2024中考数学第一轮专题复习： 反比例函数及其应用（解析版）

专题11反比例函数及其应用(65题)一、单选题1(2023·浙江·统考中考真题)如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于1000Pa，则下2列关于物体受力面积Sm的说法正确的是()2222A.S小于0.1mB.S大于0.1mC.S小于10mD.S大于10m【答案】AF【分析】根据压力压强受力面积之间的关系S=即可求出答案.P【详解】解：假设P为1000Pa，∵F为100N，F1002∴S===0.1m.P1000∵P>1000Pa，2∴S<0.1m.故选：A.【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及P越大，S越小22(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)已知点Ax1,y1,Bx2,y2在反比例函数y=-的图像上，且x1x<0<x2，则下列结论一定正确的是()A.y1+y2<0B.y1+y2>0C.y1-y2<0D.y1-y2>0【答案】D【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出y1、y2的大小关系．2【详解】解：∵点Ax1,y1，Bx2,y2)是反比例函数y=-的图像上的两点，x∴x1y1=x2y2=-2，∵x1<0<x2，∴y2<0<y1，即y1-y2>0，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．3(2023·湖北宜昌·统考中考真题)某反比例函数图象上四个点的坐标分别为-3,y1,-2,3,1,y2,2,y3，则，y1,y2,y3的大小关系为()A.y2<y1<y3B.y3<y2<y1C.y2<y3<y1D.y1<y3<y2【答案】C【分析】先根据点-2,3求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．k【详解】解：设反比例函数的解析式为y=，x将点-2,3代入得：k=-2×3=-6，6则反比例函数的解析式为y=-，x所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，·1· 6又∵点-3,y1,1,y2,2,y3在函数y=-的图象上，且-3<0<1<2，x∴y1>0>y3>y2，即y2<y3<y1，故选：C．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．34(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)已知点A-2,y1,B-1,y2,C1,y3均在反比例函数y=的图x象上，则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y1【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．【详解】解：∵k=3>0，∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵-2<-1<0<1，∴y2<y1<0<y3．故选：B．k【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当kx>0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．k5(2023·云南·统考中考真题)若点A1,3是反比例函数y=(k≠0)图象上一点，则常数k的值为x()33A.3B.-3C.D.-22【答案】Ak【分析】将点A1,3代入反比例函数y=(k≠0)，即可求解．xk【详解】解：∵点A1,3是反比例函数y=(k≠0)图象上一点，x∴k=1×3=3，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．k6(2023·湖南永州·统考中考真题)已知点M2,a在反比例函数y=的图象上，其中a，k为常数，x且k>0﹐则点M一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】根据反比例函数中的k>0，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答【详解】解：∵k>0，k∴反比例函数y=的图象经过第一、三象限，x故点M可能在第一象限或者第三象限，·2· ∵M2,a的横坐标大于0，∴M2,a一定在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．27(2023·天津·统考中考真题)若点Ax1,-2,Bx2,1,C(x3,2)都在反比例函数y=-的图象上，则xx1,x2,x3的大小关系是()A.x3<x2<x1B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2D.x2<x3<x1【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．2【详解】解：y=-，-2<0，x∴双曲线在二，四象限，在每一象限，y随x的增大而增大；∵Ax1,-2,Bx2,1,C(x3,2)，∴x1>0,x2<x3<0，∴x2<x3<x1；故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．8(2023·湖北随州·统考中考真题)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为()A.3AB.4AC.6AD.8A【答案】Bk24【分析】设该反比函数解析式为I=k≠0，根据当R=8时，I=3，可得该反比函数解析式为I=，RR再把R=6代入，即可求出电流I．k【详解】解：设该反比函数解析式为I=k≠0，R由题意可知，当R=8时，I=3，k∴3=，8解得：k=24，24∴设该反比函数解析式为I=，R24∴当R=6时，I==4，6即电流为4A，故选：B．·3· 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．49(2023·山西·统考中考真题)已知A(-2,a),B(-1,b),C(3,c)都在反比例函数y=的图象上，则a、xb、c的关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】B【分析】先根据反比例函数中k>0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．4【详解】解：∵反比例函数y=中k>0，x∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵-2<0,-1<0,∴A(-2,a),B(-1,b)位于第三象限，∴a<0,b<0,∵-2<-1<0,∴0>a>b.∵3>0,∴点C(3,c)位于第一象限，∴c>0,∴b<a<c.故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．k10(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=(k>0,x>0)x的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=32，则k的值为()A.3B.32C.4D.6【答案】C【分析】过点A,B分别作y,x轴的垂线，垂足分别为E,D，AE,BD交于点C，得出B的横坐标为1，A的纵坐标为1，设Ak,1，B1,k，则AC=k-1,BC=k-1，根据AB=32，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，·4· 依题意，B的横坐标为1，A的纵坐标为1，设Ak,1，B1,k∴C1,1，则AC=k-1,BC=k-1，又∵∠ACB=90°，AB=32，222∴k-1+k-1=32∴BC=AC=3，∴k-1=3解得：k=4，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．4-k11(2023·湖北·统考中考真题)在反比例函数y=的图象上有两点Ax1,y1,Bx2,y2，当x1<0x<x2时，有y1<y2，则k的取值范围是()A.k<0B.k>0C.k<4D.k>4【答案】C4-k【分析】根据题意可得反比例函数y=的图象在一三象限，进而可得4-k>0，解不等式即可求解．x【详解】解：∵当x1<0<x2时，有y1<y2，4-k∴反比例函数y=的图象在一三象限，x∴4-k>0解得：k<4，故选：C．4-k【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数y=的图象在一三象限是解x题的关键．12(2023·湖南·统考中考真题)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=kk≠0图像上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，若四边形AMON的面积x为2．则k的值是()A.2B.-2C.1D.-1【答案】A【分析】证明四边形ANOM是矩形，根据反比例函数的k值的几何意义，即可解答．【详解】解：∵AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，∠MON=90°，·5· ∴四边形AMON是矩形，∵四边形AMON的面积为2，∴k=2，∵反比例函数在第一、三象限，∴k=2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k是解题的关键．13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),kA(23,0),B(3,1),△OAB与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=(k>0,x>0)的图象与ABx交于点C．若AC=BC，则k的值为()333A.23B.C.3D.22【答案】A【分析】过点B作BD⊥x轴，根据题意得出BD=1,OD=3，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出OB=AB=2，∠BOA=∠BAO=30°，利用各角之间的关系∠OBA+∠OBD=180°，确定A，B，O三点共线，结合图形确定C3,2，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴，∵O(0,0),A(23,0),B(3,1)，∴BD=1,OD=3，BD3∴AD=OD=3，tan∠BOA==，OD322∴OB=AB=OD+BD=2，∠BOA=∠BAO=30°，∴∠OBD=∠ABD=60°，∠OBA=120°，∵△OAB与△OAB关于直线OB对称，∴∠OBA=120°，∴∠OBA+∠OBD=180°，∴A，B，O三点共线，∴AB=AB=2，∵AC=BC，∴BC=1，∴CD=2，∴C3,2，k将其代入y=(k>0,x>0)得：k=23，x·6· 故选：A．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．k14(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，反比例函数y=(k>0)的图象与过点(-1,0)的直线ABx相交于A、B两点．已知点A的坐标为(1,3)，点C为x轴上任意一点．如果S△ABC=9，那么点C的坐标为()A.(-3,0)B.(5,0)C.(-3,0)或(5,0)D.(3,0)或(-5,0)【答案】Dk33【分析】反比例函数y=(k>0)的图象过点(1,3)，可得y=，进而求得直线AB的解析式为y=x+xx23132，得出B点的坐标，设Cc,0，根据S△ABC=2×c+1×3+2=9，解方程即可求解．k【详解】解：∵反比例函数y=(k>0)的图象过点(1,3)x∴k=1×3=33∴y=x设直线AB的解析式为y=mx+n，3=m+n∴，0=-m+nm=32解得：,n=3233∴直线AB的解析式为y=x+，22y=3x+322联立，y=3xx=1x=-2解得：y=3或y=-3，23∴B-2,-，2设Cc,0，13∵S△ABC=2×c+1×3+2=9，解得：c=3或c=-5，∴C的坐标为(3,0)或(-5,0)，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点B的坐标是解题的关键．