+yx-yx=x-y1-10∵x==2，y=(-2023)=12x2∴原式===2．x-y2-1x故答案为：，2．x-y【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．2x+1x-160(2023·福建·统考中考真题)先化简，再求值：1-÷，其中x=2-1．xx2-x12【答案】-，-x+12【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将x=2-1代入计算即可解答．·22· 2x+1x-1【详解】解：1-÷xx2-x2x+1x-x=1-⋅xx2-1x-x+1xx-1=⋅xx+1x-11x=-⋅xx+11=-．x+1当x=2-1时，12原式=-=-．2-1+12【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．22m-2m+161(2023·黑龙江·统考中考真题)先化简，再求值：1-÷，其中m=tan60°-1．m+1m2-mm3-3【答案】，原式=m+13【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出m=3-1，最后代值计算即可．22m-2m+1【详解】解：1-÷m+1m2-m2m+1-2m-1=÷m+1mm-1m-1mm-1=⋅m+1m-12m=，m+1∵m=tan60°-1=3-1，3-13-3∴原式==．3-1+13【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．62(2023·山东·统考中考真题)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少1于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？2【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个；方案三总费用最少．【分析】(1)根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；·23· 1(2)根据“购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列2不等式组确定取值范围，从而分析计算求解【详解】(1)解：设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为x-0.3万元，由题意可得：1520=,x-0.3x解得x=1.2，经检验：x=1.2是原分式方程的解，x-0.3=0.9，答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；(2)解：设购买A型充电桩a个，则购买B型充电桩25-a个，由题意可得：0.9a+1.225-a≤2640501，解得≤a≤，25-a≥a332∵a须为非负整数，∴a可取14，15，16，∴共有三种方案：方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个，购买费用为0.9×14+1.2×11=25.8(万元)；方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个，购买费用为0.9×15+1.2×10=25.5(万元)；方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个，购买费用为0.9×16+1.2×9=25.2(万元)，∵25.2<25.5<25.8∴方案三总费用最少．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．·24·