·7· 15(2023·湖南·统考中考真题)如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函k数y=k≠0的图像上，点B的坐标为2,4，则点E的坐标为()xA.4,4B.2,2C.2,4D.4,2【答案】Dk8【分析】根据y=k≠0经过2,4确定解析式为y=，设正方形的边长为x，则点E2+x,x，代入解xx析式计算即可．k【详解】∵y=k≠0经过2,4，x8∴解析式为y=，x设正方形的边长为x，则点E2+x,x，∴2+xx=8，解得x1=2,x2=-4(舍去)，故点E4,2，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．k16(2023·广西·统考中考真题)如图，过y=(x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交yx1=-的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为x5S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=，则k的值为()2·8· A.4B.3C.2D.1【答案】C1111【分析】设Aa,b，则B-b,b，Da,-a，C-b,-a，根据坐标求得S1=ab=k，S2=S4=1，推得S3111=-b×-a=2，即可求得．1111【详解】设Aa,b，则B-b,b，Da,-a，C-b,-ak∵点A在y=(x>0)的图象上x则S1=ab=k，1同理∵B，D两点在y=-的图象上，x则S2=S4=151故S3=-1-1=，22111又∵S3=-b×-a=2，11即=，ab2故ab=2，∴k=2，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．3n17(2023·福建·统考中考真题)如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=和y=的图xx象的四个分支上，则实数n的值为()11A.-3B.-C.D.333【答案】A3【分析】如图所示，点B在y=上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何x意义即可求解．【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点A,B分别作x轴的垂3线，垂足分别为C,D，点B在y=上，x∵OB=OA，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，∴∠CAO=90°-∠AOC=∠BOD．∴△AOC≌△OBD．·9· 3n∴S△AOC=S△OBD==．22∵A点在第二象限，∴n=-3．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．18(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，1k点D在AB上，且AD=AB，反比例函数y=k>0的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，4x连接OD,OM,DM．若△ODM的面积为3，则k的值为()A.2B.3C.4D.5【答案】Cab【分析】设B点的坐标为(a,b)，根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M,，确定221D4a,b，然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM=S△AOB-S△AOD-S△BDM=3，代入求解即可．【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为(a,b)，∵矩形OABC的对称中心M，ab∴延长OM恰好经过点B，M,，221∵点D在AB上，且AD=AB，41∴Da,b，43∴BD=a，4113b3∴S△BDM=2BD⋅h=2×4a×b-2=16ab∵D在反比例函数的图象上，1∴ab=k，4113ab∵S△ODM=S△AOB-S△AOD-S△BDM=ab-k-=3，2216113ab∴ab-ab-=3，2816解得：ab=16，1∴k=ab=4，4·10· 故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．19(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线ky=过A,B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD=12，则k的值是()x9A.-6B.-12C.-D.-92【答案】Ckk【分析】设Bb,b，根据反比例函数的中心对称性可得A-b,-b，然后过点A作AE⊥BC于E，求出BC=4b，点D的横坐标为-3b，再根据S△BCD=12列式求出CD，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值．k【详解】解：由题意，设Bb,，b∵AB过原点O，k∴A-b,-，b过点A作AE⊥BC于E，∵△ABC是等腰三角形，∴CE=BE=b--b=2b，∴BC=4b，点D的横坐标为-3b，∵底边BC∥x轴，CD∥y轴，11∴S△BCD=BC⋅CD=⋅4b⋅CD=12，226∴CD=，b6k6+k∴点D的纵坐标为--=，bbb6+k∴D-3b,，b6+k∴k=-3b⋅=-36+k，b9解得：k=-，2故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．·11· 20(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于xk轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y=(x>0)的图像x经过点B，D，则k的值是()3A.1B.2C.3D.2【答案】C【分析】设B3,m，则C3,m+2,D1,m+2根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．【详解】设B3,m，∵点B，C的横坐标都是3，BC=2，AC平行于x轴，点D在AC上，且其横坐标为1，∴C3,m+2,D1,m+2，∴3m=m+2，解得m=1，∴B3,1，∴k=3×1=3，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握k的意义，反比例函数的性质是解题的关键．21(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y，x轴上，BCk⊥x轴．点M、N分别在线段BC、AC上，BM=CM，NC=2AN，反比例函数y=x>0的图象经x过M、N两点，P为x正半轴上一点，且OP:BP=1:4，△APN的面积为3，则k的值为()454514472A.B.C.D.482525【答案】B【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，设点A的坐标为A0,aa>0，点M的坐标为M5b,cb>0,c>0，点N的坐标为Nm,nm>0,n>0，则C5b,2c，OA=a，OB=5b，先求出点5b2a+2cN的坐标为N3,3，再根据S△APN=S梯形OANQ-S△AOP-S△NPQ=3可得2ab+bc=9，然后将点M,N的坐标代入反比例函数的解析式可得2a=7c，从而可得bc的值，由此即可得．【详解】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，·12· 设点A的坐标为A0,aa>0，点M的坐标为M5b,cb>0,c>0，点N的坐标为Nm,nm>0,n>0，则C5b,2c，OA=a，OB=5b，∵OP:BP=1:4，∴OP=b,BP=4b，∵NC=2AN，m=5b5b-m=2m-03∴n-2c=2a-2c，解得2a+2c，3n=35b2a+2c∴N,，335b2a+2c∴OQ=,NQ=，332b∴PQ=OQ-OP=，3∵△APN的面积为3，152a+2c112b2a+2c∴S梯形OANQ-S△AOP-S△NPQ=3，即2×3b3+a-2ab-2×3⋅3=3，整理得：2ab+bc=9，5b2a+2ck5b2a+2c将点M5b,c,N,代入y=得：k=5bc=⋅，33x33整理得：2a=7c，9将2a=7c代入2ab+bc=9得：7bc+bc=9，解得bc=，845则k=5bc=，8故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点N的坐标是解题关键．二、填空题22(2023·广东·统考中考真题)某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R48(单位：Ω)的函数表达式为I=，当R=12Ω时，I的值为A．R【答案】448【分析】将R=12Ω代入I=中计算即可；R【详解】解：∵R=12Ω，4848∴I===4AR12故答案为：4．【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．623(2023·四川成都·统考中考真题)若点A-3,y1,B-1,y2都在反比例函数y=的图象上，则y1xy2(填“>”或“<”)．【答案】>【分析】根据题意求得y1，y2，进而即可求解．6【详解】解：∵点A-3,y1,B-1,y2都在反比例函数y=的图象上，x·13· 66∴y1==-2，y2==-6，-3-1∵-2>-6，∴y1>y2，故答案为：>．【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．24(2023·浙江温州·统考中考真题)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了mL．【答案】206000【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为P=，然后问题可求解．Vk【详解】解：设P关于V的函数解析式为P=，由图象可把点100,60代入得：k=6000，V6000∴P关于V的函数解析式为P=，V6000∴当P=75kPa时，则V==80，75∴压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了100-80=20mL；故答案为：20．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．k25(2023·河北·统考中考真题)如图，已知点A(3,3),B(3,1)，反比例函数y=(k≠0)图像的一支与x线段AB有交点，写出一个符合条件的k的数值：．【答案】4(答案不唯一，满足3≤k≤9均可)k【分析】先分别求得反比例函数y=(k≠0)图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符x合条件k的值即可．k【详解】解：当反比例函数y=(k≠0)图像过A(3,3)时，k=3×3=9；xk当反比例函数y=(k≠0)图像过B(3,1)时，k=3×1=3；x·14· ∴k的取值范围为3≤k≤9∴k可以取4．故答案为：4(答案不唯一，满足3≤k≤9均可)．【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．k226(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=(其x中k1⋅k2≠0)相交于A-2,3，Bm,-2两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是．15【答案】2k2【分析】把A-2,3代入到y2=可求得k2的值，再把Bm,-2代入双曲线函数的表达式中，可求得mx的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．k2【详解】∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=(其中k1⋅k2≠0)相交于A-2,3，Bm,-2两点，x∴k2=-2×3=-2m∴k2=-6，m=3，6∴双曲线的表达式为：y2=-，B3,-2，x∵过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，∴BP=3，115∴S△ABP=×3×(3+2)=，2215故答案为：．2【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．27(2023·新疆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A=90°，∠AOBk=30°，OB=4．若反比例函数y=k≠0的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k=．x33【答案】4·15· 3【分析】作CE⊥OB交OB于点E，根据题意可得OA=OB⋅cos30°=4×=23，由点C为OA的中233点，可得OC=3，在Rt△OCE中，通过解直角三角形可得CE=，OE=，从而得到点2233C2，2，代入函数解析式即可得到答案．【详解】解：如图，作CE⊥OB交OB于点E，∵∠A=90°，∠AOB=30°，OB=4，3∴OA=OB⋅cos30°=4×=23，2∵点C为OA的中点，11∴OC=OA=×23=3，22∵CE⊥OB，∴∠OEC=90°，∵∠COE=30°，11333∴CE=OC=×3=，OE=OC⋅cos30°=3×=，2222233∴C2，2，∵点C在反比例函数图象上，3333∴k=×=，22433故答案为：．4【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．k28(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=(k为大于0的常数，xx>0)图象上的两点Ax1,y1,Bx2,y2，满足x2=2x1．△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．【答案】2【分析】过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BE⊥x于点E，利用S五边形FABEO=S△AFO+S△ABO+S△BOE=k+6，S五边形FABEO=S矩形AFOD+S梯形ADEB=k+S梯形ADEB，得到S梯形ADEB=6，结合梯形的面1111积公式解得x1y1=8，再由三角形面积公式计算S△ABC=AC⋅BC=(x2-x1)⋅(y1-y2)=x1⋅y1=22221x1y1，即可解答．4【详解】解：如图，过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BE⊥x于点E，∵S五边形FABEO=S△AFO+S△ABO+S△BOE=k+6·16· S五边形FABEO=S矩形AFOD+S梯形ADEB=k+S梯形ADEB∴S=6梯形ADEB(y2+y1)(x2-x1)∴=62∵x2=2x11∴y2=y121y+y(2x-x)(y2+y1)(x2-x1)211113∴==y1x1=6224∴x1y1=8∴k=8111111S△ABC=AC⋅BC=(x2-x1)⋅(y1-y2)=x1⋅y1=x1y1=×8=2222244故答案为：2．【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．29(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直k径，点C在函数y=(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为．x【答案】24kk1k1【分析】设Ca,a，则OB=a,AC=a，则AC=2BC=2a，根据三角形的面积公式得出S△ACD=2AC⋅OB=6，列出方程求解即可．k【详解】解：设Ca,，a∵⊙A与x轴相切于点B，∴BC⊥x轴，k∴OB=a,AC=，则点D到BC的距离为a，a∵CB为⊙A的直径，1k∴AC=BC=，22a1kk∴S△ACD=⋅a⋅==6，22a4解得：k=24，故答案为：24．【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．·17· 830(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有P1,P2,P3,⋯P2024等x点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,⋯,S2023，则S1+S2+S3+⋯+S2023=．2023【答案】253【分析】求出P1,P2,P3,P4⋯的纵坐标，从而可计算出S1,S2,S3,S4⋯的高，进而求出S1,S2,S3,S4⋯，从而得出S1+S2+S3+⋯+Sn的值．【详解】当x=1时，P1的纵坐标为8，当x=2时，P2的纵坐标为4，8当x=3时，P3的纵坐标为，3当x=4时，P4的纵坐标为2，8当x=5时，P5的纵坐标为，5⋯则S1=1×(8-4)=8-4；88S2=1×4-3=4-3；88S3=1×3-2=3-2；88S4=1×2-5=2-5；⋯88Sn=-；nn+18888888nS1+S2+S3+⋯+Sn=8-4+4-+-2+2-+⋯+-=8-=，335nn+1n+1n+18×20232023∴S1+S2+S3+⋯+S2023==．20242532023故答案为：．25388【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出Sn=-．nn+131(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反·18· k比例函数y=(x<0)的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△EAF=x1，则k的值为．4【答案】-6【分析】连接BO，设AG=EG=a，由对称的性质知EC=AO=AE=2a，AC=EO=4a，利用相似三角1形的判定和性质求得S△EOD=×16=2，则S△ACB=2，根据S△OCB=S△ACB+S△AOB以及反比例函数的几何8意义求解即可．【详解】解：连接BO，设对称轴MN与x轴交于点G，∵△ODE与△CBA关于对称轴MN，∴AG=EG，AC=EO，EC=AO，∵点A为OE的中点，设AG=EG=a，则EC=AO=AE=2a，∴AC=EO=4a，1∵S△EAF=，411∴S△EGF=S△EAF=，28∵GF∥OD，∴△EFG∽△EDO，1S△EGFEG28a2∴S=EO，即S=4a，△EOD△EOD1∴S△EOD=×16=2，8∴S△ACB=2，∵AC=4a，AO=2a，∴S△OCB=S△ACB+S△AOB=2+1=3，1∴k=3，2∵k<0，∴k=-6，故答案为：-6．【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．·19· k32(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，点A在反比例函数y=k≠0图像的一支上，点xkB在反比例函数y=-图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实2x数k的值为．【答案】-6kk【分析】如图：由题意可得SODAE=k=-k,SOCBE=2=-2，再根据SODAE+SOCBE=9进行计算即可解答．【详解】解：如图：kk∵点A在反比例函数y=k≠0图像的一支上，点B在反比例函数y=-图像的一支上，x2xkk∴SODAE=k=-k,SOCBE=2=-2∵四边形ABCD是面积为9的正方形，k∴SODAE+SOCBE=9，即--k=9，解得：k=-6．2故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．33(2023·广东深圳·统考中考真题)如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=k∠BOC=30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB=3，反比例函数y=k≠0恰好经过点C，则k=x．·20· 【答案】43【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由题意易得OB=23,BC=2,∠COD=30°，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：∵∠AOB=∠BOC=30°，BA⊥OA，CB⊥OB，11∴AB=OB,BC=OC，22∵∠AOD=90°，∴∠COD=30°，∵AB=3，∴OB=2AB=23，22在Rt△OBC中，OB=OC-BC=3BC=23，∴BC=2，OC=4，∵∠COD=30°，∠CDO=90°，1∴CD=OC=2，2∴OD=3CD=23，∴点C23,2，∴k=43，故答案为：43．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．k34(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=(x<0)的图x像上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=2，则k=．38【答案】-362922【分析】方法一：根据△AOC的面积为3，得出OC==，AC=a，在Rt△AOC中，AC=AO3aa22245+OC，得出a=，根据勾股定理求得DO=5a，根据k的几何意义，即可求解．15AD44方法二：根据已知得出=则S△AOD=S△AOC，即可求解．AC992【详解】解：方法一：∵cos∠OAC=，3ADAO2∴cos∠OAC===AOAC3·21· 设AD=2a，则AO=3a，9∴AC=a2∵矩形OABC的面积是6，AC是对角线，1∴△AOC的面积为3，即AO×OC=3262∴OC==3aa222在Rt△AOC中，AC=AO+OC92222即2a=3a+a81-3624即a=4a2245解得：a=1522在Rt△ADC中，DO=AO-AD=5a∵对角线AC∥x轴，则AD⊥OD，2458∴k=2S△AOD=2a×5a=25a=25×=,153∵反比例函数图象在第二象限，8∴k=-，32方法二：∵cos∠OAC=，3ADAO2∴cos∠OAC===AOAC3设AD=2a，则AO=3a，9∴AC=a，2AD2a4∴==，AC9a92488∴2S△AOD=×2S△AOC=×6=，993∵k<0，8∴k=-，38故答案为：-．3【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．a35(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，点A，B分别在函数y=(a>0)图象的两支上(A在第一xb象限)，连接AB交x轴于点C．点D，E在函数y=(b<0,x<0)图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连接xDE,BE．若AC=2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a-b的值为，a的值为．·22· 【答案】12；9【分析】如图，延长BD，AE交于点Q，BD与x轴交于点K，而AE∥x轴，BD∥y轴，可得∠Q=90°，aaabbma△BDE的面积是5，设Am,m，Bn,n，则Qn,m，Dn,n，Ea,m，利用面积可得b-abm-an=10na①，n-ma-b=18n②，由OK∥AQ，AC=2BC，可得QK=2BK，可得n=-2m③，再利用方程思想解题即可．【详解】解：如图，延长BD，AE交于点Q，BD与x轴交于点K，而AE∥x轴，BD∥y轴，∴∠Q=90°，∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴△BDE的面积是5，aa设Am,m，Bn,n，abbma∴Qn,m，Dn,n，Ea,mbabmbmaa∴BD=-，EQ=-n，AE=m-，BQ=-，nnaamn1babm1bmaa∴2n-na-n=5，2m-am-n=9，整理得：b-abm-an=10na①，n-ma-b=18n②，∵OK∥AQ，AC=2BC，BKBC1∴==，QKAC2∴QK=2BK，aa∴=2×-，则n=-2m③，mn把③代入②得：-3ma-b=18×-2m，∴a-b=12，即b=a-12④，把③代入①得：b-ab+2a=-20a⑤，把④代入⑤得：a=9；故答案为：12；9.【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．k36(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，点A2,2在双曲线y=(x>0)上，将直线OA向上平移x若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC=2，则点C的坐标是．·23· 【答案】2,224【分析】求出反比例函数解析式y=(x>0)，证明∠DOA=45°，过点A作x轴的垂线段交x轴于点E，x过点C作y轴的垂线段交y轴于点D，通过平行线的性质得到∠DBC=45°，解直角三角形求点C的横坐标，结合反比例函数解析式求出C的坐标，即可解答．kk【详解】解：把A2,2代入y=(x>0)，可得2=，解得k=4，x24∴反比例函数解析式y=(x>0)，x如图，过点A作x轴的垂线段交x轴于点E，过点C作y轴的垂线段交y轴于点D，∵A2,2，∴AE=OE，∴∠AOE=45°，∴∠AOD=90°-∠AOE=45°，∵将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，∴∠CBD=45°,CD2在Rt△CBD中，=sin45°=，CB22∴CD=CB=2，2即点C的横坐标为2，4把x=2代入y=(x>0)，可得y=22，x∴C2,22，故答案为：2,22．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点C的横坐标是解题的关键．三、解答题k137(2023·浙江杭州·统考中考真题)在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=与函数y2=k2xx-2+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是-4．·24· (1)求k1,k2的值．(2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．【答案】(1)k1=10，k2=2；(2)见解析k1【分析】(1)首先将点A的横坐标代入y2=k2x-2+5求出点A的坐标，然后代入y1=求出k1=10，然x105后将点B的纵坐标代入y1=x求出B-2,-4，然后代入y2=k2x-2+5即可求出k2=2；(2)首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．【详解】(1)∵点A的横坐标是2，∴将x=2代入y2=k2x-2+5=5∴A2,5，k1∴将A2,5代入y1=得，k1=10，x10∴y1=，x∵点B的纵坐标是-4，105∴将y=-4代入y1=得，x=-，x25∴B-,-4，255∴将B-2,-4代入y2=k2x-2+5得，-4=k2-2-2+5，∴解得k2=2，∴y2=2x-2+5=2x+1；(2)如图所示，5由题意可得，C-,5，D2,-4，2∴设CD所在直线的表达式为y=kx+b，-5k+b=5k=-2∴2，解得，2k+b=-4b=0∴y=-2x，∴当x=0时，y=0，∴直线CD经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．·25· k38(2023·湖南常德·统考中考真题)如图所示，一次函数y1=-x+m与反比例函数y2=相交于点xA和点B3,-1．(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当y1>y2时，求x的取值范围．3【答案】(1)m=2，y=-；(2)x<-1或0<x<3xk【分析】(1)根据一次函数y1=-x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A3,-1、B两点可得m的x值，进而可求反比例函数的表达式；(2)观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】(1)将点B3,-1代入y1=-x+m得：-3+m=-1解得：m=2k将B3,-1代入y2=得：k=3×-1=-3x3∴y2=-x-3(2)由y1=y2得：-x+2=，解得x1=-1,x2=3x所以A,B的坐标分别为A-1,3,B3,-1由图形可得：当x<-1或0<x<3时，y1>y2【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．39(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A的坐标是-3,0，点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△ABC．k(1)反比例函数y=的图像经过点C，求该反比例函数的表达式；x(2)一次函数图像经过A、A两点，求该一次函数的表达式．813【答案】(1)y=；(2)y=x+x77·26· 【分析】(1)由点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，可得C0,2，OC=BC=2，由旋转可得：BC=BC=2，∠CBC=90°，可得C2,4，可得k=2×4=8，从而可得答案；(2)如图，过A作AH⊥BC于H，则∠AOB=∠AHB=90°，而∠ABA=90°，AB=AB，证明△ABO≌△BAH，可得AO=BH=3，OB=AH=4，A4,1，设直线AA为y=mx+n，再建立方程组求解即可．【详解】(1)解：∵点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，∴C0,2，OC=BC=2，由旋转可得：BC=BC=2，∠CBC=90°，∴C2,4，∴k=2×4=8，8∴反比例函数的表达式为y=；x(2)如图，过A作AH⊥BC于H，则∠AOB=∠AHB=90°，而∠ABA=90°，AB=AB，∴∠ABO+∠BAO=90°=∠ABO+∠ABO，∴∠BAO=∠ABH，∴△ABO≌△BAH，∴AO=BH=3，OB=AH=4，∴OH=4-3=1，∴A4,1，设直线AA为y=mx+n，m=1-3m+n=07∴，解得：，4m+n=1n=3713∴直线AA为y=x+．77【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解A4,1是解本题的关键．m40(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，点A2，4在反比例函数y1=图象上．一次函数y2=kxx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2:1．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)请直接写出y1≥y2时，x的取值范围．·27· 844【答案】(1)反比例函数解析式为y1=，一次函数解析式为y2=x+或y2=4x-4；(2)当一次函数解x3344析式为y2=x+时，x的取值范围为x≤-3或0<x≤2；当一次函数解析式为y2=4x-4时x的取33值范围为x≤-1或0<x≤2mm8【分析】(1)将A2，4代入y1=得，4=，解得m=8，可得反比例函数解析式为y1=；当x=0，y2x2xbbb=b，则C0，b，OC=b，当y2=0，x=-k，则B-k，0，OB=k，由△OAC与△OBC的面积比为OC×xA22xA22:1，可得=，整理得=2，即=2，解得b=k或b=-k，当b=k时，将A2，4代入y2OC×OB1OBb2k444=kx+b得，4=2k+k，解得k=，则y2=x+；当b=-k时，将A2，4代入y2=kx+b得，4=2k333-k，解得k=4，则y2=4x-4；44(2)由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为y2=x+时，如图1，联立33y=81xx=-3x=244，解得y=-8或y=4，根据函数图象判断x的取值范围即可；②当一次函数解析式为y2y2=3x+33y=81xx=-1x=2=4x-4时，如图2，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可．y2=4x-4y=-8y=4mm【详解】(1)解：将A2，4代入y1=得，4=，解得m=8，x28∴反比例函数解析式为y1=；x当x=0，y2=b，则C0，b，OC=b，bbb当y2=0，x=-k，则B-k，0，OB=k，∵△OAC与△OBC的面积比为2:1，OC×xA22xA2∴=，整理得=2，即=2，解得b=k或b=-k，OC×OB1OBb2k444当b=k时，将A2，4代入y2=kx+b得，4=2k+k，解得k=，则y2=x+；333当b=-k时，将A2，4代入y2=kx+b得，4=2k-k，解得k=4，则y2=4x-4；44综上，一次函数解析式为y2=x+或y2=4x-4；33844∴反比例函数解析式为y1=，一次函数解析式为y2=x+或y2=4x-4；x33(2)解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：44①当一次函数解析式为y2=x+时，如图1，33·28· y=81xx=-3x=2联立44，解得y=-8或y=4，y2=3x+33由函数图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为x≤-3或0<x≤2；②当一次函数解析式为y2=4x-4时，如图2，y=81xx=-1x=2联立，解得或，y2=4x-4y=-8y=4由函数图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为x≤-1或0<x≤2；44综上，当一次函数解析式为y2=x+时，x的取值范围为x≤-3或0<x≤2；当一次函数解析式为y233=4x-4时x的取值范围为x≤-1或0<x≤2．【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．41(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别m相交于点A，B，与反比例函数y=x>0的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．x·29· (1)求k，m的值；(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．【答案】(1)k=2，m=12；(2)点D的坐标为6，26+2或7-1，27【分析】(1)求得A-1，0，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得C2，6，据此即可求解；1212(2)设点Da，2a+2，则点Ea，a，利用平行四边形的性质得到2a+2-a=2，解方程即可求解．【详解】(1)解：∵OA=1，∴A-1，0，∵直线y=kx+2经过点A-1，0，∴0=-k+2，解得，k=2，∴直线的解析式为y=2x+2，∵点C的横坐标为2，∴y=2×2+2=6，∴C2，6，m∵反比例函数y=x>0的图象经过点C，x∴m=2×6=12；12(2)解：由(1)得反比例函数的解析式为y=，x令x=0，则y=2×0+2=2，∴点B0，2，12设点Da，2a+2，则点Ea，，a∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴DE=OB=2，121212∴2a+2-=2，整理得2a+2-=2或2a+2-=-2，aaa122由2a+2-=2得2a+2a-12=2a，a2整理得a=6，解得a=±6，∵a>0，∴a=6，∴点D6，26+2；122由2a+2-=-2得2a+2a-12=-2a，a2整理得a+2a-6=0，解得a=±7-1，∵a>0，·30· ∴a=7-1，∴点D7-1，27；综上，点D的坐标为6，26+2或7-1，27．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．42(2023·四川南充·统考中考真题)如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A-1，6，3B,a-3，与x轴交于点C，与y轴交于点D．a(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)点M在x轴上，若S△OAM=S△OAB，求点M的坐标．68【答案】(1)反比例函数解析式为y=-，一次函数的解析式为y=-2x+4；(2)M点的坐标为-,0或x38,03k1k1【分析】(1)设反比例函数解析式为y=，将A-1，6代入y=，根据待定系数法，即可得到反比例函xx3数解析式，将B,a-3代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可a求出一次函数解析式；(2)求出点C的坐标，根据S△OAB=S△OAC+S△OBC求出S△OAB，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．k1【详解】(1)解：设反比例函数解析式为y=，xk1k1将A-1，6代入y=，可得6=，解得k1=-6，x-16∴反比例函数的解析式为y=-，x363a-3把B,a-3代入y=-，可得=-6，axa解得a=1，经检验，a=1是方程的解，∴B3,-2，设一次函数的解析式为y=k2x+b，将A-1，6，B3,-2代入y=k2x+b，6=-x+b可得，-2=3x+b·31· k2=-2解得，b=4∴一次函数的解析式为y=-2x+4；(2)解：当y=0时，可得0=-2x+4，解得x=2，∴C2,0，∴OC=2，11∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=×2×6+×2×2=8，22∵S△OAM=S△OAB，1∴S△OAM=8=×6×OM，28∴OM=，38M在O点左侧时，M-,0；38M点在O点右侧时，M,0，388综上，M点的坐标为-3,0或3,0．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出S△OAB是解题的关键．43(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶k点C3，0，顶点A、B6，m恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上．x(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．61【答案】(1)y=，y=-x+4；(2)在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小,最小值是25+x242．【分析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACE≌△CBDAAS，则CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到点A的坐标是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例k函数y=第一象限的图象上得到33-m=6m，解得m=1，得到点A的坐标是2,3，点B的坐标是x6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；(2)延长AE至点A，使得EA=AE，连接AB交x轴于点P，连接AP，利用轴对称的性质得到AP=AP，A2,-3，则AP+PB=AB，由AB=25知AB是定值，此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+AB最小，利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】(1)解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，·32· 则∠AEC=∠CDB=90°，∵点C3，0，B6，m，∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD-OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS，∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC-EC=3-m，∴点A的坐标是3-m,3，k∵A、B6，m恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上．x∴33-m=6m，解得m=1，∴点A的坐标是2,3，点B的坐标是6,1，∴k=6m=6，6∴反比例函数的解析式是y=，x设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，把点A和点B的坐标代入得，p=-12p+q=3，解得2,6p+q=1q=41∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-x+4，2(2)延长AE至点A，使得EA=AE，连接AB交x轴于点P，连接AP，∴点A与点A关于x轴对称，∴AP=AP，A2,-3，∵AP+PB=AP+PB=AB，∴AP+PB的最小值是AB的长度，22∵AB=2-6+3-1=25，即AB是定值，∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+AB最小，设直线AB的解析式是y=nx+t，2n+t=-3则，6n+t=1n=1解得，t=-5∴直线AB的解析式是y=x-5，当y=0时，0=x-5，解得x=5，即点P的坐标是5,0，22此时AP+PB+AB=AB+AB=25+2-6+-3-1=25+42，综上可知，在x轴上存在一点P5,0，使△ABP周长的值最小，最小值是25+42．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求·33· 两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．944(2023·四川广安·统考中考真题)如图，一次函数y=kx+(k为常数，k≠0)的图象与反比例函4m数y=(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A1,n，与x轴交于点B-3,0．x(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．393【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+，反比例函数的解析式为y=；(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)44x【分析】(1)根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；(2)首先利用勾股定理求出得AB的长，再分两种情形讨论即可．9【详解】(1)解：把点B-3,0代入一次函数y=kx+得，49-3k+=0,43解得：k=，439故一次函数的解析式为y=x+，443939把点A1,n代入y=x+，得n=+=3，4444∴A(1,3)，m把点A(1,3)代入y=，得m=3，x3故反比例函数的解析式为y=；x(2)解：B-3,0，A(1,3)，AB=5，当AB=PB=5时，P(-8,0)或(2,0)，当PA=AB时，点P,B关于直线x=1对称，∴P(5,0)，综上所述：点P的坐标为(-8,0)或(2,0)或(5,0)．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．k245(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=的图像交x于A-4，1，Bm，4两点．(k1，k2，b为常数)·34· (1)求一次函数和反比例函数的解析式；k2(2)根据图像直接写出不等式k1x+b>的解集；x(3)P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．4【答案】(1)y=x+5；y=-；(2)-4<x<-1或x>0；(3)0,3或0,7x【分析】(1)利用待定系数法即可求出函数解析式；(2)根据图像位置关系即可得解；(3)设P0,m，当点P在直线下方时，画出图形，根据S△PAB=S△PDA+S△PDB关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据S△PAB=S△PAN-S△PBM-S梯形ANMB列方程求解即可．k2k2【详解】(1)解：将点A-4，1代入y=得1=，x-4∴k2=-4，4∴反比例函数的解析式为y=-；x44将点Bm，4代入y=-得4=-，xm∴m=-1，1=-4k1+b将点A-4，1、B-1，4分别代入y=k1x+b得，4=-k1+bk1=1解得，b=5∴一次函数的解析式为y=x+5；k2(2)根据图像可知，当-4<x<-1时，直线在反比例函数图像的上方，满足k1x+b>，xk2∴不等式k1x+b>的解集为-4<x<-1或x>0；x(3)①如图过点P作x轴平行线l与AB交于点D，分别过点A，B作直线l垂线，垂足分别为点C、E，设P0,m，则Dm-5,m，∴PD=5-m，则S△PAB=S△PDA+S△PDB，11=PD⋅CA+PD⋅BE，221=PDBE+CA，23=PD，2·35· 3=5-m，2∵△PAB的面积为3，3∴5-m=3，2∴m=3，即P点的坐标为0,3．②如图，过A作AN⊥y轴于点N，过B作BM⊥y轴于点M，设P0,m，由(1)得：A-4,1，B1,4，∴M0,4，N0,1，∴PM=m-4，PN=m-1，MN=3，则S△PAB=S△PAN-S△PBM-S梯形ANMB111=AN·PN-BM·PM-BM+AN·MN222111=×4×m-1-×1×m-4-1+4×3222115=2m-2-m+2-，22315=m-=3，22∴m=7，即P点的坐标为0,7，综上所述：P0,3或0,7．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．46(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点mA4,0，与y轴交于点B0,2，与反比例函数y=在第四象限内的图象交于点C6,a．x(1)求反比例函数的表达式：m(2)当kx+b>时，直接写出x的取值范围；xm(3)在双曲线y=上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点Px的坐标；若不存在，请说明理由．6【答案】(1)y=-；(2)x<-2或0<x<6；(3)3，-2或1，-6x·36· 【分析】(1)将A4,0，B0,2代入y=kx+b,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；(2)将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；(3)过点A作AP⊥BC交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．4k+b=0【详解】(1)解：把A4,0，B0,2代入y=kx+b中得：，b=2k=-1∴2，b=21∴直线y=kx+b的解析式为y=-x+2，211在y=-x+2中，当x=6时，y=-x+2=-1，22∴C6，-1，mm把C6，-1代入y=中得：-1=，x6∴m=-6，6∴反比例函数的表达式y=-；xy=-1x+22x=6x=-2(2)解：联立，解得或，y=-6y=-1y=3x∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为6，-1、-2，3，∴由函数图象可知，当x<-2或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象上方，m∴当kx+b>时，x<-2或0<x<6；x(3)解：如图所示，设直线AP交y轴于点M0，m，∵A4,0，B0,2，2222222222∴BM=2-m=m-4m+4，AB=2+4=20，AM=4+m=m+16，∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，∴∠BAM=90°，222∴BM=BA+AM，22∴m-4m+4=20+m+16，解得m=-8，∴M0，-8，同理可得直线AM的解析式为y=2x-8，y=2x-8x=3x=1联立y=-6，解得y=-2或y=-6，x∴点P的坐标为3，-2或1，-6．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．k47(2023·江西·统考中考真题)如图，已知直线y=x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点Axk(2,3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=(x>0)的图象于点C．x·37· (1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；(2)求△ABC的面积．6【答案】(1)直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为y=；(2)6x【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；(2)由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据BC∥x轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．k【详解】(1)解：∵直线y=x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,3)，x∴k=2×3=6，2+b=3，即b=1，6∴直线AB的表达式为y=x+1，反比例函数的表达式为y=．x(2)解：∵直线y=x+1的图象与y轴交于点B，∴当x=0时，y=1，∴B0,1，k∵BC∥x轴，直线BC与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C，x∴点C的纵坐标为1，6∴=1，即x=6，x∴C6,1，∴BC=6，1∴S△ABC=×2×6=6．2【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．448(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交x于点Am,4，与x轴交于点B，与y轴交于点C0,3．(1)求m的值和一次函数的表达式；·38· 4(2)已知P为反比例函数y=图象上的一点，S△OBP=2S△OAC，求点P的坐标．x【答案】(1)y=x+3；(2)P2,2或-2,-2【分析】(1)先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；(2)先求出OB=3，OC=3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示，根据11S△OBP=2S△OAC可得OB⋅PD=2×OC⋅AH，求出PD=2，则点P的纵坐标为2或-2，由此即可得22到答案．4【详解】(1)解：∵点Am,4在反比例函数y=的图象上，x4∴4=，m∴m=1，∴A1,4，又∵点A1,4，C0,3都在一次函数y=kx+b的图象上，4=k+b∴，3=bk=1解得，b=3∴一次函数的解析式为y=x+3．(2)解：对于y=x+3，当y=0时，x=-3，∴B-3，0，∴OB=3，∵C0,3，∴OC=3过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．∵S△OBP=2S△AOC，11∴OB⋅PD=2×OC⋅AH．2211∴×3×PD=2××3×1，22解得PD=2．∴点P的纵坐标为2或-2．4将y=2代入y=得x=2，x4将y=-2代入y=得x=-2，x∴点P2,2或-2,-2．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．k49(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图，反比例函数y=(k为常数，k≠0)与正比例函数y=xmx(m为常数，m≠0)的图像交于A1,2,B两点．·39· (1)求反比例函数和正比例函数的表达式；(2)若y轴上有一点C0,n,△ABC的面积为4，求点C的坐标．2【答案】(1)y=；y=2x；(2)C0,4或C0,-4x【分析】(1)把A1,2分别代入函数的解析式，计算即可．1(2)根据反比例函数的中对称性质，得到B-1,-2，设C0,n，根据S△ABC=nxA-xB，列式计算即2可．k【详解】(1)∵反比例函数y=(k为常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图像交于xA1,2,B两点，k∴2=,2=m×1，1解得k=2,m=2，2故反比例函数的表达式为y=，正比例函数的表达式y=2x．xk(2)∵反比例函数y=(k为常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图像交于A1,2,Bx两点，根据反比例函数图象的中心对称性质，∴B-1,-2，设C0,n，1根据题意，得S△ABC=nxA-xB，21∴n×2=4，2解得n=4或n=-4，故点C的坐标为C0,4或C0,-4．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．41250(2023·湖南·统考中考真题)如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象3x相交于点A．·40· (1)求点A的坐标．(2)分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．25【答案】(1)A3,4；(2)OD=6【分析】(1)解两个函数联立组成的方程组即可；(2)由题意可得：CD垂直平分OA，连接AD，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AD=OD，设Dm,0，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案．y=4x3x1=3x2=-3【详解】(1)解：解方程组，得,，y=12y1=4y2=-4x∵x>0，∴A3,4；(2)解：由题意可得：CD垂直平分OA，连接AD，如图，则AD=OD，设Dm,0，22225则m=m-3+4，解得m=，625∴OD=．6【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的尺规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．k51(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象x交于点A4,n．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐k标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y=(x>0)的图象上．x(1)求n,k的值；·41· (2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?【答案】(1)n=8，k=32；(2)当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36k【分析】(1)把点A4,n代入y=2x，得出n=8，把点A4,8代入y=(x>0)，即可求得k=32；x(2)过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点E,F，证明△ECB≌△FCD，得出BE=DF,CE=CF，进而可得C(8,4)，根据平移的性质得出B(m+4,8)，D(12-m,0)，进而表示出AB⋅OD，根据二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：把点A4,n代入y=2x，∴n=2×4，解得：n=8；k把点A4,8代入y=(x>0)，解得k=32；x(2)∵点B横坐标大于点D的横坐标，∴点B在点D的右侧，如图所示，过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点E,F，∵AB∥DF，∴∠B=∠CDF，在△ECB和△FCD中，∠BCE=∠DCFBC=CD，∠B=∠CDF∴△ECB≌△FCDASA，∴BE=DF,CE=CF，∵EF=yA=8，∴CE=CF=4，∴C(8,4)，∵将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，∴B(m+4,8)，∴BE=DF=m-4，∴D(12-m,0)，∴OD=12-m，2∴AB⋅OD=m12-m=-m-6+36，∴当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．52(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+ba<0与反比例k函数y=k≠0交于A-m,3m，B4,-3两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．x·42· (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积；k(3)请根据图象直接写出不等式<ax+b的解集．x123【答案】(1)y=-，y=-x+3；(2)9；(3)x<-2或0<x<4x2k【分析】(1)把点B代入反比例函数y=k≠0，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函x数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数y=ax+ba<0即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；(2)△AOB的面积是△AOC和△BOC的面积之和，利用面积公式求解即可；(3)利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．k【详解】(1)∵点B4,-3在反比例函数y=的图象上，xk∴-3=，4解得：k=-1212∴反比例函数的表达式为y=-．x12∵A-m,3m在反比例函数y=-的图象上，x12∴3m=-，-m解得m1=2，m2=-2(舍去)．∴点A的坐标为-2,6．∵点A，B在一次函数y=ax+b的图象上，-2a+b=6把点A-2,6，B4,-3分别代入，得，4a+b=-3a=-3解得2，b=33∴一次函数的表达式为y=-x+3；2(2)∵点C为直线AB与y轴的交点，3∴把x=0代入函数y=-x+3，得y=32∴点C的坐标为0,3∴OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC·43· 11=⋅OC⋅xA+⋅OC⋅xB2211=×3×2+×3×422=9．k(3)由图象可得，不等式<ax+b的解集是x<-2或0<x<4．x【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．453(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=的x图象交于A(m,1),B(-2,n)两点．(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；4(2)观察图象，直接写出不等式kx+b<的解集；x5(3)设直线AB与x轴交于点C，若P(0,a)为y轴上的一动点，连接AP,CP，当△APC的面积为时，求2点P的坐标．137【答案】(1)y=2x-1，图见解析；(2)x<-2或0<x<4；(3)P0,2或P0,-2【分析】(1)先根据反比例函数的解析式，求出A,B的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接AB，画出一次函数的图象即可；(2)图象法求出不等式的解集即可；(3)分点P在y轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．4【详解】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=的图象交于A(m,1),B(-2,n)两x点，∴m=-2n=4，∴m=4,n=-2，∴A(4,1),B(-2,-2)，k=14k+b=1∴，解得：2，-2k+b=-2b=-1·44· 1∴y=x-1，2图象如图所示：4(2)解：由图象可知：不等式kx+b<的解集为x<-2或0<x<4；x(3)解：当点P在y轴正半轴上时：设直线AB与y轴交于点D，1∵y=x-1，2当x=0时，y=-1，当y=0时，x=2，∴C2,0,D0,-1，∴PD=a+1，115∴S△APC=S△APD-S△PCD=×a+1×4-×a+1×2=，2223解得：a=；23∴P0,；2当点P在y轴负半轴上时：·45· PD=-1-a，115∴S△APC=S△APD-S△PCD=×-1-a×4-×-1-a×2=22273解得：a=-或a=(不合题意，舍去)；227∴P0,-．237综上：P0,2或P0,-2．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．m54(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，直线y=kx+b(k,b为常数)与双曲线y=(m为常数)相x交于A2,a，B-1,2两点．(1)求直线y=kx+b的解析式；m(2)在双曲线y=上任取两点Mx1,y1和Nx2,y2，若x1<x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断x过程；m(3)请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集．x【答案】(1)y=-x+1；(2)当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1<y2；当x1<0<x2时，y1>y2；(3)x<-1或0<x<2m2【分析】(1)将点B代入反比例函数y=，求得m=-2，将点A代入y=-，得出A2,-1，进而待定系xx·46· 数法求解析式即可求解；(2)根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，进而分类讨论即可求解；(3)根据函数图象即可求解．m【详解】(1)解：将点B-1,2代入反比例函数y=，x∴m=-2，2∴y=-x2将点A2,a代入y=-x∴A2,-1，将A2,-1，B-1,2代入y=kx+b，得2k+b=-1-k+b=2k=-1解得：，b=1∴y=-x+12(2)∵y=-，k<0，x∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∴当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1<y2，当x1<0<x2时，根据图象可得y1>y2，综上所述，当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1<y2；当x1<0<x2时，y1>y2，m(3)根据图象可知，A2,-1，B-1,2，当kx+b>时，x<-1或0<x<2．x【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．55(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数ky=的图象在第一象限内交于Aa,4和B4,2两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．x(1)求一次函数与反比例函数的表达式；k(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥的解集；x(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．8【答案】(1)反比例函数为：y=，一次函数为y=-x+6；(2)2≤x≤4；(3)9x·47· 8【分析】(1)利用B4,2可得反比例函数为y=，再求解A2,4，再利用待定系数法求解一次函数的解x析式即可；(2)由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得答案；(3)求解OA的解析式为：y=2x，结合过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B4,2，可得D1,2，BD=4-1=3，由AB为y=-x+6，可得C6,0，OC=6，再利用梯形的面积公式进行计算即可．k【详解】(1)解：∵反比例函数y=过B4,2，x∴k=8，8∴反比例函数为：y=，x88把Aa,4代入y=可得：a==2，x4∴A2,4，2m+n=4m=-1∴，解得：，4m+n=2n=6∴一次函数为y=-x+6．(2)由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x>0可得k不等式mx+n≥的解集为：2≤x≤4．x(3)∵A2,4，同理可得OA的解析式为：y=2x，∵过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B4,2，∴yD=2，∴xD=1，即D1,2，∴BD=4-1=3，∵AB为y=-x+6，当y=0，则x=6，即C6,0，∴OC=6，1∴梯形OCBD的面积为：3+6×2=9．2【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．56(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点At,0，点P1,2在函数y=kk>0，x>0的图像上x(1)求k的值；2(2)连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T=2S-2t，求T的最大值．·48· 【答案】(1)2；(2)1k【分析】(1)点P1,2在函数y=k>0，x>0的图像上，代入即可得到k的值；x(2)由点At,0在x轴负半轴得到OA=-t，由四边形OABC为正方形得到OC=BC=OA=-t，BC∥122x轴，得△BCP的面积为S=t-t，则T=-t+1+1，根据二次函数的性质即可得到T的最大值．2k【详解】(1)解：∵点P1,2在函数y=k>0，x>0的图像上，xk∴2=，1∴k=2，即k的值为2；(2)∵点At,0在x轴负半轴，∴OA=-t，∵四边形OABC为正方形，∴OC=BC=OA=-t，BC∥x轴，112∴△BCP的面积为S=×-t×2-t=t-t，22212222∴T=2S-2t=2t-t-2t=-t-2t=-t+1+1，2∵-1<0，∴抛物线开口向下，∴当t=-1时，T有最大值，T的最大值是1．【点睛】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．kk57(2023·湖北十堰·统考中考真题)函数y=的图象可以由函数y=的图象左右平移得到．x+ax11(1)将函数y=的图象向右平移4个单位得到函数y=的图象，则a=；xx+a1(2)下列关于函数y=的性质：①图象关于点-a,0对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直x+a线y=-x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是(填写序号)；11(3)根据(1)中a的值，写出不等式>的解集：．x+ax【答案】(1)-4；(2)①④；(3)x<0或x>4【分析】(1)根据“左加右减”的规律即可求解；(2)根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将y=-x向左平移a个单位，得出y=-x-a，即可判断③；(3)根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解．11【详解】(1)解：∵函数y=的图象向右平移4个单位得到函数y=的图象，xx-4∴a=-4；故答案为：-4．11(2)解：∵y=可以看作是由y=向左平移aa>0个单位得到的，x+ax1∵函数y=图象的对称中心为0，0，将其对称中心向左平移a个单位，则对称中心为-a,0，故①正x确，·49· ②类比反比例函数图象，可得x≠-a，故函数图象不是连续的，在直线x=-a两侧，y随x的增大而减小；故②错误；1③∵y=关于y=-x对称，x同①可得，y=-x向左平移a个单位得到：y=-x+a=-x-a∴图象关于直线y=-x-a对称；故③不正确；1④∵平移后的对称中心为-a,0，左右平移图象后，y=与yx+a轴没有交点，∴y的取值范围为y≠0．故④正确，故答案为：①④．(3)∵a=-4，11∴不等式>x-4x11如图所示，在第三象限内和第一象限内，>，x-4x∴x<0或x>4，故答案为：x<0或x>4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．k58(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，反比例函数y=x<0与一次函数y=-2x+m的图象x交于点A-1,4，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．k(1)求反比例函数y=与一次函数y=-2x+m的表达式；x(2)当OD=1时，求线段BC的长．41【答案】(1)反比例函数的表达式为y=-；一次函数的表达式为y=-2x+2；(2)BC=4x2【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)先求得直线BC的表达式为y=1，再分别求得B、C的坐标，据此即可求解．k【详解】(1)解：∵反比例函数y=x<0的图象经过点A-1,4，x∴k=-1×4=-4，4∴反比例函数的表达式为y=-；x∵一次函数y=-2x+m的图象经过点A-1,4，∴4=-2×-1+m，·50· ∴m=2，∴一次函数的表达式为y=-2x+2；(2)解：∵OD=1，∴D0，1，∴直线BC的表达式为y=1，4∵y=1时，1=-，x解得x=-4，则B-4，1，∵y=1时，1=-2x+2，11解得x=，则C，1，2211∴BC=--4=4．22【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．m59(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2=(x>0)的图象x1交于A(4,1),B,a两点．2(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足y1-y2>0时x的取值范围；(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．415【答案】(1)y1=-2x+9，y2=x(x>0)；(2)2<x<4；(3)点P的坐标为2,5或2,4m【分析】(1)将A(4,1)代入y2=(x>0)可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将A(4,1)和点Bx坐标代入y1=kx+b(k≠0)即可求出一次函数解析式；(2)直线AB在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；(3)设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=p代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出PQ，再根据△POQ面积为3列方程求解即可．mm【详解】(1)解：将A(4,1)代入y2=(x>0)，可得1=，x4解得m=4，4∴反比例函数解析式为y2=(x>0)；x·51· 14∵B2,a在y2=x(x>0)图象上，4∴a==8，121∴B,8，21将A(4,1)，B2,8代入y1=kx+b，得：4k+b=11，k+b=82k=-2解得，b=9∴一次函数解析式为y1=-2x+9；1(2)解：<x<4，理由如下：21由(1)可知A(4,1),B,8，2当y1-y2>0时，y1>y2，1此时直线AB在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为<x<4，21即满足y1-y2>0时，x的取值范围为<x<4；2(3)解：设点P的横坐标为p，将x=p代入y1=-2x+9，可得y1=-2p+9，∴Pp,-2p+9．44将x=p代入y2=(x>0)，可得y2=，xp4∴Qp,．p4∴PQ=-2p+9-，p114∴S△POQ=PQ⋅xP=×-2p+9-⋅p=3，22p2整理得2p-9p+10=0，5解得p1=2，p2=，2当p=2时，-2p+9=-2×2+9=5，55当p=时，-2p+9=-2×+9=4，225∴点P的坐标为2,5或,4．2【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．m60(2023·四川·统考中考真题)如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=m>0x的图象交于A3，4，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．·52· (1)求k，m的值及C点坐标；(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．2【答案】(1)k=-；m=12；C9,0；(2)S△ACD=93m【分析】(1)把点A3，4代入y=kx+6和y=m>0求出k、m的值即可；把y=0代入AB的解析x式，求出点C的坐标即可；(2)延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD解析式，得出点F的坐标，根据S△ACD=S△CDF-S△CAF求出结果即可．m【详解】(1)解：把点A3，4代入y=kx+6和y=m>0得：xm3k+6=4，4=，32解得：k=-，m=12，3212∴AB的解析式为y=-x+6，反比例函数解析式为y=，3x22把y=0代入y=-x+6得：0=-x+6，33解得：x=9，∴点C的坐标为9,0；(2)解：延长DA交x轴于点F，如图所示：将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：22y=-x+6+3=-x+9，33y=-2x+93联立，y=12xx=312x2=12解得：，，y1=8y2=13∴点D,8，23设直线AD的解析式为y=k1x+b1，把D2,8，A3，4代入得：3k+b=8211，3k1+b1=4k=-8解得：13，b1=12·53· 8∴直线AD的解析式为y=-x+12，388把y=0代入y=-x+12得0=-x+12，339解得：x=，29∴点F的坐标为,0，299∴CF=9-=，22∴S△ACD=S△CDF-S△CAF1919=××8-××42222=9．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．m61(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像相x交于A-1,4，Ba,-1两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；m(2)点Pn,0在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=的图像于点Q，连接PQ．当BQx=AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．421【答案】(1)y=-，y=-x+3；(2)n=-x5【分析】(1)根据反比例函数过点A-1,4，Ba,-1两点，确定B4,-1，待定系数法计算即可．(2)根据平移思想，设解析式求解即可．m【详解】(1)解：∵一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A-1,4，Ba,-1两x点，∴m=-1×4=-4，4故反比例函数的解析式为y=-，x4∴a=-=4，-1故B4,-1，·54· 4k+b=-1∴，-k+b=4k=-1解得，b=3∴直线的解析式为y=-x+3．(2)∵A-1,4，B4,-1，Pn,0，BQ∥AP，BQ=AP，∴四边形APQB是平行四边形，∴点A到点P的平移规律是向左平移-1-n个单位，向下平移4个单位，∴点B4,-1到点Q的平移规律也是向左平移-1-n个单位，向下平移4个单位，故Q5+n,-5，4∵Q5+n,-5在y=-上，x44∴5+n=-=，-5521解得：n=-，521∴点P的坐标为0,-，5设AB与x轴交于点C，连接PB，如图所示：把y=0代入y=-x+3，解得：x=3，∴C3,0，2136∴PC=3--=，55136∴S△APB=××4--1=18，25∵四边形APQB为平行四边形，∴S四边形APQB=2S△APB=36，21∴当n=-时，符合题意．5【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．1k62(2023·山东·统考中考真题)如图，正比例函数y1=x和反比例函数y2=(x>0)的图像交于点2xAm,2．(1)求反比例函数的解析式；k(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=(x>0)的图像交于点C，连接AB，AC，x求△ABC的面积．·55· 8【答案】(1)y2=；(2)3x【分析】(1)待定系数法求函数解析式；(2)根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线AB的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．11【详解】(1)解：把Am,2代入y1=x中，m=2，22解得m=4，∴A4,2，kk把A4,2代入y2=(x>0)中，=2，x4解得k=8，8∴反比例函数的解析式为y2=；x1(2)解：将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为y=x+3，2当x=0时，y=3，∴点B的坐标为0,3，设直线AB的函数解析式为yBC=mx+n，4m+n=2将A4,2，B0,3代入可得，n=3m=-1解得4，n=31∴直线AB的函数解析式为yBC=-x+3，4y=1x+32x1=-8x2=2联立方程组，解得，y=8y1=-1y2=4x∴C点坐标为2,4，过点C作CM⊥x轴，交AB于点N，15在yBC=-x+3中，当x=2时，y=，4253∴CN=4-=，2213∴S△ABC=××4=3．22【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．63(2023·山东·统考中考真题)如图，已知坐标轴上两点A0,4,B2,0，连接AB，过点B作BC⊥kAB，交反比例函数y=在第一象限的图象于点C(a,1)．x·56· k(1)求反比例函数y=和直线OC的表达式；x3(2)将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．2411【答案】(1)y=，y=x；(2)2,2或-8,-x42【分析】(1)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，证明△ABO∽△BCD，利用相似三角形的性质得到BD=k2，求出点C的坐标，代入y=可得反比例函数解析式，设OC的表达式为y=mx，将点C4,1代入即x可得到直线OC的表达式；(2)先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．【详解】(1)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则CD=1，∠CDB=90°，∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBD=90°，∵∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°，∴∠BCD=∠ABO，∴△ABO∽△BCD，OABD∴=，OBCD∵A0,4,B2,0，∴OA=4，OB=2，4BD∴=，21∴BD=2，∴OD=2+2=4，∴点C4,1，k将点C代入y=中，x可得k=4，4∴y=，x设OC的表达式为y=mx，将点C4,1代入可得1=4m，·57· 1解得：m=，41∴OC的表达式为y=x；413(2)直线l的解析式为y=x+，42134当两函数相交时，可得x+=，42x解得x1=2,x=-8,代入反比例函数解析式，x1=2x2=-8得，1y1=2y2=-21∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为2,2或-8,-2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识．64(2023·河南·统考中考真题)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系k中，以反比例函数y=图象上的点A3,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，Ex在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．(1)求k的值；(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．2【答案】(1)3；(2)半径为2，圆心角为60°；(3)33-π3k【分析】(1)将A3,1代入y=中即可求解；x(2)利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出∠AOD的度数，最后结合菱形的性质求解；(3)先计算出S菱形AOCD=23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO=3，从而问题即可解答．k【详解】(1)解：将A3,1代入y=中，xk得1=，3解得：k=3；(2)解：∵过点A作OD的垂线，垂足为G，如下图：∵A3,1，∴AG=1,OG=3，22∴OA=(3)+1=2，∴半径为2；·58· 1∵AG=OA，2AG1∴sin∠AOG==，OG2∴∠AOG=30°，由菱形的性质知：∠AOG=∠COG=30°，∴∠AOC=60°，∴扇形AOC的圆心角的度数：60°；(3)解：∵OD=2OG=23，∴S=AG×OD=1×23=23，菱形AOCD12122∵S=×πr=×π×2=π，扇形AOC663如下图：由菱形OBEF知，S△FHO=S△BHO，k3∵S△BHO==，223∴S△FBO=2×=3，222∴S阴影部分面积=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=3+23-π=33-π．33【点睛】本题考查了反比例函数及k的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k的几何意义．65(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+5与y轴交于点kA，与反比例函数y=的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．x(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．4【答案】(1)点A的坐标为(0,5)，反比例函数的表达式为y=；(2)点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)；(3)x111点P的坐标为-,；m的值为344【分析】(1)利用直线y=-x+5解析式可的点C的坐标，将点B(a,4)代入y=-x+5可得a的值，再将点B代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；(2)设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是AB的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法·59· 1求直线l的解析式y=x+3，C点坐标为t，t+3，根据S△ABC=AM⋅xB-xC=5(xB,xC分别代表点B2与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；(3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到E-4,-1，由△PAB∽△PDE得到AB∥DE，继而得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：y=-x+b2，将E-4,-1代入y=-x+b2求得DE的解析式是：y=-x-5，再将直线DE与双曲线的解析式联立求得D-1,-4，再用待定系数法求出AD的解析式是y=9x+5，利用直线AD的解析式与直线l的解析式联111515立求得点P的坐标为-,，再用两点间的距离公式得到BP=2，EP=2从而求得m=4444EP=3．BP【详解】(1)解：令x=0，则y=-x+5=5∴点A的坐标为(0,5)，将点B(a,4)代入y=-x+5得：4=-a+5解得：a=1∴B(1,4)kk将点B(1,4)代入y=得：4=x1解得：k=44∴反比例函数的表达式为y=；x(2)解：设直线l于y轴交于点M，直线y=-x+5与x轴得交点为N，令y=-x+5=0解得：x=5∴N(5,0)，∴OA=ON=5，又∵∠AON=90°，∴∠OAN=45°∵A(0,5)，B(1,4)22∴AB=1-0+4-5=2又∵直线l是AB的垂线即∠ABM=90°，∠OAN=45°，22∴AB=BM=2，AM=AB+BM=2∴M0,3设直线l得解析式是：y=k1x+b1，k1+b1=4将点M0,3，点B(1,4)代入y=k1x+b1得：b1=3k1=1解得：b1=3∴直线l的解析式是：y=x+3，设点C的坐标是t，t+311∵S△ABC=AM⋅xB-xC=×2×1-t=5，(xB,xC分别代表点B与点C的横坐标)22解得：t=-4或6，当t=-4时，t+3=-1；当t=6时，t+3=9，·60· ∴点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)(3)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，4∴点E是直线l与双曲线y=的另一个交点，xy=4将直线l与双曲线的解析式联立得：xy=x+3x=1x=-4解得：或y=4y=-1∴E-4,-1画出图形如下：又∵△PAB∽△PDE∴∠PAB=∠PDE∴AB∥DE∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线DE的解析式是：y=-x+b2将点E-4,-1代入y=-x+b2得：-1=--4+b2解得：b2=-5∴直线DE的解析式是：y=-x-54∵点D也在双曲线y=上，x4∴点D是直线DE与双曲线y=的另一个交点，xy=4将直线DE与双曲线的解析式联立得：xy=-x-5x=-1x=-4解得：或y=-4y=-1∴D-1,-4设直线AD的解析式是：y=k3x+b3-k3+b3=-4将点A(0,5)，D-1,-4代入y=k3x+b3得：b3=5k1=9解得：b1=5∴直线AD的解析式是：y=9x+5，y=9x+5又将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得：y=x+3x=-14解得：y=114111∴点P的坐标为-,44121125∴BP=-4-1+4-4=421211215EP=---4+--1=2444EP∴m==3BP·61· 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合-几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．·62·